- •Краткое содержание
- •Полный список примеров, задач и кейсов
- •Предисловие
- •Благодарности
- •Оптимизация в условиях полной определенности
- •1. Метод линейной оптимизации
- •Теоретические замечания.
- •Приемы решения задач
- •1.П-1. Фирма «Фасад»
- •Решение задачи.
- •1.П-2. Компания “Черные каски”
- •Решение задачи.
- •1.П-3. Сталепрокатный завод
- •Решение задачи.
- •1.П-4. На кондитерской фабрике. (Кейс)
- •Анализ Действия 1-го.
- •Действие 2-е. Жаль…, ведь мы все так любим «Батончик»!
- •Анализ Действия 2-го.
- •Дейчтвие 3-е. Проблема учета постоянных издержек
- •Анализ Действия 3-его.
- •1.П-5. Оптимизация производства на заводе «Прогресс» (Кейс)
- •Действие 1-е. Оптимальный план.
- •Первый шаг анализа
- •Второй шаг анализа (Предложение добросовестного рабочего)
- •Четвертый шаг анализа
- •Пятый шаг анализа
- •Анализ Действия 1-го.
- •1.П-6. Аренда с предоплатой
- •Решение задачи.
- •1.П-7. Большой портфель
- •Решение задачи.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.1. Планирование производства
- •1.1. Три магнитофона
- •1.2. Ферма
- •1.3. Мебельная фабрика
- •1.4. Смешивание соков
- •1.5. Пять типов продукции
- •1.6. Корпорация «Тополь»
- •1.8. Выпуск процессоров
- •1.9. Предприятие в Энске
- •1.10. Электронные переключатели
- •1.11. Фермер Билл Петрушкин
- •1.13. Предприятие «Высокий октан»
- •1.14. Корпорация «Ветер»
- •1.15. Компания «Подмосковная электроника»
- •1.16. Компания «Пауэр Кулинг»
- •1.17. Добыча руды в компании “Седьмой круг”
- •1.18. Детские велосипеды
- •1.19. Горнопромышленная компания “Белые каски”
- •1.20. Предприятие Танти Мару
- •1.21. Очистка нефти
- •1.23. План ремонта станков
- •1.25. Бакалейная лавка
- •1.26. Сухофрукты
- •1.27. Джинсовая одежда
- •1.28. Сэндвичи Жаннет
- •1.29. Компания «Корвет»
- •1.30. Фильм! Фильм! Фильм!!!
- •1.31. Предприятие «Маяк»
- •1.32. Англия, Франция и Испания
- •1.2. Планы закупок
- •1.33. Том, Дик и Джерри
- •1.35. Универсальный магазин
- •1.36. Торговая фирма «Одежда не для всех»
- •1.37. Торговая фирма «Одежда для всех»
- •1.38. Оптовая торговля замороженными овощами
- •1.3. Реклама и маркетинг
- •1.40. Рекламная компания
- •1.41. Эластичность спроса
- •1.42. Фирма «JL»
- •1.43. Корпорация «Фарма Лаб» (бизнес-кейс)
- •1.45. Индекс цен на молочные продукты
- •1.4. Оптимальный состав
- •1.46. Собачья еда
- •1.47. Свиноферма
- •1.48. Фармацевтическая компания
- •1.49. Пять предприятий
- •1.51. Школьные обеды
- •1.5. Финансы
- •1.53. Банк и 6 проектов
- •1.54. Комитет планирования
- •1.55. Инвестиционный бюджет
- •1.56. Консервативный инвестор
- •1.57. Портфель инвестиций
- •1.58. Дистрибьюторская компьютерная фирма
- •1.59. Инвестор и 5 проектов
- •1.60. Частный инвестор
- •1.61. Сара Вильямс
- •1.62. Оценка прибыльности цеха бухгалтерией
- •1.63. Аренда с ежемесячными выплатами
- •1.64. Сертификаты
- •1.65. Компания «СуперИнвест»
- •1.66. Планирование финансового потока
- •1.6. Расписания и графики выполнения заказов на производстве
- •Приемы решения задач
- •1.П-8. Банк «Простор»
- •Решение задачи.
- •1.П-9. Последовательность выполнения заказов
- •Решение задачи.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.68. “Ясный перец”
- •1.71. Электроэнергия
- •1.72. Последовательность обработки деталей на двух станках
- •1.73. Последовательность обработки деталей на трех станках
- •2. Транспортные задачи и логистика; задачи о назначениях и отборе.
- •Теоретические замечания.
- •Транспортная задача
- •Несбалансированность в транспортной задаче
- •Задача о назначениях
- •Задачи оптимизации логистики и цепочек поставок.
- •Приемы решения задач
- •2.П-1. Дорстрой
- •Решение задачи.
- •2.П-2. Поставки двух видов продуктов
- •Решение задачи.
- •2.П-3. Компью-Нет
- •Решение задачи.
- •2.П-4. Распределение аудиторов по фирмам
- •Решение задачи.
- •2.П-5. Заводы ЖБИ
- •Решение задачи.
- •2.П-6. Две бригады
- •Решение задачи.
- •2.П-7. Отделочный камень для коттеджей (Кейс)
- •Анализ кейса.
- •2.П-8. Цепочка поставок компании «НАЦПРОДУКТ» (Кейс)
- •Действие 1-е: Постановка задач оптимизации.
- •Анализ действия 1 кейса.
- •Определение оптимального плана закупок
- •Определение оптимального плана перевозок
- •Действие 2-е: Оптимизация и здравый смысл.
- •Анализ действия 2 кейса.
- •Действие 3-e: Интегрированный план для цепочки поставок
- •Анализ действия 3 кейса.
- •2.П-9. Фирма «Хороший хозяин»
- •Решение задачи.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.1. Логистика
- •2.1. Транспортный отдел
- •2.2. Транспортные издержки
- •2.3. Поставки со складов
- •2.4. Дефицит товара
- •2.5. Дорожное строительство
- •2.6. Подготовка к отопительному сезону
- •2.7. Перевозка контейнеров
- •2.9. Поставки
- •2.10. Ремонт автодорог
- •2.11. Слишком много поставщиков
- •2.12. Производственные площадки компании «Воздух»
- •2.13. Перевозки двух продуктов
- •2.14. Перевозки трех продуктов
- •2.15. Многопродуктовая задача
- •2.16. Транспортировка через промежуточные склады
- •2.17. Два завода
- •2.18. Грузовой самолет
- •2.22. Школьные перевозки
- •2.23. Два груза разных объемов
- •2.24. Поставки отопительного оборудования
- •2.25. Воздушные перевозки.
