условия в части цены закупки и продажи придется изменить. Для того, чтобы продать один экземпляр приложения, мы должны купить целый комплект за 15 руб. После продажи второй части за 16 руб. у нас останется на руках основная часть, за которую мы сможем выручить только 3 руб. Итого от продажи приложения за нормальную цену и основной части по сниженной цене мы получим 19 руб. Если в избытке окажется целый комплект, то на дешевой распродаже получаем за него только 6 руб. Средний спрос и стандартное отклонение спроса вычислим по таблице статистики продаж приложения отдельно в последние 8 недель, которая приведена в условии задачи.

После подстановки всех данных получим следующий результат (Рис. 225)

Рис. 225

Общая прибыль, которую можно получить при оптимальном размере заказа 543 комплекта (354+189), составит 4719 руб. Т.о. при такой политике продаж мы можем получить дополнительно 661 руб.

Разумеется, при таком расчете мы оставили в стороне вопрос эффективности вложений. Ясно, что прибыль на вложенный рубль при такой политике будет весьма невысока. Но при отсутствии реальных альтернатив для вложения денег и такой вариант увеличения объема продаж может быть приемлемым. Для более глубокого разбора ситуации в задаче не хватает данных об издержках, связанных с осуществлением торгового процесса, и данных о продаже других изданий.

При сравнении трех вариантов закупки и продажи газеты мы нашли, что для владельца бизнеса выгоднее всего иметь возможность закупать две части газеты отдельно. Давайте оценим, какой вариант выгоднее для издательства.

При закупке и продаже газеты комплектом Андрей купит 354 экз., так что издательство получит 5307 руб. (15*354). При закупке и продаже основной части и приложения отдельно Андрей купит 352 экз. основной части по 8 руб. и 568 экз. приложения по 7 руб. Итого издательство получит 6789 руб. И, наконец, при закупке газеты комплектом и продаже частей по отдельности Андрей купит 543 экз. комплектов по 15 руб., что принесет издательству 8148 руб.

Стоит ли удивляться тому, что издательство настаивает на сохранении status quo?

6.П-5. Банк «Белый Тигр»

Вице-президент отдела предоставления кредитов и ссуд филиала банка Белый Тигр в Гонконге, мистер Донг должен прогнозировать объем ежеквартального спроса на долгосрочные кредиты. Банк Белый Тигр (материнская

компания) обеспечивает фонды для выдачи этих кредитов на основании прогноза Донга под льготный процент – 7% годовых для своего отделения в Гонконге. Мр. Донг отдает эти деньги клиентам в долгосрочную ссуду под 12% годовых.

Мр. Донг делает прогноз на основе исторических данных филиала с помощью изощренной модели, учитывающей годовые сезонные колебания с трендом. После обработки поквартальных данных за последние 7 лет, он получил следующую таблицу.

В таблице представлены все требования на кредиты (в млн. йен) приведенные к первому кварталу будущего года. Из этих данных мр. Донг и получил средний спрос на кредиты и стандартное отклонение для этого спроса.

Если он переоценит спрос (т.е. не сможет отдать под долгосрочный кредит все деньги, полученные от материнской компании), он вынужден будет инвестировать остаток в краткосрочный депозит всего лишь под 3,5% годовых, и его босс Накамура-сан будет очень недоволен. Однако, если мр. Донг переоценит спрос на долгосрочные кредиты, его босс будет также очень раздражен. В этом случае, филиал банка должен будет занять деньги на американских денежных рынках, на которых текущий процент по займам для иностранных банков - 17% годовых.

Политика банка Белый Тигр запрещает отказывать в кредитах клиентам, удовлетворяющим требованиям надежности, сформулированным комиссией по кредитам, дабы не потерять доброе отношение клиентов. Ставка процента по кредитам также не подлежит изменению, после утверждения соответствующей комиссией.

Сколько фондов под долгосрочные кредиты должен заказывать мр. Донг, чтобы оптимизировать прибыль отделения? Не покажется ли эта политика подозрительной его боссу? Как он должен аргументировать ее экономическую целесообразность? Какую прибыль он ожидает получить при оптимальном выборе размера запрашиваемых фондов?

Какова была бы прибыль, если бы спрос всегда в точности соответствовал среднему?

После расчета оптимального размера заказа в однопериодной модели, мр. Донг решил построить диаграмму для спроса на кредиты. Он выбрал следующие интервалы: 1 инт. – спрос < 600 млн. , 2 инт. – спрос 601-700 млн., 3 инт. – 701800, 4 инт. – 801-900 млн., 5 инт. – 901-1000 млн., 6 инт. – 1001-1100 млн., 7 инт. –

более 1.1 млрд. йен. (постройте и вы). При этом он обнаружил, что распределение спроса довольно значительно отличается от нормального. Может быть, и оценка оптимального размера заказа по однопериодной модели неверна? Проверьте это, определив размер фондов, имеющий максимальное значение EMV. (Для этого вычислите сначала вероятности того, что величина спроса попадет в любой из выбранных интервалов).

