Приемы решения задач.

8.П-1. Проект «Снеси-Построй»

В соответствии с общим планом развития города на месте одного из ветхих зданий, построенных в 60-х годах, должен быть возведен многоэтажный гараж. Упрощенный план работ содержит 13 этапов. В таблице собраны сведения об этих этапах, включающие список этапов-предшественников для каждого из 13 этапов проекта, наиболее вероятную (Mod) продолжительность этапов в рабочих днях, а также оценки минимальной (Opt) и максимальной (Pes) возможной продолжительности этапов. Эти оценки найдены в результате опроса экспертов.

Какова вероятность окончания проекта «Снеси-Построй» не более чем за 68 рабочих дней? За 79 рабочих дней?

К какому сроку проект будет завершен с вероятностью 99%?

Решение задачи.

Этот проект уже рассматривался в теоретическом введении к разделу «Планирование и анализ проектов». Там мы, в частности, с помощью MS Project получили сетевую диаграмму проекта и нашли критический путь, используя в качестве длительностей стадий их наивероятнейшие значения (колонка Mod в данной задаче).

Как рассмотрено в теоретическом введении к настоящему разделу, для расчета вероятности выполнения проекта к заданному сроку, недостаточно знания только критического пути. Нужно найти все пути, близкие к критическому пути по длительности.

В принципе, для небольшого проекта, в котором общее число различных путей на сетевой диаграмме не превышает десятка, можно просто перечислить все

возможные пути. Но даже для проекта, который мы рассматриваем, общее число путей на сетевой диаграмме достигает 21. Для более сложных проектов количество возможных путей может быть несколько сотен и даже тысяч. Выписывать их все не очень эффективно, тем более, что большая их часть имеет длительности существенно меньшие длительности критического пути и никак не влияет на вероятность окончания проекта к данному сроку. Тем не менее, позднее мы это сделаем для нашего примера, чтобы проверить выводы, которые сейчас получим более практичным способом.

Для начала вычислим средние значения и стандартные отклонения для длительностей всех стадий (по формулам (5) и (6) теоретического введения), используя таблицу Excel. На следующем рисунке (Рис. 278) приведены полученные результаты.

Рис. 278

Прежде всего, заметим, что если в качестве информации о длительности

этапов ввести MS Project вычисленные средние значения ti, то критическим станет путь ADEFIKM, и его длительность составит 72 дня (проверьте это).

Далее, попробуем найти пути на сетевой диаграмме проекта, близкие к новому критическому. Используем дополнительную возможность MS Project – выделение этапов, которые лежат на путях, отличающихся от критического на заданное число дней. Вызовите через меню Сервис/Параметры диалоговое окно параметров и щелкните по ярлыку вкладки Расчеты (Рис. 279).

Рис. 279

В этой вкладке следует отметить опцию «Рассчитывать несколько критических путей» и задать резерв, для начала, один день. После нажатия кнопки ОК исходная сетевая диаграмма изменится (Рис. 280).

Рис. 280

Как можно видеть, на ней появились два новых «критических» этапа – B и G . При увеличении резерва до двух, трех, четырех дней сетевая диаграмма не меняется, следовательно, близкими к критическому пути (ADEFIKM по средней оценке длительности) пути можно считать пути BDEFIKM, ADEGIKM и BDEGIKM.

В таблице на рисунке Рис. 281 показаны длительности всех путей проекта при оценке по средней длительности этапов.

Рис. 281

Видно, что действительно, на срок не более 4 дней от критического пути отличаются именно эти пути. Используем их для дальнейших расчетов и рассчитаем среднюю продолжительность и стандартное отклонение длительности для каждого из отобранных путей. Для вычисления средней длительности пути достаточно сложить средние длительности этапов, из которых он состоит. Для вычисления стандартных отклонений отобранных путей, сложим квадраты стандартных отклонений длительностей лежащих на них стадий (колонка G). Стандартное отклонение длительности пути равно корню квадратному из суммы квадратов стандартных отклонений длительности этапов, из которых он состоит.

Добавим под построенной таблицей еще одну (Рис. 282), в которой и проведем вычисления средних значений и стандартных отклонений

длительностей каждого из путей, величин z (отклонение средней длительности пути от заданного срока Тпроекта в единицах стандартного отклонения) и

вероятностей окончания работ, принадлежащих этим путям за время Тпроекта. В таблице на Рис. 282 показаны использованные формулы.

Рис. 282

Для пути ADEFIKM вероятность завершения к 68-му дню примерно равна 23% (Рис. 283). Вероятность завершения получилась меньше 50% потому, что и сам срок в 68 дней меньше средней суммарной продолжительности выполнения всех этапов на критическом пути (72 дня). Для четвертого пути BDEGIKM вероятность завершения к 68-му дню существенно больше (~ 41.6%). Это связано с тем, что его средняя длительность всего 69 дней.