- •2.26. Рейс машины инкассатора
- •2.2. Оптимальные назначения и отбор
- •2.27. 7 команд
- •2.28. 8 команд с проблемой
- •2.29. 9 команд
- •2.30. Олимпийские игры
- •2.31. Назначение слесарей
- •2.32. Отбор специалистов и составление команд
- •2.33. Выбор мест для складов
- •2.34. Распределение оптовиков
- •2.35. Назначение центров снабжения
- •2.36. Склады для компании «Чистые материалы»
- •2.37. Отбор и расстановка рабочих
- •2.38. Дефицит рабочих
- •2.39. Запасная бригада
- •2.40. На стройках МТС
- •2.41. Назначение бригад ремонтников
- •2.43. Проблема мастера
- •2.44. Закупки для компании «Южный производитель»
- •3. Планирование и анализ проектов
- •Теоретические замечания.
- •Приемы решения задач.
- •3.П-1. Обеспечение заданных сроков за счет сверхурочных
- •Решение задачи.
- •3.П-2. Предел еженедельного финансирования проекта.
- •Решение задачи.
- •3.П-3. Проект Омикрон
- •Решение задачи.
- •3.П-4. Научно-просветительский центр планирования семьи в Нигерии.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1. Строительный проект
- •3.2. Новый ресторан МакЛуммокс
- •3.3. Консалтинговый проект для «Чайна ОллПродакт».
- •3.4. Срыв сроков начала работ субподрядчиком.
- •3.5. Автомобиль 007
- •3.6. Строительство торгового центра
- •3.7. Проект компании МегаШоп
- •3.9. Петров и партнеры
- •3.11. Мир женщин
- •3.12. Журнал Червонный Гудок
- •3.13. Проект корпорации «SHARON CONSTRUCTION»
- •4. Оптимальное управление запасами
- •Принятые обозначения и необходимые формулы
- •Теоретические замечания.
- •[S] – денежная единица/на один заказ.
- •Модель экономичного размера заказа
- •Основные допущения и параметры модели
- •Оптимальная частота заказа для группы товаров.
- •Модель производства оптимальной партии продукции
- •Ограничения модели экономичного размера заказа (партии продукции) и возможность их преодоления.
- •Приемы решения задач.
- •4.П-1. Выбор поставщика
- •Решение задачи.
- •4.П-2. Строительная фирма
- •Решение задачи.
- •4.П-3. Лов рыбы
- •Решение задачи.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.1. Выгодное предложение
- •4.2. Гостиница
- •4.3. Чековая лента
- •4.4. Военный госпиталь
- •4.5. Закупки в компании Стоик
- •4.7. Горный автомобиль
- •4.8. Сибирские моторы
- •4.11. Совхоз Чапаевец
- •4.13. Крыша
- •4.14. Предприятие АСЗ
- •4.15. Сеть магазинов «Деловой костюм»
- •5. Комплексное и многопериодное планирование
- •Приемы решения задач.
- •5.П-1. Агрегатный план производственного отдела компании «Вал» (Кейс)
- •Анализ кейса
- •Стратегия 1: Найм и увольнение.
- •Стратегия 2: Сверхурочные и частичная занятость.
- •Стратегия 3: Использование склада.
- •Оптимальная смесь стратегий.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.1. План для MemoBlink
- •5.3. Ферма Бэрримора
- •5.4. Горные лыжи
- •5.6. Компания АгроМашЗавод
- •5.7. Компания «Лем и сыновья»
- •5.8. График доставки
- •Методы принятия решений в условиях неопределенности и риска
- •Принятые обозначения и необходимые формулы
- •Теоретические замечания
- •Постановка задачи о количественной оценке риска возникновения дефицита и плате за его снижение до заданного уровня.
- •Основные характеристики случайного спроса.
- •Частотное распределение случайного спроса.
- •Нормальное распределение вероятностей.
- •Оценка риска возникновения дефицита по нормальному распределению.
- •Риск возникновения дефицита и уровень обслуживания.
- •Модель фиксированного периода между заказами.
- •Замечание о случайных вариациях времени поставки.
- •Однопериодная модель заказа.
- •Замечание об экономически обоснованном риске дефицита в модели фиксированного размера заказа.
- •Приемы решения задач
- •6.П-1. Магазин сантехники
- •Решение задачи.
- •6.П-2. Оптовые продажи хозтоваров
- •Решение задачи.
- •6.П-3. Новый Электрон
- •Решение задачи.
- •6.П-4. Свежая пресса
- •Решение задачи.
- •6.П-5. Банк «Белый Тигр»
- •Решение задачи.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.1. Бесконечный горизонт планирования – фиксированный запас
- •6.1. Отель
- •6.2. Офис крупной компании
- •6.3. Сэм управляет запасами
- •6.4. Мастерская
- •6.5. Стадион
- •6.6. “Биг-лайн”
- •6.7. Женский роман
- •6.8. Магазин «Кандела»
- •6.9. Местная станция обслуживания
- •6.10. Грубый Готлиб
- •6.11. Чехлы
- •6.12. Автосервис
- •6.13. Торговля пиломатериалами
- •6.14. Магазин сантехники
- •6.15. Выбор стратегии
- •6.16. Закупка сырья
- •6.17. Магазин «Хозтовары»
- •6.18. Сигнализация
- •6.19. Кухонные гарнитуры
- •6.20. Фармацевтическая компания
- •6.21. Батарейки
- •6.22. Магазин инструментов
- •6.23. Автомобильная секция
- •6.24. Системы водоснабжения
- •6.2. Бесконечный горизонт планирования – фиксированный период
- •6.26. «Пицца-Хат»
- •6.27. Универсальный магазин
- •6.28. Магазин «Свет»
- •6.29. Гамма Гидры
- •6.30. Универмаг «Приреченский»
- •6.31. Секция универсального магазина
- •6.32. Криминальное чтиво
- •6.33. Мини-Маркет
- •6.3. Однопериодная модель
- •6.35. Футболки
- •6.37. Мясной отдел
- •6.38. Компания «Маски»
- •6.40. Киоск
- •6.41. Расторопный Дмитрий
- •6.42. Бронирование контейнеров
- •6.43. Супермаркет и компания «Хозяюшка»
- •6.44. Отделение банка
- •6.45. Университет
- •6.46. Финансирование проекта
- •7. Выбор альтернатив.
- •Основные формулы теории вероятностей
- •Теоретические замечания.