Какую прибыль мр. Донг ожидает получить при выборе размера запрашиваемых фондов по максимуму EMV?

Какую максимальную прибыль может принести данный бизнес филиала банка Белый Тигр, если мр. Донг всегда будет угадывать будущий спрос?

Решение задачи.

На первый взгляд задача выглядит довольно забавно – в качестве хранимых запасов выступают сами деньги. Но, собственно, какая разница, замораживаем ли мы деньги на счету компании, или наличные деньги в большом чемодане, или деньги, уже потраченные на закупку товара? Результат ведь все равно один и тот же – неработающие деньги приносят убытки. Так что в данном случае мы имеем дело с той же однопериодной моделью управления запасами, только закупаем свободные денежные средства, которые можем продать с выгодой для себя, либо можем заморозить, и понести убытки.

Как и в любой проблеме, подразумевающей использование однопериодной модели управления запасами, основная задача заключается в правильном определении цены избытка и цены недостатка.

Если мы получаем деньги по цене 7%, а клиентов кредитуем из расчета 12% в год, то на недостатке средств сразу теряем 5% упущенной выгоды от каждой недостающей йены. Но это еще не все потери, так как банк может отказать клиенту в кредите только в случае его ненадежности. Если же клиент в состоянии представить необходимые гарантии, банк обязан дать кредит. При этом, если собственных средств не хватило, то приходится брать деньги у другого банка под 17% годовых. Так как клиент получает кредит по цене 12%, то на этой операции теряется 5% в качестве прямых убытков. Итого, каждая недозаказанная йена обходится банку в 10% в расчете на год. Это и есть цена недостатка.

Если выделенные деньги не удается инвестировать, то нашему банку приходится использовать их для краткосрочного кредитования под 3.5% годовых и, таким образом, нести прямые убытки в размере тех же 3.5% (7%-3.5%). Так как других потерь нет, кроме морального ущерба, который мы в рамках данной проблемы обсуждать не будем, эти 3.5% и составят цену избытка.

По этим двум числам можно сразу сделать вывод о том, что следует заказывать денег больше, чем в средний объем спроса на кредиты. Построим таблицу Excel и рассчитаем точный объем заказа на кредиты (Рис. 226 слева).

Вданном случае мы не показываем, какие формулы использовались, так как в этом плане задача ничем не отличается от предыдущей. Величину среднего спроса и стандартного отклонения рассчитываем по приведенной в условии задачи таблице спроса.

Как вы можете видеть, оптимальный объем зарезервированных денег составляет 1003 млн. йен. С учетом среднего спроса около 873 млн. йен в среднем каждый год должно оставаться 130 млн. йен неиспользованных денег. Понятно, что такая стратегия нуждается в объяснении.

Вданном случае мр. Донг должен аргументировать свое решение тем, что на каждой недостающей йене филиал банка теряет примерно в три раза больше, чем на лишней. Уместно также представить расчет средней прибыли при заказе средств в размере, соответствующем среднему спросу. Такой расчет приведен на Рис. 226 справа. Напомним еще раз, что в данном случае мы задаем величину

заказа Qреал сами, а величины z и рассчитываем по отклонению заданного

соответственно. При заданной нами величине заказа равной среднему спросу z=0

и =50%, а средняя прибыль составит только 32.7 млн. йен, что на 2.1 млн. меньше, чем при резервировании 1003 млн. Надо полагать, что босс был бы удовлетворен таким объяснением.

Разумеется, потери в однопериодной модели управления запасами связаны с вариациями спроса. При малых вариациях доход будет близок к максимально возможному для существующего уровня среднего спроса. Этот максимальный доход равен, очевидно, 43.6 млн. йен (5%*872.55). Чем выше вариации спроса, т.е. чем больше стандартное отклонение, тем больше потери. В приведенной ситуации колебания спроса приводят к потерям прибыли в размере около 25%.

Следующая часть задачи обычно решается методами принятия решений в условиях неопределенности. Тем не менее принцип решения точно такой же, как в однопериодной модели. Вся разница заключается в том, что в однопериодной модели распределение спроса полагается соответствующим нормальному распределению, а при построении таблицы выигрышей и потерь этого не требуется. Распределение спроса может быть любым.

В реальной ситуации кажущееся отклонение распределения спроса от нормального может быть обусловлено недостаточной статистикой. В общем и целом желательно проверить соответствие распределения нормальному с

помощью критерия 2, например. Для нашего случая гистограмма распределения для спроса выглядит следующим образом (Рис. 228).

Предположим, что мр. Донг прав и распределение действительно отличается от нормального. В этом случае мы получим следующую таблицу вероятностей(Рис. 227).

Рис. 227

В качестве значений спроса выбраны середины интервалов.

Рис. 228

Мы полагаем, что спрос будет равен одной из 7 приведенных величин в интервале от 550 до 1150 млн. йен. Выбирать размер заказа на финансирование кредитов мы будем из этого же набора. Поэтому таблица выигрышей примет следующий вид (Рис. 229).

