Нормальный рабочий день (без сверхурочных и частично незанятого времени) длится 8 часов.

«ВАЛ» использует, так называемый, «плановый коэффициент» для соотнесения спроса (выраженного в денежных единицах) и производственных возможностей (выраженных во временных единицах). Опыт и финансовая отчетность показывают, что 1 человеко-час рабочего времени производится продукции на $30 в отпускных ценах.

Предполагается, что на складе нет запасов в начале года и что в конце года запасы должны также равняться нулю.

Количество рабочих в начале года – 1583. Увольнение и новый набор рабочих происходят в начале месяца; отгрузку продукции – в конце.

Анализ кейса

Стоящая перед производственным отделом компании «Вал» задача, конечно, является задачей линейной оптимизации. Часто задачи линейной оптимизации представляют как задачи об оптимальном «смешении». Задача об оптимальном производственном плане – это оптимальное смешение продуктов, которые может произвести фирма при тех или иных производственных, рыночных и прочих ограничениях, в потоке выпускаемой продукции, максимизирующем прибыль. Оптимальный финансовый портфель – это смешение ценных бумаг, финансовых инструментов, обеспечивающих минимум риска для вложений средств инвестора, при заданных ограничениях на доходность, типы ценных бумаг и пр. Нередко изложение темы линейной оптимизации начинают с задачи об оптимальной диете, в которой нужно найти оптимальное смешение продуктов, минизимирующее затраты, при обеспечении необходимых физиологических требований животного или человека.

В нашем случае требуется найти оптимальное «смешение» стратегий. Сколько в каждом месяце нанимать или увольнять рабочих, сколько назначать сверхурочных или, наоборот, незанятых часов, сколько произведенной продукции отсылать на склад или, наоборот, забирать со склада, при безусловном обеспечении плана отгрузки готовой продукции потребителям. В отличие от рассмотренных выше относительно простых задач производственного планирования, не вполне очевидно, какие в данном случае должны быть переменные решения, целевая функция и ограничения. Чтобы прояснить эти вопросы рассмотрим последовательно три стратегии, которые предполагает использовать менеджмент производственного отдела:

найм и увольнение,

сверхурочные и неполный рабочий день,

запасание излишков продукции на складе или использование складских запасов прошлых месяцев для обеспечения части отгрузки потребителю. Разумеется, при этом мы не будем рассматривать вопрос об оптимизации

издержек, а будем лишь вычислять издержки при условии, что план отгрузки продукции потребителю должен быть безусловно выполнен.

После рассмотрения «чистых» стратегий, займемся их оптимальным смешением.

Стратегия 1: Найм и увольнение.

Попробуем выполнить план отгрузки, варьируя численность рабочих. Будем требовать, чтобы в каждый месяц было произведено ровно столько продукции, сколько по плану требуется отгрузить, и, исходя из этого, определим, сколько нам требуется рабочих в каждом месяце, сколько нам необходимо их нанять или уволить, и каковы будут при этом наши издержки.

Прежде всего, рассчитаем, сколько необходимо рабочих часов Ti, чтобы произвести количество продукции Di, необходимое по плану в i-ом месяце. Используя плановый коэффициент K=30$/час, найдем, что требуемое время Ti можно рассчитать по формуле:

Ti Di 30 .

Далее рассчитаем, сколько нормированного рабочего времени WTi у нас есть в каждом месяце

WTi 8 di Ni ,

где 8 – это количество рабочих часов в смене, di- количество рабочих дней в месяце, а Ni – количество рабочих на производстве.

Для того чтобы выполнить план отгрузки необходимо, чтобы имеющееся количество рабочих часов совпадало с требуемым. Приравнивая правые части этих двух формул, найдем количество рабочих, необходимых нам каждый i-ый месяц

Ni Di (30 8 di ) .

Если количество рабочих, которые нам необходимы в данном месяце Ni меньше, чем у нас есть в предыдущем месяце Ni-1, то необходимо нанять недостающих рабочих HNi, т.е.,

Если, наоборот, у нас больше рабочих, чем требуется в следующем месяце, то нужно уволить избыток рабочих УNi, т.е.

При этом наши издержки за год можно очевидно выразить как сумму ежемесячных издержек на зарплату, найм и увольнение рабочих:

12

C(5 WTi 200 HNi 500 УNi ) ,

i 1

где коэффициенты 5, 200 и 500 означают соответственно зарплату за 1 час нормированного рабочего времени, стоимость найма одного рабочего и стоимость увольнения одного рабочего.

Чтобы «оживить» эти простые формулы сделаем следующую таблицу MS Excel (Рис. 187), где с их использованием вычислим, когда и сколько нанимать или увольнять рабочих и какие при этом будут издержки.

Рис. 187

При вычислении требуемого числа рабочих в январе в ячейке D3 получается 1583,3 рабочих, что практически равно числу рабочих в компании на начало года. Поэтому найм и увольнение вычисляются, только начиная с февраля (ячейки D4 и F4). Всюду, где требуется нанять рабочих, количество увольнений равно нулю и наоборот (как и должно быть). Общие издержки такой стратегии составят $23 108 235. При этом видно, что за год, согласно этому плану, мы должны нанять 4411 рабочих и уволить 3619.

Вряд ли план выглядит привлекательно. Однако мы и не собираемся его реализовывать. Чистые стратегии мы рассматриваем лишь для того, чтобы лучше уяснить стоящую перед нами задачу.

Стратегия 2: Сверхурочные и частичная занятость.