- •Таблица выигрышей и потерь.
- •Принятие решений в условиях полной неопределенности
- •Принятие решений в условиях риска.
- •Стоимость совершенной информации.
- •Анализ устойчивости выбора оптимальной альтернативы для компании «Энергия палеолита».
- •Дерево альтернатив
- •Анализ устойчивости выбора оптимальной альтернативы по дереву альтернатив для компании «Вольный полет».
- •Переоценка вероятностей сценариев будущего в свете дополнительной информации. Стоимость несовершенной информации.
- •Приемы решения задач
- •7.П-1. Производитель снегоходов
- •Решение задачи.
- •7.П-2. Дефектные комплектующие
- •Решение задачи.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Простые сценарии развития событий
- •7.1. Производитель аэросаней
- •7.2. Оптовый склад хозяйственных товаров
- •7.3. Электротермометры
- •7.4. Хоз-маркет
- •7.5. Обувной отдел
- •7.6. Зеленщица
- •7.7. Маленькая кондитерская
- •7.8. Тракторы и СХ Орудия Барни
- •7.9. Переменный спрос
- •7.10. Супермаски
- •7.11. Компьютерная школа
- •7.12. Оптовая база
- •7.13. Елки-палки
- •7.14. Подготовка к зиме
- •7.15. Центр Компьютерного Тренинга
- •7.16. Производственная линия
- •7.17. Кредит
- •7.18. Две стратегии
- •7.19. Новый магазин
- •7.20. Турфирма «Улет»
- •7.21. Курортное местечко
- •Анализ цепочек событий
- •7.24. Парфюмерная компания
- •7.25. Производство ЭЛТ
- •7.27. Биохимическая лаборатория
- •7.30. Компания "Обуем всех"
- •7.31. Консалтинговая служба
- •7.32. Семейная инвестиционная проблема (бизнес-кейс)
- •7.33. Пекарня
- •7.34. Новый бизнес
- •7.36. Ипотечный фонд
- •7.37. Дворец-строй
- •7.38. Большая нефть
- •7.39. ОбувьСити
- •7.40. Золотой рудник
- •7.41. Риэлторская фирма г. Сидорова
- •8. Управление проектами с учетом случайных вариаций времени выполнения стадий
- •Теоретические замечания.
- •Приемы решения задач.
- •8.П-1. Проект «Снеси-Построй»
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8.1. Простой проект
- •8.2. Проект рекрутинговой компании
- •8.3. Полная релаксация
- •9. Оценка эффективности систем массового обслуживания и их оптимизация
- •Теоретическое введение.
- •Коммунальные платежи в отделении сбербанка.
- •Пуассоновский поток заявок.
- •Усредненные характеристики работы системы массового обслуживания.
- •Классификация систем массового обслуживания
- •Расчеты характеристик СМО с помощью теории очередей.
- •Приемы решения задач.
- •9.П-1. Банкоматы
- •Решение задачи.
- •9.П-2. Кафе в парке отдыха
- •Решение задачи.
- •9.П-3. Такси по телефону
- •Решение задачи.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •9.1. Телефонная система заказа билетов
- •9.2. Таможенный пункт
- •9.3. Большой цех
- •9.4. Приемная
- •9.5. Ресторан «Ешь вволю»
- •9.6. Торговля по каталогам
- •9.7. Таможенный досмотр
- •9.8. Бармен
- •9.9. Стоматологическая поликлиника (бизнес-кейс)
- •9.10. Парикмахерская
- •9.11. Бери и кати
- •9.12. Трасса Е95
- •9.13. Лодочная станция
- •9.14. Погрузка кирпича.
- •9.15. Бар «Аэродром»
- •9.16. Парк аттракционов
- •9.17. Офис
- •9.18. Аттракционы в парке отдыха
- •9.19. Колониальные товары
- •9.20. Мир цветов
- •9.21. Магазин сети «Шамбала»
- •9.22. Кафе «Золотая форель»
- •9.23. Серфинг
- •9.24. Радио-такси
- •9.26. Станки-автоматы
- •9.27. Полиграфическая компания
- •9.28. Кофе для преподавателя
- •9.29. Прядильная мастерская
- •9.30. Тамагочи
- •9.32. Полный порядок
- •9.33. Виртуальный друг
- •9.34. Завод научного приборостроения
- •9.35. Вязальные станки
- •Ответы к задачам
- •Оптимизация в условиях полной определенности
- •Метод линейной оптимизации.
- •1.2 Ферма
- •1.3 Мебельная фабрика
- •1.4 Смешивание соков
- •1.5 Пять типов продукции
- •1.6 Корпорация «Тополь»
- •1.9 Предприятие в Энске.
- •1.11 Фермер Билл Петрушкин
- •1.13 Предприятие «Высокий октан»
- •1.14 Корпорация «Ветер»
- •1.15 Компания «Подмосковная электроника»
- •1.16 Компания «Подмосковная электроника»
- •1.17 Добыча руды в компании “Седьмой круг”
- •1.18 Детские велосипеды
- •1.19 Горнопромышленная компания “Белые каски”
- •1.20 Предприятие Танти Мару
- •1.21 Очистка нефти
- •1.22 Производство минеральных плит
- •1.23 План ремонта станков
- •1.25 Бакалейная лавка
- •1.26 Сухофрукты
- •1.27 Джинсовая одежда
- •1.28 Сэндвичи Жаннет
- •1.29 Компания «Корвет»
- •1.30 Фильм! Фильм! Фильм!!!
