Классификация систем массового обслуживания

Системы массового обслуживания классифицируются по трем основным признакам.

I. Популяция потенциальных клиентов (или «резервуар» из которого приходят заявки) и характеристики входного потока.

1Популяция может быть бесконечной или конечной.

Бесконечной популяцию можно считать в том случае, если ее размер намного больше любого мыслимого размера очереди, который может возникнуть в данной СМО. При этом, интенсивность входного потока заявок не будет зависеть от того, сколько их уже поступило в систему.

Конечной мы будем называть такую популяцию, размер которой сравним с длиной очереди, образующейся в системе. Если, например, наладчик обслуживает 10 станков в цехе, и каждый станок останавливается и требует обслуживания в среднем 1 раз в час, то суммарный ожидаемый поток заявок будет 10 заявок в час. Если, однако, один станок (два или три станка) остановились, и наладчик занимается его обслуживанием, то ожидаемый суммарный поток новых заявок будет лишь 9 заявок в час (8 или 7), до тех пор пока остановившиеся станки опять на заработают. Именно поэтому для конечной популяции в качестве основной характеристики входного потока рассматривается не интенсивность потока заявок от всей популяции (как в случае бесконечной популяции), а интенсивность потока заявок от каждого члена популяции (которая остается постоянной независимо от размера очереди).

2Входной поток может быть подразделен на два вида:

Пуассоновский

Не пуассоновский

Мы ставим знак в тех случаях, для которых существуют модели теории очередей, и знак для тех случаев, которые не могут быть описаны

в рамках этой теории.

II.Свойства самой очереди.

1Размер очереди

Неограниченный

Ограниченный. Ограничения на размер очереди могут быть обусловлены технологическими причинами. Например, автоматическая телефонная станция не может удержать в очереди больше 10 звонков. Если в то время, когда 10 клиентов ждут ответа оператора, позвонил 11ый клиент, он услышит короткие гудки - «занято». Система отказала ему в обслуживании. Иногда можно использовать модель ограниченной очереди для описания психологических особенностей клиентов. Если исследования поведения ваших клиентов показывают, что они редко становятся в очередь, если в ней уже стоит, скажем, 5 человек, то

приблизительно можно описать вашу СМО как систему с отказами, в которой не может находиться более 5 клиентов.

2Дисциплина очереди

Первый пришел – первым обслужен (в российской терминологии –

«живая очередь)

Наличие заявок с приоритетом (примеры из российской практики: зрители с биноклями образуют отдельную очередь в театральном гардеробе, ветераны и беременные женщины – без очереди и пр.)

Очередь с нетерпеливыми заявками (после некоторого критического времени ожидания определенная доля заявок уходит, не дождавшись обслуживания).

Как видно, модели теории очередей разработаны только для

простейшей дисциплины очереди «Первый пришел - первым обслужен».

III.Свойства каналов обслуживания

1Число каналов

Один канал

Несколько каналов

2Пропускная способность каналов

Одинаковая

Различная

3Частотное распределение времени обслуживание

Экспоненциальное распределение

Произвольное распределение

Итак, теория очередей может рассматривать лишь модели с абсолютно одинаковыми каналами обслуживания, случайное время обслуживания в которых распределено экспоненциально. Последнее ограничение особенно нереалистично. В большинстве случаев, плотность распределения времени обслуживания характеризуется кривой с максимумом так, что существует наиболее вероятное время обслуживания, а вероятности того, что на обслуживание будет затрачено очень маленькое или очень большое время, понижены. Однако, за исключением самого простого случая неограниченной очереди с одним каналом обслуживания, получить в конечной форме решения для моделей СМО с иным, кроме экспоненциального, распределением для времени обслуживания не удается.

Заметим в заключение, что в тех случаях, когда невозможно использование конечных формул теории очередей, всегда есть возможность провести компьютерное моделирование системы массового обслуживания и, путем усреднения по многим реализациям случайного процесса, получить все необходимые характеристики ее работы. Однако это отдельная объемная тема, требующая специальных программных средств. Поэтому авторы не включили эту методику в настоящую книгу и предполагают рассмотреть ее в другом месте.