Рис. 229

Числа в столбце A4:A10 - это набор объемов финансирования, из которых мы выберем оптимальный. А строка B3:H3 задает набор вероятных объемов спроса.

В таблице B4:H10 нужно рассчитать, какова будет прибыль (или убыток), для каждой возможной пары заказ-реальный спрос. Всего может реализоваться 49 различных исходов – по 7 возможных объемов спроса на каждый из 7 объемов финансирования.

Эту таблицу можно заполнить и вручную, однако при таком размере удобнее составить формулы, которые можно было бы протягивать.

Самый простой вид имеет формула расчета прибыли для ячеек, расположенных на диагонали таблицы B4:H10. В этих случаях количество заказанных денег совпадает со спросом по итогам периода, босс доволен работой вверенного ему подразделения и прибыль составляет плановые 5% на заказанную сумму. Для ячейки B4, например, формула выглядит следующим образом:

=$A4*$B$1. Знаки $ добавлены так, чтобы ячейку можно было скопировать и вставить в остальные диагональные ячейки, не корректируя.

Если спрос превысил объем резервированных средств, то плановые 5% прибыли будут получены только с суммы, равной спросу. Остаток средств на счету банка при этом принесет убыток в размере 3.5%. Такая ситуация соответствует части таблицы B4:H10, расположенной ниже диагонали. В ячейке B10 показана формула =B$3*$B$1-($A10-B$3)*$H$1, подходящая для расчета прибыли в такой ситуации. Первое слагаемое – это прибыль 5% со средств, соответствующих спросу 550 млн. йен. Во втором слагаемом (точнее вычитаемом) сначала вычисляется размер избытка средств (в данном случае 1150550), а затем умножается на величину потерь при краткосрочном кредитовании 3.5%. Эта формула, с учетом расставленных значков $, фиксирующих некоторые ячейки, строки или столбцы, может быть распространена на все ячейки таблицы прибылей, расположенные ниже диагонали.

В тех случаях, когда резервированных средств оказалось недостаточно, плановая прибыль 5% будет получена со всех имевшихся средств. Но каждая недостающая йена принесет убыток в размере 10%. Такая ситуация соответствует части таблицы выигрышей, расположенной выше диагонали. В ячейке C4 показана работающая в этой части таблицы формула =$A4*$B$1-(C$3-$A4)*$E$1. Ее так же можно распространить на оставшуюся незаполненной часть таблицы.

Таким образом, мы рассчитали прибыли для каждого из 49 возможных исходов работы. Результат показан в следующей таблице (Рис. 230).

Рис. 230

Спрос оказывается равным 550 млн., 650 млн. и т.д. с вероятностями 7.14%, 14.29% и т.д. не зависимо от того, какой объем финансирования мы закажем. Поэтому, если мы решим заказать на предстоящий период 550 млн. йен, например, то с вероятностью 7.14% получим доход 27.5 млн. (спрос 550), с вероятностью 14.29% - 17.5 млн. (спрос 650), с вероятностью 21.43% - 7.5 млн. (спрос 750) и т.д.

Среднюю прибыль в этом случае можно рассчитать по стандартной

формуле теории вероятности для расчета средних значений x xi pi , где xi –

i 1

величина прибыли, а pi – вероятность ее получения. В Excel такая формула будет выглядеть как =СУММПРОИЗВ($B$12:$H$12;B4:H4), что и записано в ячейке I4 для объема финансирования в 550 млн. йен. Если повторить такой расчет для шести оставшихся возможностей выбора, получим средний результат – прибыль или убыток – для любого из 7 возможных выборов объема финансирования (Рис. 231).

Рис. 231

Встроке max показана ситуация, когда мы точно угадываем спрос. Если бы мр. Донг был на это способен, банк получал бы в среднем 43.6 млн. прибыли. Естественно, это полностью совпадает с результатом, полученным в однопериодной модели.

Вреальной же ситуации, если у мр. Донга не никаких дополнительных источников информации о грядущем спросе и он может использовать только данные собственной статистики, наилучшим выбором окажется резервирование 1050 млн. йен. Такой выбор принесет в среднем 34.02 млн. йен прибыли.

Сравнивая полученный результат с рекомендациями и оценками прибыли

воднопериодной модели, мы видим, что оба подхода дают близкие результаты. Во всяком случае, рекомендованные объемы резервирования денежных средств не противоречат друг другу.

Заметим еще, что более существенные отличия в оценках средней прибыли для различных объемов заказа, связаны с различными оценками вероятностей спроса в этих двух подходах. Если пользоваться нормальным распределением для вероятностей, то вместо использованной нами таблицы вероятностей (Рис. 227) получилось бы следующая таблица (Рис. 232) . Здесь для расчета вероятностей использованы полученные нами раньше оценки среднего спроса 872.6 и стандартного отклонения спроса – 202.2.

Рис. 232

Таким образом, заменяя реальное распределение для спроса нормальным, мы, возможно, недооцениваем вероятность высокого спроса на кредиты.