Рис. 283

Так как критическим является путь ADEFIKM, то он и определяет среднюю длительность проекта. Оценку вероятности выполнения проекта к заданному сроку, сделанную по длительности критического пути, в теоретическом введении к разделу мы назвали «оптимистической» оценкой. Из вычисленных вероятностей завершения путей (C17:C20), вероятность завершения критического пути к любому заданному сроку наименьшая. Это обстоятельство использовано для расчета «оптимистической» оценки вероятности завершения проекта в заданный срок в ячейке G22. Напомним, что «оптимистический» характер этой оценки в том, что вследствие случайных вариаций длительности этапов, некоторый другой путь может оказаться длиннее критического, и проект в целом не будет совершен к заданному сроку.

Вычисление произведения вероятностей того, что каждый из отобранных проектов закончится к заданному сроку Тпроекта дает заниженную,

«пессимистическую» оценку окончания проекта ко времени Тпроекта., поскольку, как отмечалось в теоретическом введении к разделу, длительности путей близких

критическому не являются независимыми случайными величинами.

Как вы можете убедиться, перемножив вероятности, пессимистическая оценка для вероятности выполнения проекта к сроку 68 дней не превышает 1%. Следовательно, точная оценка вероятности выполнения проекта лежит где-то между 1% и 23%.

Нетрудно найти аналогичные вероятности для срока 72 дня. Для этого заменим значение плановой длительности проекта в ячейке B16 на 72 (Рис. 284).

Рис. 284

Несмотря на то, что заданный срок на два дня больше продолжительности проекта по наивероятнейшему пути, вероятность выполнения проекта в срок значительно меньше 50%. Даже оптимистическая оценка вероятности в точности равна 50%. Это показывает, важность расчетов по методу PERT для правильной оценки вероятности выполнения любого проекта к заданному сроку.

Если задавать сроки выполнения, для которых оптимистическая оценка вероятности выполнения проекта порядка 90% и выше, пессимистическая оценка приближается к оптимистической. Посмотрите, например, на результаты расчета для плановой продолжительности проекта 79 дней (Рис. 285).

Рис. 285

Точная оценка вероятности выполнения проекта к этому сроку заключена в пределах от 79% до 90%, что уже явно достаточно для любых практических целей.

На последний вопрос задачи о сроке, которому проект будет выполнен с вероятностью 99%, можно отвечать двумя способами. Очевидный способ – просто перебрать несколько значений длительности проекта и посмотреть на результат. При этом вам понадобится не более 3-4 попыток.

Рис. 286

Результат подбора приведен 12 способ удобен тем, что можно подбирать значение вероятности с учетом обеих оценок сразу – и оптимистической, и пессимистической.

Другой способ состоит в обратном расчете величины z и, затем, Tпроекта по заданной вероятности P. Подобный же расчет мы делали при расчете безопасного

резерва для заданной вероятности риска дефицита в теме «Оптимальное управление запасами с учетом случайных вариаций спроса». В этом случае величина z определится по обратной функции нормального распределения

z=НОРМСТОБР( P ). Тогда Tпроекта= TADEFIKM + z*sADEFIKM. Это, разумеется, только оптимистическая оценка вероятности. Пессимистическая оценка при этом

окажется чуть ниже 99% (см. Рис. 287).

Рис. 287

Заметим, в заключение, что в MS Project есть инструментальная панель «Анализ по методу PERT». Для ее вызова щелкните правой кнопкой мыши на

зоне инструментальных панелей и в контекстном меню выберите соответствующий пункт. Появится новая панель(Рис. 288).

Рис. 288

Щелчок по правому значку этой панели (Лист ввода PERT) вызовет к жизни таблицу, изображенную на рисунке (Рис. 289). Данные о различных оценках длительности этапов можно ввести в нее простой вставкой из буфера обмена.

Рис. 289

Если после этого щелкнуть средний значок (калькулятор - Вычисления по методу PERT), столбец Длительность будет заполнен новыми значениями – средними оценками длительностей отдельных стадий, рассчитанных по формуле

(5) теоретического введения к разделу. Щелчки левой кнопкой мыши по трем значкам с левой стороны панели покажут календарные графики выполнения проекта для оптимистической, наивероятнейшей и пессимистической оценок длительности этапов.

После ввода этих данных можно посмотреть диаграммы Ганта, отвечающие оптимистическим, наивероятнейшим и пессимистическим оценкам и длительности проекта в этих случаях.

Существует также возможность изменить веса в формуле (5) для среднего значения длительности стадий (чего мы делать не рекомендуем).

К сожалению, ничего больше эта панель не предлагает. Таким образом, провести PERT-анализ до конца в MS Project не удается.