Расчеты характеристик СМО с помощью теории очередей.

Формулы и стандартные обозначения:

S– число серверов (каналов обслуживания)

– средняя скорость прибытия (интенсивность входного потока

заявок)

– средняя скорость обслуживания для каждого сервера.

K– максимальное количество клиентов, которые могут находится в системе (или число членов конечной популяции)

Ниже, в таблице мы приводим формулы для основных характеристик СМО [15] и используем общепринятые обозначения для моделей теории очередей:

Модель M/M/S – это модель неограниченной очереди, заявки в которую поступают из бесконечной популяции, поток заявок - пуассоновский,

распределение времени обслуживания - экспоненциальное, в системе S серверов (каналов обслуживания). Первая буква М обозначает Марковский процесс для входного потока заявок (синоним пуассоновского потока). Вторая буква М обозначает, что и поток обслуженных заявок описывается Марковским процессом (время обслуживания распределено экспоненциально). Буква S обозначает, что в системе S каналов обслуживания.

Модель M/M/1 – частный случай модели M/M/S, где число серверов S=1

Как отмечалось выше, для простейшей модели неограниченной очереди с одним сервером, известны конечные формулы для средних характеристик очереди и в случае произвольного распределения вероятностей для времени обслуживания. Эти модели обозначаются как М/D/1 – для случая пуассоновского входного потока, но постоянного времени обслуживания и М/G/1 для произвольного распределения вероятностей времени обслуживания.

Для модели бесконечной популяции и ограниченной очереди (так что в системе могут находиться не более K клиентов) с одним M/M/1/K и с S каналами обслуживания M/M/S/K

Для модели конечной популяции с числом членов, равным K, с одним

(M/M/1//K) и с S серверами (M/M/S//K)

Видно, что формулы в некоторых случаях весьма сложные и громоздкие. Обычных возможностей MS Excel недостаточно для автоматизации вычислений, поскольку в формулы входят суммы, пределы суммирования в которых зависят от параметров модели. Кроме того, некоторые характеристики СМО должны рассчитываться по разным формулам, в зависимости от параметров модели. Сейчас в Интернете можно найти сделанные для расчета характеристик СМО специальные надстройки к MS Excel, и наборы формул, расширяющие стандартный список формул MS Excel, и различные макросы, и даже JAVAапплеты для интернет-браузеров. Но, как и следовало ожидать, действительно удобные инструменты, содержащие все необходимые формулы, являются платными.

Когда в 1997 году авторы начали преподавать курс «Количественные методы в менеджменте» доступных инструментов расчета характеристик СМО, интегрированных с MS Excel, практически не было. Поэтому мы разработали собственную надстройку к MS Excel, которая называется Queue Mods.xla. Слушатели программ MBA Института бизнеса и делового администрирования АНХ получают эту надстройку на занятиях. Можно также загрузить ее на свой компьютер с сайта Института (страница www.ibs-m.ru/books)

Эту надстройку можно использовать, как обычный файл MS Excel с макросами, но удобнее всего добавить ее в список надстроек MS Excel. Чтобы использовать Queue Mods.xla как надстройку, следует переписать ее в папку, где содержатся стандартные надстройки MS Excel. Обычно это папка C:\Program files\Microsoft Office\Office\Library (в ней же вы можете увидеть и папку с уже знакомой вам надстройкой Поиск решения – Solver.xla). В зависимости от конкретной версии MS Office и процедуры установки названия папок могут немного отличаться. Например, в XP версии Microsoft Office это будет

…\Office10\Library, а в MS Office 2003 - …\Office11\Library.

Рис. 301

После того, как вы переписали файл в папку Library, следует вызвать в MS Excel меню Сервис \Надстройки ... (Tools \ Add-In... в английской версии) и отметить галочкой, появившуюся в списке надстроек новую надстройку Queue Mods (Рис. 301).