- •1.31 Предприятие «Маяк»
- •1.32 Англия, Франция и Испания
- •1.33 Том, Дик и Джерри
- •1.34 Поставки химического сырья
- •1.36 Торговая фирма «Одежда не для всех»
- •1.38 Оптовая торговля замороженными овощами
- •1.39 Корпорация «Природный газ»
- •1.40 Рекламная компания
- •1.41 Эластичность спроса
- •1.42 Фирма «JL»
- •1.45 Индекс цен на молочные продукты
- •1.46 Собачья еда
- •1.47 Свиноферма
- •1.48 Фармацевтическая компания
- •1.51 Школьные обеды
- •1.53 Банк и 6 проект
- •1.56 Консервативный инвестор
- •1.58 Дистрибьюторская компьютерная фирма
- •1.60 Частный инвестор
- •1.61 Сара Вильямс
- •1.62 Оценка прибыльности цеха бухгалтерией
- •1.63 Аренда с ежемесячными выплатами
- •1.64 Сертификаты
- •1.65 Компания «СуперИнвест»
- •1.67 «Дом-строй»
- •1.68 “Ясный перец”
- •1.71 Электроэнергия
- •1.72 Последовательность обработки деталей на двух станках
- •1.73 Последовательность обработки деталей на трех станках
- •Транспортные задачи и логистика; задачи о назначениях и отборе
- •2.1 Транспортный отдел
- •2.2 Транспортные издержки
- •2.3 Поставки со складов
- •2.4 Дефицит товара
- •2.5 Дорожное строительство
- •2.6 Подготовка к отопительному сезону
- •2.7 Перевозка контейнеров
- •2.9 Поставки
- •2.10 Ремонт автодорог
- •2.11 Слишком много поставщиков
- •2.12 Производственные площадки компании «Воздух»
- •2.13 Перевозки двух продуктов
- •2.14 Перевозки трех продуктов
- •2.15 Многопродуктовая задача
- •2.16 Транспортировка через промежуточные склады
- •2.17 Два завода
- •2.22 Школьные перевозки
- •2.23 Два груза разных объемов
- •2.24 Поставки отопительного оборудования
- •2.25 Воздушные перевозки.
- •2.26 Рейс машины инкассатора
- •2.27 7 команд
- •2.28 8 команд с проблемой
- •2.29 9 команд
- •2.30 Олимпийские игры
- •2.31 Назначение слесарей
- •2.32 Отбор специалистов и составление команд
- •2.33 1:1:2:7: Выбор мест для складов
- •2.34 Распределение оптовиков
- •2.35 Назначение центров снабжения
- •2.36 Склады для компании «Чистые материалы»
- •2.37 Отбор и расстановка рабочих
- •2.38 Дефицит рабочих
- •2.39 1:2:2:13. Запасная бригада
- •2.40 На стройках МТС
- •2.41 Назначение бригад ремонтников
- •2.43 Проблема мастера
- •2.44 Закупки для компании «Южный производитель»
- •Планирование и анализ проектов
- •3.1 Строительный проект
- •3.2 Новый ресторан МакЛуммокс
- •3.3 Консалтинговый проект для «Чайна ОллПродакт».
- •3.4 Срыв сроков начала работ субподрядчиком.
- •3.5 Автомобиль 007
- •3.6 Строительство торгового центра
- •3.7 Строительство торгового центра
- •3.9 Петров и партнеры
- •3.11 Мир женщин
- •3.12 Журнал Червонный Гудок
- •3.13 Проект корпорации «SHARON CONSTRUCTION»
- •Оптимальное управление запасами
- •4.2 Гостиница
- •4.3 Чековая лента
- •4.5 Закупки в компании Стоик
- •4.7 Горный автомобиль
- •4.8 Сибирские моторы
- •4.10 ЖК-панели
- •4.11 Совхоз Чапаевец
- •4.13 Крыша
- •4.14 Предприятие АСЗ
- •4.15 Сеть магазинов «Деловой костюм»
- •Комплексное и многопериодное планирование
- •5.1 План для MemoBlink
- •5.3 Ферма Бэрримора
- •5.4 Горные лыжи
- •5.5 Компания Красный молот
- •5.6 Компания АгроМашЗавод
- •5.7 Компания «Лем и сыновья»
- •5.8 График доставки
- •Методы принятия решений в условиях неопределенности и риска
- •Оптимальное управление запасами с учетом случайных вариаций спроса
- •6.1 Отель
- •6.2 Офис крупной компании
- •6.3 Сэм управляет запасами
- •6.4 Мастерская
- •6.5 Стадион
- •6.6 “Биг-лайн”
- •6.7 Женский роман
- •6.8 Магазин «Кандела»
- •6.9 Местная станция обслуживания
- •6.10 Грубый Готлиб
- •6.11 Чехлы
- •6.12 Автосервис
- •6.13 Торговля пиломатериалами
- •6.14 Магазин сантехники
- •6.15 Выбор стратегии
- •6.16 Закупка сырья
- •6.17 Магазин «Хозтовары»
- •6.18 Сигнализация
- •6.19 Кухонные гарнитуры
- •6.20 Фармацевтическая компания
- •6.21 Батарейки
- •6.22 Магазин инструментов
- •6.23 Автомобильная секция
- •6.24 Системы водоснабжения
- •6.26 «Пицца-Хат»
- •6.27 Универсальный магазин
- •6.28 Магазин «Свет»
- •6.29 Гамма Гидры
- •6.30 Универмаг «Приреченский»
- •6.31 Секция универсального магазина
- •6.32 Криминальное чтиво
- •6.33 Мини-Маркет
- •6.35 Футболки
- •6.37 Мясной отдел
- •6.38 Компания «Маски»
- •6.39 Шубы
- •6.40 Киоск
- •6.41 Расторопный Дмитрий
- •6.42 Бронирование контейнеров
- •6.43 Супермаркет и компания «Хозяюшка»
- •6.44 Отделение банка
- •6.45 Университет
- •6.46 Финансирование проекта
- •Выбор альтернатив
- •7.1 Производитель аэросаней
- •7.2 Оптовый склад хозяйственных товаров
- •7.3 Электротермометры
- •7.4 Хоз-маркет
- •7.5 Обувной отдел
- •7.6 Зеленщица
- •7.7 Маленькая кондитерская
- •7.8 Тракторы и СХ Орудия Барни
- •7.9 Переменный спрос
- •7.10 Супермаски
- •7.11 Компьютерная школа
- •7.12 Оптовая база
- •7.13 Елки-палки
- •7.14 Подготовка к зиме
- •7.15 Центр Компьютерного Тренинга
- •7.16 Производственная линия
- •7.17 Кредит
- •7.18 Две стратегии
- •7.19 Новый магазин
- •7.20 Турфирма «Улет»
- •7.21 Курортное местечко
- •7.24 Парфюмерная компания
- •7.25 Производство ЭЛТ
- •7.26 Пробка
- •7.27 Биохимическая лаборатория
- •7.28 Повышение квалификации
- •7.30 Компания "Обуем всех"
- •7.31 Консалтинговая служба
- •7.32 Семейная инвестиционная проблема
- •7.33 Пекарня
- •7.34 Новый бизнес
- •7.36 Ипотечный фонд
- •7.37 Дворец-строй
- •7.38 Большая нефть
- •7.39 ОбувьСити
- •7.40 Золотой рудник
- •7.41 Риэлторская фирма г. Сидорова
- •7.42 Покупка магазина
- •Управление проектами с учетом случайных вариаций времени выполнения стадий
- •8.1 Простой проект
- •8.2 Проект рекрутинговой компании
- •8.3 Полная релаксация
- •Оценка эффективности систем массового обслуживания и их оптимизация
- •9.1 Телефонная система заказа билетов
- •9.2 Таможенный пункт
- •9.3 Большой цех
- •9.4 Приемная
- •9.5 Ресторан «Ешь вволю»
- •9.6 Торговля по каталогам
- •9.7 Таможенный досмотр
- •9.8 Бармен
- •9.9 Стоматологическая поликлиника
- •9.10 Парикмахерская
- •9.11 Бери и кати
- •9.12 Трасса Е95
- •9.13 Лодочная станция
- •9.14 Погрузка кирпича.
