При обсуждении примера о пропускной способности сберкассы с двумя или тремя окошками, мы использовали термины среднее число клиентов в системе, среднее время ожидания в очереди, и т.п., полагаясь на интуитивное восприятие читателем этих понятий. Теперь, попытаемся более четко определить их смысл.

Допустим, что мы наблюдаем за очередью в системе массового обслуживания и записываем количество клиентов в системе каждую минуту в течение суток непрерывной работы. В результате мы можем получить график изменения числа клиентов в системе с течением времени, похожий на изображенный на Рис. 295 (по оси абсцисс отложен порядковой номер минуты в сутках, а по оси ординат число клиентов в системе в эту минуту).

Иногда в системе нет клиентов, иногда – их число достигает 10 человек. Однако характер изменения этого числа совершенно случайный, и найти какую либо закономерность невозможно. Заметим, что мы получили этот график с помощью компьютерного моделирования. Используя датчик случайных чисел, компьютер моделировал приход или уход клиента в систему в соответствии с формулами вероятностной модели пуассоновского процесса. При этом время обслуживания клиента также считалось случайным и экспоненциально распределенным, как это предполагается в теории очередей. Мы не будем здесь вникать в детали процесса моделирования и используем его результаты только для иллюстрации излагаемых концепций.

Что мы имеем в виду, когда говорим о среднем значении числа клиентов в системе? Может быть, для получения этого среднего значения нужно просто сложить результаты измерений за каждую минуту и разделить на число измерений? Такое усреднение называется усреднением по времени. В результате усреднения по времени получается одно единственное число. Применять такое усреднение можно лишь в том случае, если мы уверены, что процесс стационарен, и никаких принципиальных изменений во времени не происходит. Если, например, имеются часы «пик» и часы затишья, если интенсивность входного потока меняется со временем, или если среднее число клиентов в системе меняется со временем по каким-то другим причинам, в результате усреднения по времени мы не заметим всех этих процессов. Наше усреднение «сгладит» не только случайные вариации числа клиентов в системе, но также нивелирует все неслучайные процессы, если они в системе есть.

Для того чтобы выявить процессы, развивающиеся в системе массового обслуживания с течением времени, необходимо использовать другой подход к усреднению случайных вариаций числа клиентов в системе – усреднение по реализациям случайного процесса. Предположим, что один день работы СМО не отличается от другого, или что у нас есть несколько совершенно одинаковых «точек продаж» - систем массового обслуживания, не отличающихся друг от друга. Тогда в каждый новый день работы данной СМО, или в каждой следующей СМО, мы будем иметь новую реализацию случайного процесса. Например, зависимость числа клиентов в системе от времени будет каждый раз другой (Рис. 296).

Несмотря на сохранение случайных вариаций численности, при увеличении количества реализаций, прослеживается общая тенденция: число клиентов в системе постепенно увеличивается, а затем флуктуирует (случайно колеблется) возле некоторого постоянного значения25. Напомним, что на рисунках 5 показана зависимость суммарного числа клиентов в данный момент, накопленного за много реализаций. Поделив это число на количество реализаций, получим среднее (по реализациям) число клиентов в системе в данный момент времени. Если беспредельно увеличивать количество реализаций, то случайные флуктуации на зависимости среднего числа клиентов в системе от времени исчезнут, и мы получим зависимость, похожую на изображенную на Рис. 298.

Среднее число клиентов в системе

(в момент t=0, n=0)

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

Рис. 298

Среднее число клиентов нарастает от нуля в начальный момент времени, потому, что мы считали, что в начальный момент времени система пуста. Представим себе, что в начальный момент времени 6 клиентов (каждый день или в каждой точке продаж) ждут у дверей системы, и как только система откроется для работы, они сразу заходят и образуют очередь на обслуживание. В этом случае среднее число клиентов в системе будет меняться так, как показано на Рис. 299.

25 Разумеется, при данном моделировании считали, что интенсивность входного потока не меняется со временем (поток пуассоновский). Если это не так, никакого стационарного значения для среднего числа клиентов в системе не будет.

как бесконечно большое значение среднего по реализациям числа клиентов в системе или как наличие бесконечно длинной очереди.

Дело в том, что формулы теории очередей позволяют найти именно стационарное значение среднего числа клиентов в системе (и другие стационарные средние характеристики работы СМО), не описывая процесс перехода системы из начального состояния в это стационарное (иногда говорят «процесс забывания системой ее начального состояния»). Длительность этого переходного процесса зависит от интенсивности входного потока и от того

насколько далеко начальное состояние от стационарного. В случае =s , система всегда находится на стадии переходного процесса, и стационарного состояние не достигается никогда.

Разумеется, непрерывный рост среднего числа клиентов в системе будет наблюдаться только при условии ее непрерывной работы. Представим себе магазин эпохи зрелого социализма, продающий дефицитный товар и не справляющийся с потоком потенциальных покупателей. Очередь в магазин будет непрерывно расти только в часы работы магазина. После закрытия магазина покупателей из системы удалят (либо обслужив их, либо нет), а входной поток обратится в ноль до следующего утра. Утром начнется все сначала, но при этом никаких бесконечно длинных очередей реально наблюдаться, конечно, не будет.