В результате этого в меню Сервис добавится новая строка «Расчет параметров СМО»...(Tools\ «Queue systems». в английской версии офиса). Сама надстройка двуязычная, в русской версии офиса она запускается с русским интерфейсом и выводом, в английской - автоматически переключается на английский интерфейс и вывод.

Надстройка корректно работает в версиях MS Office 97, 2000, XP и 2003. Кроме строки меню, на инструментальной панели появляется дополнительный

значок , который удобно использовать для быстрого запуска надстройки. Надстройка никак не меняет параметры вашего компьютера. Она легко

отключается через то же самое меню Сервис \Надстройки … (нужно только снять галочку напротив Queue Mods), при этом удаляется и дополнительная строка из меню и значок с панели.

Ну а теперь, вернемся к решению задачи.

При вызове надстройки «Расчет параметров СМО» появляется следующее диалоговое окно (Рис. 302). Если у вас английская версия офиса, а вы хотите иметь русский интерфейс в надстройке, отметьте кнопку RU в верхнем правом углу окна. Интерфейс переключится на русский вариант. Вообще эта пара кнопок

– RU и EN – позволяет переключаться между языками интерфейса и вывода совершенно свободно.

Рис. 302

Вдиалоговом окне надстройки имеется три вкладки:

неограниченная очередь (модели M/M/S и M/G/1),

ограниченная очередь (модели M/M/S/K, где K – максимальное количество клиентов в системе – ждущих и обслуживаемых, при этом S K) и

ограниченная популяция (модели M/M/S//K, где K – количество членов

популяции, и снова S K).

При вводе требуемых параметров модели необходимо следить за тем,

чтобы количество поступающих в систему заявок за единицу и количество заявок, которые каждый сервер может обработать в среднем за единицу времени, были

отнесены к одной и той же единице времени. Например, допустим, что интенсивность входного потока заявок на обслуживание равна 15 заявок в час, а среднее время, которое сервер тратит на обслуживание одной заявки равно 3 минуты. Тогда, если выбрать в качестве базовой единицы времени 1 час,

интенсивность входного потока следует задать равной 15, а скорость

обслуживания для каждого сервера - равной 20 (т.к. при среднем времени обслуживания в 3 минуты, в среднем будет обслужено 20 заявок в час).

При этом, после нажатия на кнопку «Выполнить», надстройка сформирует следующий лист MS Excel с характеристиками работы данной модели СМО (Рис. 303). В левой части листа показаны введенные Вами параметры модели, а также вычисленное по экспоненциальному распределению (или введенное Вами для

модели M/G/1) стандартное отклонение времени обслуживания . В правой части

– характеристики работы данной модели СМО в стационарном состоянии: процент загрузки каждого сервера , среднее число клиентов в системе Ls, средняя длина очереди Ls , средние времена пребывания в системе Ws и ожидания обслуживания Wq, а также процент времени, когда все серверы свободны (P0) и вероятность того, что в системе находится ровно N клиентов

(Pn).

Рис. 303

Интересно отметить, что выведенные на листе значения времени нахождения в системе, времени ожидания и стандартного отклонения времени обслуживания выражены в часах, т.е. именно в тех временных единицах, к которым были отнесены введенные Вами интенсивность входного потока и скорость обслуживания.

Если бы вместо введенных значений =15/час, =20/час, мы ввели бы

=0.25/мин, =0.3333333/мин, т.е. в качестве базовой единицы времени выбрали 1 минуту, вывод имел бы следующий вид (Рис. 304):

Рис. 304

Видно, что все характеристики работы СМО, выраженные в безразмерных единицах и процентах не изменились, а все временные характеристики теперь выражены в минутах, и хотя их численные значение на Рис. 304 иные, чем на Рис. 303, нетрудно убедится, что будучи выражены в одних и тех же единицах, они совпадают.

Конкретные примеры использования надстройки Queue Mods рассмотрены ниже.