- •9.15 Бар «Аэродром»
- •9.16 Парк аттракционов
- •9.17 Офис
- •9.18 Аттракционы в парке отдыха
- •9.19 Колониальные товары
- •9.20 Мир цветов
- •9.21 Магазин сети «Шамбала»
- •9.22 Кафе «Золотая форель»
- •9.23 Серфинг
- •9.24 Радио-такси
- •9.26 Станки-автоматы
- •9.27 Полиграфическая компания
- •9.28 Кофе для преподавателя
- •9.29 Прядильная мастерская
- •9.30 Тамагочи
- •9.32 Полный порядок
- •9.33 Виртуальный друг
- •9.34 Завод научного приборостроения
- •9.35 Вязальные станки
- •Глоссарий
Приемы решения задач.
9.П-1. Банкоматы
1.Банк планирует открыть банкомат для получения денег, не выходя из машины. Оценки показывают, что поток клиентов в рабочие дни - 15 машин/ в час. Банкомат тратит на обслуживание клиента в среднем 3 минуты. Предполагая пуассоновский поток заявок и экспоненциальное распределение для времени обслуживания найти:
a.Долю времени, когда банкомат загружен;
b.Долю времени, когда он бездействует;
c.Среднее число машин у банкомата;
d.Среднее число машин в очереди у банкомата;
e.Среднее время, затрачиваемое клиентом для получения денег;
f.Среднее время, которое клиент проводит в очереди;
g.С какой вероятностью возле банкомата будут стоять более 3 машин.
2.Предположите, что время обслуживания клиента распределено нормально со средним значением 3 мин и стандартным отклонением:
h.3 мин,
i.1 мин,
j.0 мин, ( постоянное время обслуживания).
Определите, как изменятся характеристики системы.
3.Поскольку банкомат будет расположен на оживленной улице, не более трех машин могут стоять возле него. Если три машины стоят у банкомата, остальным негде остановиться, и они проезжают мимо.
k.Какое количество клиентов будет терять банк в таком случае?
l.Каковы характеристики СМО в этом случае?
4.Пусть банк решил поставить два банкомата рядом так, что машина может подъехать к любому свободному. При этом
m.Жесткое ограничение на длину очереди снято, но крайне желательно, чтобы у банкоматов было не больше 3 машин. Какова вероятность, что в очереди действительно будет не более 3 машин. Как изменятся характеристики СМО?
n.Жесткое ограничение на количество машин у банкомата сохранено. Какое количество клиентов будет терять банк в таком случае? Каковы характеристики СМО в этом случае?
Решение задачи.
Справочная часть этого раздела задач, как вы можете убедиться, не внушает особенного желания воспользоваться приведенными формулами для расчетов характеристик систем массового обслуживания. Действительно, формулы в основном довольно громоздкие и, что хуже всего, их часто даже в Excel невозможно использовать, введя один раз, для расчета систем массового обслуживания просто меняя параметры λ, μ и проч.
Зайцев М.Г., Варюхин С.Е. |
589 |
Сначала определим модель системы массового обслуживания, применимую для данного случая. Наиболее важные обстоятельства в этом случае
– наличие небольшой популяции клиентов или ограничения на размер очереди. Так как никаких упоминаний о подобных ограничениях в задаче нет, считаем, что имеем дело с моделью неограниченной очереди. Кроме того, речь идет только об одном банкомате, т.о. в системе имеется только один сервер.
Поток клиентов λ, прибывающих на вход в систему, равен 15 машинам в час. Кроме этого известно, что на обслуживание клиента в среднем тратится 3 минуты. Это означает, что за час в среднем обслуживается 20 клиентов, т.е. поток обслуживания μ равен 20 машин в час. По формулам для модели ММ1 можно убедиться, что все необходимые для расчета данные у нас есть. Вызываем надстройку Расчет параметров СМО…, появляется следующее диалоговое окно (Рис. 305). Если у вас английская версия офиса, а вы хотите иметь русский интерфейс в надстройке, отметьте кнопку RU в верхнем правом углу окна. Интерфейс переключится на русский вариант.
Рис. 305
Вообще эта пара кнопок – RU и EN – позволяет переключаться между языками интерфейса и вывода совершенно свободно. Мы добавили такую возможность ввиду того, что на российско-бельгийской программе Executive MBA ИБДА слушатели обязаны представлять все работы на английском языке, а иметь отдельные версии одной и той же программы для разных языков неудобно.
В диалоговом окне надстройки имеется три вкладки: неограниченная очередь, ограниченная очередь и ограниченная популяция. Так как мы решили, что данная задача решается в модели неограниченной очереди, останемся на вкладке, открытой по умолчанию.
Щелкнем левой кнопкой мыши в окне λ – интенсивность потока заявок, и введем значение 15. Далее, переходя к остальным двум окнам ввода, задаем значение интенсивности потока обслуживания μ = 20 и количество серверов S = 1. В задаче оговорено, что время обслуживания распределено экспоненциально, поэтому мы оставим без изменения включенную по умолчанию кнопку Вид распределения..\Экспоненциальное. Нажимаем кнопку Выполнить и в активную книгу Excel (книгу, с которой вы работаете в момент вызова надстройки), добавится новый лист с результатами расчета. На рисунке (Рис. 306) показан вид нового листа.