В этой стратегии мы будем сохранять численность рабочих постоянной и равной их количеству на начало года – 1583 чел. Попробуем этим дружным коллективом, никого не нанимая и не увольняя выполнить план производства и отгрузки продукции. Вновь потребуем, чтобы в каждый месяц было произведено ровно столько продукции, сколько по плану требуется отгрузить. Вновь

требуемого для производства необходимой продукции количества часов Ti и имеющихся в данном месяце нормированных рабочих часов WTi. При этом в формуле для имеющихся в нашем распоряжении рабочих часов будет фигурировать постоянное количество рабочих N0=1583:

WTi 8 di N0 .

Ясно, что поскольку теперь количество рабочих не меняется, уравнять требуемое количество часов Ti и количество имеющихся рабочих часов WTi невозможно. Разность между ними и составит либо количество сверхурочных часов, которые необходимо назначить в данном месяце (обозначим их СУi) – если Ti > WTi, либо количество незанятых часов в данном месяце (обозначим из НЗi) – если Ti < WTi. Формально это можно написать следующим образом

При этом наши издержки за год можно очевидно выразить как сумму ежемесячных издержек на зарплату, на оплату сверхурочных и на компенсацию вынужденно незанятых часов:

12

C(5 WTi 7,5 СУi 2 НЗi ) ,

i 1

где коэффициенты 5 и 7,5 означают соответственно зарплату за 1 час нормированного рабочего времени и оплату одного часа сверхурочных (50% дополнительно к обычному тарифу). Что касается незанятых часов, то их необходимо выделить из нормированных .часов WTi. За них следует платить не $5, а только $3, что и отражено в последней формуле. В ней написано, что за все нормированные часы рабочим выплачивается по $5, а затем за вынужденно незанятые часы вычитается $2 (=$5-$3).

На Рис. 188 показано, как MS Excel реализует эти формулы, указывая, когда и сколько назначать сверхурочных и незанятых часов и какие при этом будут издержки.

Рис. 188

Видно, что «бережное отношение к людям», проявленное в этой стратегии стоит компании почти на $2 млн. дороже. Кроме того, это «бережное отношение» весьма относительно. Например, в ноябре, для выполнения требуемого выпуска продукции необходимо 526667 человеко-часов, а имеется в наличии всего 253280. Таким образом, для выполнения плана необходимо назначить 273387 сверхурочных часов, т.е. каждый рабочий в течение месяца будет работать почти по 17 часов в день (хорошо еще, что не больше 24 часов).

Стратегия 3: Использование склада.

В этой стратегии, в отличие от двух рассмотренных ранее, не предполагается, что продукция, произведенная в данном месяце точно равна

плану отгрузки в этом месяце. Напротив, она может быть как больше, так и меньше требуемой по плану. В первом случае избыток произведенной продукции ляжет на склад, во втором случае недостаток продукции будет взят со склада.

Для реализации этой стратегии необходимо, чтобы в периоды низкого спроса, продукция на складе запасалась, а в пиковые периоды использовалась. Глядя на исходную таблицу (Рис. 187), нетрудно заметить, что январь – это очень хороший месяц для создания резерва на складе: количество рабочих дней в нем такое же, как в ноябре, а спрос – в два раза меньше, чем в ноябре. Однако, взглянув на таблицу, аналогичную Рис. 188 в своем компьютере, вы можете увидеть, что даже в январе нам требуется 53 сверхурочных часа, чтобы справиться с планом (на Рис. 188 в книге этого не видно, так как в ячейке D4 распечатана формула, а не число). Таким образом, ясно, что в чистом виде стратегия использования склада (без дополнительного найма или без сверхурочных) не проходит, поскольку нам просто не хватает рабочих.

Чтобы все же исследовать вариант использования склада, модифицируем эту чистую стратегию, дополнив ее единовременным наймом. Вычислим, используя таблицу из первой стратегии (Рис. 187), сколько в среднем на нужно рабочих ежемесячно, и наймем всех недостающих сразу в начале года. Оказывается, что в среднем следует иметь 2298 рабочих, т.е. нанять в январе нужно 715 человек. После этого ни нанимать, ни увольнять больше никого не станем, нанятые рабочие будут работать только в нормированные рабочие часы. Причем если они произведут больше продукции, чем надо, продукция ляжет на склад, если же они произведут меньше, часть продукции будет взята со склада.

Назовем среднее количество требуемых рабочих N . Тогда имеется следующее количество нормированных рабочих часов:

WTi 8 di N

За это рабочее время будет произведено следующее количество продукции

(в $):

Продукцияi 30 WTi .

Количество продукции на складе в данном месяце ( Складi , в $) найдем как количество продукции на складе в прошлом месяце (Складi-1) плюс количество произведенной продукции Продукцияi минус количество отгруженной продукции Di:

Складi Складi 1 Продукцияi Di .

При этом наши издержки за год можно очевидно выразить как затраты на единовременный найм и сумму ежемесячных издержек на зарплату плюс издержки хранения, которые составляют 2% от стоимости остатка на складе в данном месяце:

12

C (5 WTi 2% Складi ) 200 (N N0 ) .

i 1

Рис. 189 показывает, какой план получается в данной стратегии.

Рис. 189

Общие издержки по этой стратегии получаются где-то посередине между издержками первой и второй стратегии. Однако нетрудно заметить, что в конце года стоимость остатка на складе получилась $4 млн.

На самом деле, в конце года склад должен быть пустой. Это значит, что мы перестраховались с количеством рабочих, которых собрались нанять в начале года. Видимо 2298 рабочих – это слишком много. Попробуем поварьировать число нанимаемых сразу рабочих в ячейке H2. При этом значения всех меняющихся величин в таблице (в том числе произведенной продукции, остатков на складе и суммарных издержек) автоматически пересчитываются.

Рис. 190

Видно (Рис. 190), что если уменьшить количество нанятых рабочих до 600 человек (итого 2183 рабочих), то в колонке «Склад» появляются отрицательные