A |
B |
C |
D |
E |
1 |
|
Модель: |
Неограниченная очередь |
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
Пуассоновское распределение для потока заявок |
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
Экспоненциальное распределение времени обслуживания |
|
|
||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
Расчет по формулам теории СМО |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
Данные |
|
|
|
Результаты: |
|
|
|||
8 |
|
|
|
|
15 |
|
Процент загрузки каждого сервера |
= |
0.75000 |
||
9 |
|
|
|
|
20 |
|
Среднее число клиентов в системе |
L = |
3.00000 |
||
10 |
|
S |
|
|
1 |
|
|
Средняя длина очереди |
L q = |
2.25000 |
|
11 |
|
K |
|
~ |
|
|
Среднее время пребывания в системе |
W = |
0.20000 |
||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
Среднее время ожидания в очереди |
Wq = |
0.15000 |
|
13 |
|
|
|
|
0.05 |
|
% времени, когда все серверы свободны |
P0 = |
0.25000 |
||
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность того, что ровно N клиентов находятся в |
системе |
||
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P01 = |
0.18750 |
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P02 = |
0.14063 |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P03 = |
0.10547 |
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P04 = |
0.07910 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P05 = |
0.05933 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P06 = |
0.04449 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P07 = |
0.03337 |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P08 = |
0.02503 |
43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P28 = |
0.00008 |
44 |
|
|
|
The page is created by QueueMods 9 |
|
P29 = |
0.00006 |
||||
|
|
|
|
||||||||
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 306
Взаголовке указана использованная модель – неограниченная очередь, один сервер, экспоненциальное распределение времени обслуживания. С левой стороны приведены значения параметров очереди, которые мы задали: λ, μ и S. Кроме этого, приведено и вычисленное значение стандартного отклонения для экспоненциального распределения времени обслуживания, которое равно 1/μ. В правом столбце результат расчета, из которого мы можем почерпнуть информацию для ответов на вопросы первой части задачи.
Доля времени, когда банкомат загружен равна проценту загрузки каждого (в нашем случае единственного) сервера, т.е 75% всего времени работы. Разумеется, это средняя оценка, которую можно было бы сделать по многим наблюдениям за системой;
Доля времени, когда банкомат бездействует, равна времени, когда все серверы свободны – 25% рабочего времени;
Среднее число машин у банкомата соответствует числу клиентов в системе
–3 клиента. В это число входит и та машина, которая стоит у банкомата и те, которые ждут своей очереди на подъездной дорожке;
Средняя длина очереди – 2.25 клиента – показывает среднее число машин в очереди у банкомата;
Всреднее время, затрачиваемое клиентом для получения денег, входит и время, затраченное на ожидание в очереди, и время, которое клиент тратит на ввод информации в банкомат и ожидание транзакции (3 минуты в среднем), т.е. это полное время пребывания в системе. Это время приводится в таблице в тех же единицах, для которых задан поток – в часах. Следовательно, это время равно 0.2 часа или 12 минут;
Зайцев М.Г., Варюхин С.Е. |
591 |
Среднее время, которое клиент проводит в очереди равно 0.15 часа или 9
минут;
В нижней части таблицы приведены вероятности нахождения в системе заданного числа клиентов (от 1 до 29, но часть строк скрыта для экономии места). Вероятность того, что у банкомата будет стоять не более 3 машин, т.е либо ни одной (% времени, когда все серверы свободны), либо одна, либо две, либо три машины можно легко найти, сложив соответствующие вероятности: Pn<=3 = 0.25000 +0.18750 +0.14063 +0.10547 = 0.68359 (~ 68%). После этого можно определить и вероятность того, что в очереди будет более трех машин Pn>3, как 1 - Pn<=3. Pn>3= 0.31641 (~32%). Очевидно, что другой возможный путь – суммирование всех вероятностей для n>3 – гораздо менее удобен, но тоже применим, особенно если эти вероятности быстро падают до нуля. В данной задаче это не так, потому что даже вероятность того, что в системе n=29 клиентов отлична от нуля.
Во второй части задачи нам предлагается оценить параметры модели и ответить на те же вопросы, в условиях, когда время обслуживания распределено нормально с заданным стандартным отклонением. Мы можем сделать это, изменив параметры модели.
Вызовем надстройку Расчет параметров СМО еще раз. Если вы не закрывали книгу Excel, после того, как провели предыдущий расчет, то при вызове надстройки в ней сохранятся последние введенные данные. Но теперь мы кликнем мышкой отключенную по умолчанию кнопку Вид распределения.. \Произвольное. При этом вид окна изменится (Рис. 307)
Рис. 307
В появившемся окне σ можно задать стандартное отклонение времени обслуживания. Нужно только снова перевести его в те же единицы времени, для которых рассчитаны потоки – в часы. Итак:
При стандартном отклонении 3 минуты и среднем значении времени обслуживания те же 3 минуты мы получаем, что и среднее время обслуживания и стандартное отклонение равны 0.05 часа. Записываем это значение в окне σ и вновь нажимаем кнопку Выполнить. В новом листе будут записаны следующие данные (Рис. 308).
A |
B |
C |
D |
E |
1 |
|
Модель: |
Неограниченная очередь |
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
Пуассоновское распределение для потока заявок |
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
Произвольное распределение времени обслуживания |
|
|
|
|
|||
4 |
|
|
|
|
|
Расчет по формулам теории СМО |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
Данные |
|
|
|
Результаты: |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
15 |
|
Процент загрузки каждого сервера |
= |
|
0.75000 |
|
9 |
|
|
|
20 |
|
Среднее число клиентов в системе |
L = |
|
3.00000 |
|
10 |
|
S |
|
1 |
|
Средняя длина очереди |
L q = |
|
2.25000 |
|
11 |
|
K |
~ |
|
|
Среднее время пребывания в системе |
W = |
|
0.20000 |
|
12 |
|
|
|
|
|
Среднее время ожидания в очереди |
Wq = |
|
0.15000 |
|
13 |
|
|
|
0.05 |
|
% времени, когда все серверы свободны |
P0 |
= |
|
0.25000 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
Вероятность того, что ровно N клиентов находятся в |
системе |
|||
16 |
|
|
|
|
|
Эти величины нельзя рассчитать теоретически-> |
? |
|
||
17 |
|
|
|
|
|
|
P02 |
= |
? |
|
18 |
|
|
|
|
|
|
P03 |
= |
? |
|
19 |
|
|
|
|
|
|
P04 |
= |
? |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
P05 |
= |
? |
|
Рис. 308
Как мы видим, все числа в столбце E8:E13 в точности совпадают с результатами предыдущего расчета характеристик системы массового обслуживания (Рис. 306). Почему?
Обратите внимание на значение σ в предыдущем расчете – оно также равно 0.05. Понятно, что сделанный только что расчет для распределения произвольного вида обязан не противоречить расчету, в котором вид распределения задан явно, если стандартное отклонение в обоих случаях совпадает. Чем же отличаются эти два случая?
Различия есть.
В последнем расчете отсутствуют значения вероятности наличия в очереди 1-го, 2-х, 3-х и т.д. клиентов, т.к. эти величины можно рассчитать только для экспоненциального распределения времени обслуживания. Если бы мы смоделировали СМО с характеристиками, заданными в пункте h, то обнаружили бы, что разный вид распределения времени обслуживания приводит к различным значениям вероятностей P1, P2, P3 и так далее. Но по формулам это рассчитать невозможно (кроме случая с экспоненциальным распределением). Поэтому надстройка выдает характеристики, зависящие от стандартного отклонения σ, но не зависящие от вида распределения. Остается убедиться в том, что надстройка выдает и результаты, которые невозможно получить при экспоненциальном распределении времени обслуживания.
Для этого зададим стандартное отклонение σ, равное 1 мин. Так как 1 мин составляет 1/60 часть часа, то теперь в окне σ нужно задать 1/60 ≈0.016667 и вновь нажать кнопку Выполнить. Результат показан на следующем рисунке (Рис. 309). В целом, полученные данные свидетельствуют о том, что характеристики СМО улучшились. Уменьшилась длина очереди с 2.25 клиента до 1.25 клиента и уменьшились время пребывания в системе и в очереди. Значение коэффициента утилизации (процент загрузки сервера) при этом не изменяется, так как оно не зависит от σ (см. формулы в начале раздела).
Зайцев М.Г., Варюхин С.Е. |
593 |
Теперь зададим стандартное отклонение, равное 0 минут. При этом σ = 0, т.е. время обслуживания постоянно и в точности равно 3 мин. Можно ожидать, что в этом случае характеристики очереди еще улучшатся. И в самом деле, как мы видим на рисунке (Рис. 310), время пребывания в очереди снова уменьшилось.
A |
B |
C |
D |
E |
1 |
Модель: |
Неограниченная очередь |
|
|
|
|
|||
2 |
|
Пуассоновское распределение для потока заявок |
|
|
|
|
|||
3 |
|
Произвольное распределение времени обслуживания |
|
|
|
|
|||
4 |
|
|
|
|
Расчет по формулам теории СМО |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
Данные |
|
|
|
Результаты: |
|
|
|
|
8 |
|
|
15 |
|
Процент загрузки каждого сервера |
= |
|
0.75000 |
|
9 |
|
|
20 |
|
Среднее число клиентов в системе |
L = |
|
2.00000 |
|
10 |
S |
|
1 |
|
Средняя длина очереди |
L q = |
|
1.25000 |
|
11 |
K |
~ |
|
|
Среднее время пребывания в системе |
W = |
|
0.13333 |
|
12 |
|
|
|
|
Среднее время ожидания в очереди |
Wq = |
|
0.08333 |
|
13 |
|
0.016667 |
|
% времени, когда все серверы свободны |
P0 |
= |
|
0.25000 |
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
Вероятность того, что ровно N клиентов находятся в |
системе |
|||
16 |
|
|
|
|
Эти величины нельзя рассчитать теоретически-> |
? |
|
||
17 |
|
|
|
|
|
P02 |
= |
? |
|
18 |
|
|
|
|
|
P03 |
= |
? |
|
19 |
|
|
|
|
|
P04 |
= |
? |
|
|
Рис. 309 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
B |
|
C |
D |
|
|
|
E |
1 |
Модель: |
Неограниченная очередь |
|
|
|
|
|||
2 |
|
Пуассоновское распределение для потока заявок |
|
|
|
|
|||
3 |
|
Произвольное распределение времени обслуживания |
|
|
|
|
|||
4 |
|
|
|
|
Расчет по формулам теории СМО |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
Данные |
|
|
|
Результаты: |
|
|
|
|
8 |
|
|
15 |
|
Процент загрузки каждого сервера |
= |
|
0.75000 |
|
9 |
|
|
20 |
|
Среднее число клиентов в системе |
L = |
|
1.87500 |
|
10 |
S |
|
1 |
|
Средняя длина очереди |
L q = |
|
1.12500 |
|
11 |
K |
~ |
|
|
Среднее время пребывания в системе |
W = |
|
0.12500 |
|
12 |
|
|
|
|
Среднее время ожидания в очереди |
Wq = |
|
0.07500 |
|
13 |
|
|
0 |
|
% времени, когда все серверы свободны |
P0 |
= |
|
0.25000 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
Вероятность того, что ровно N клиентов находятся в |
системе |
|||
16 |
|
|
|
|
Эти величины нельзя рассчитать теоретически-> |
? |
|
||
17 |
|
|
|
|
|
P02 |
= |
? |
|
18 |
|
|
|
|
|
P03 |
= |
? |
|
19 |
|
|
|
|
|
P04 |
= |
? |
|
20 |
|
|
|
|
|
P05 |
= |
? |
|
Рис. 310
В третьей части задания речь идет о новом типе системы массового обслуживания – системе с ограниченной очередью. До этого момента мы использовали для расчетов вкладку Неограниченная очередь, Теперь, щелкнув по ярлыку вкладки Ограниченная очередь перейдем к новой панели надстройки (Рис.
311). Здесь к трем параметрам, аналогичным параметрам модели неограниченной очереди, добавляется еще один – максимальное количество клиентов в системе. (Иногда этот параметр называют максимальная длина очереди, но в этом случае он равен K-S, т.е. максимальное количество клиентов в системе минус число серверов. Это отличие следует учитывать при пользовании другими способами расчета характеристик СМО.)
По условию задачи у банкомата не может стоять более 3-х машин, т.е. максимальное количество клиентов в системе – 3. Априори ясно, что при одном банкомате-сервере максимальная длина очереди не может превышать 2 машины. Снова нажмем кнопку Выполнить.
Рис. 311
На следующем рисунке (Рис. 312) показаны результаты расчета. Вверху листа кратко охарактеризована использованная модель – ограниченная очередь, один сервер. Сравнение характеристик СМО из столбца E8:E13 с результатами, полученными ранее, показывают, что качество системы вроде бы снова улучшилось, даже по сравнению со случаем постоянного времени обслуживания. Однако это улучшение не является безусловным.
A |
B |
C |
D |
E |
1 |
|
Модель: |
Ограниченная очередь |
|
|
|
|||
2 |
|
|
Пуассоновское распределение для потока заявок |
|
|
|
|||
3 |
|
|
Экспоненциальное распределение времени обслуживания |
|
|
|
|||
4 |
|
|
|
|
|
Расчет по формулам теории СМО |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
Данные |
|
|
|
Результаты: |
|
|
|
8 |
|
|
|
15 |
|
Процент загрузки каждого сервера |
= |
0.63429 |
|
9 |
|
|
|
20 |
|
Среднее число клиентов в системе |
L = |
1.14857 |
|
10 |
|
S |
|
1 |
|
Средняя длина очереди |
L q = |
0.51429 |
|
11 |
|
K |
|
3 |
|
Среднее время пребывания в системе |
W = |
0.09054 |
|
12 |
|
|
|
|
|
Среднее время ожидания в очереди |
Wq = |
0.04054 |
|
13 |
|
|
|
0.05 |
|
% времени, когда все серверы свободны |
P0 |
= |
0.36571 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
Вероятность того, что ровно N клиентов находятся в |
системе |
||
16 |
|
|
|
|
|
|
P01 |
= |
0.27429 |
17 |
|
|
|
|
|
|
P02 |
= |
0.20571 |
18 |
|
|
|
|
|
|
P03 |
= |
0.15429 |
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зайцев М.Г., Варюхин С.Е. |
595 |
Рис. 312
Не зря в этом вопросе задачи говорится о количестве потерянных клиентов. Ведь как только из-за случайных колебаний потока клиентов и потока обслуживания очередь у банкомата достигнет двух машин (+ одна под обслуживанием), все новые потенциальные клиенты вынуждены будут проезжать мимо до тех пор, пока очередь не уменьшится до одной машины. Следовательно, улучшение характеристик СМО произошло фактически за счет потери части клиентов. В данном случае потерянные клиенты – потерянные деньги и у владельца банкомата есть все основания не слишком радоваться характеристикам своей СМО. Впрочем, в данном случае у нас нет информации об экономических характеристиках ситуации – например, прибыли с одного клиента, арендной плате за установку банкомата и изменении этой платы в случае удлинения подъездной дорожки и проч. - так что делать обоснованные экономические выводы мы не можем. Однако можно оценить среднее число потерянных клиентов.
Для этого нужно сформулировать, в каких условиях теряется клиент. Мы уже отметили, что клиент теряется тогда, когда очередь у банкомата максимальна и равна 2 машинам. В этом случае общее количество клиентов в системе равно 3. Посмотрим, чему же равна вероятность такого события. Из результатов расчета (Рис. 312) следует, что P3=0.15429. Т.е. теряется чуть более 15% всех потенциальных клиентов. А общее количество потенциальных клиентов (поток клиентов λ) равно 15 в час. Таким образом, из этих 15 клиентов в среднем 2.31429 клиента будет потеряно, а прибыль получена только от 12.6857 клиентов в час.
То обстоятельство, что часть клиентов теряется, не только приводит к тому, что среднее число клиентов в системе, средняя длина очереди, среднее время пребывания в системе и среднее время пребывания в очереди уменьшаются в сравнении с СМО с неограниченной очередью. Уменьшается и процент загрузки сервера (0.63429 вместо 0.75) и, следовательно, его экономическая эффективность.
В четвертой части задачи используются обе рассмотренные нами модели СМО, изменяется только количество серверов-банкоматов. Вызовем еще раз надстройку Расчет параметров СМО, вернемся на первую вкладку Неограниченная очередь и изменим количество серверов до 2. Если по ходу решения задачи вы не закрывали Excel, то на вкладке должны были сохраниться последние установки – произвольное распределение времени обслуживания со стандартным отклонением 0. Как только вы измените количество серверов на 2, вид распределения времени обслуживания автоматически изменится на экспоненциальное и окно выбора значения стандартного отклонения закроется. Это связано с тем, что формулы для расчета характеристик СМО при произвольном распределении времени обслуживания существуют только для случая, когда в системе один сервер. Если серверов больше, установить характеристики СМО можно только прямым моделированием.
Результат расчета приведен на Рис. 313.
Очевидно, что характеристики системы улучшились. Среднее время пребывания в очереди стало меньше полуминуты (0.008 часа). Оценим теперь вероятность того, что в системе будет более 3 клиентов. Сумма вероятностей отсутствия клиентов в системе (0.45454), одного клиента в системе (0.34091 ),
двух и трех клиентов в системе (0.12784 и 0.04794) равна 0.97124. Следовательно, только 2,88% случаев количество машин у банкоматов будет превышать 3. Это, судя по всему, вполне удовлетворяет критерию «крайне нежелательно». При этом все же вполне вероятно, что в системе будет 5, 6, 7 и более клиентов. Нетрудно подсчитать, что примерно в течение 1 минуты за две недели в системе может быть даже 10 клиентов.
A |
B |
C |
D |
E |
1 |
|
Модель: |
Неограниченная очередь |
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
Пуассоновское распределение для потока заявок |
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
Экспоненциальное распределение времени обслуживания |
|
|
||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
Расчет по формулам теории СМО |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
Данные |
|
|
|
Результаты: |
|
|
|||
8 |
|
|
|
|
15 |
|
Процент загрузки каждого сервера |
= |
0.37500 |
||
9 |
|
|
|
|
20 |
|
Среднее число клиентов в системе |
L = |
0.87273 |
||
10 |
|
S |
|
|
2 |
|
|
Средняя длина очереди |
L q = |
0.12273 |
|
11 |
|
K |
|
~ |
|
|
Среднее время пребывания в системе |
W = |
0.05818 |
||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
Среднее время ожидания в очереди |
Wq = |
0.00818 |
|
13 |
|
|
|
|
0.05 |
|
% времени, когда все серверы свободны |
P0 = |
0.45455 |
||
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность того, что ровно N клиентов находятся в |
системе |
||
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P01 = |
0.34091 |
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P02 = |
0.12784 |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P03 = |
0.04794 |
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P04 = |
0.01798 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P05 = |
0.00674 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P06 = |
0.00253 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P07 = |
0.00095 |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P08 = |
0.00036 |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P09 = |
0.00013 |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P10 = |
0.00005 |
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P11 = |
0.00002 |
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P12 = |
0.00001 |
44 |
|
|
|
The page is created by QueueMods 9 |
|
P29 = |
0.00000 |
||||
|
|
|
|
||||||||
45 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 313
Для ответа на последний вопрос задачи вернемся еще раз на вкладку Ограниченная очередь и изменим количество серверов. Как показывает Рис. 314, в сравнении с предыдущим расчетом (пункт m) процент загрузки серверов немного упал (0.35649 против 0.375).