количественных методов и технической реализации оптимизационных моделей, а в области человеческих и информационных проблем управления.

Во-первых, как это и отражено в тексте кейса, люди, работающие в том или ином функциональном подразделении компании, склонны считать, что в их отделе дела идут вполне хорошо, а проблемы компании коренятся в неудовлетворительной работе коллег из других функциональных подразделений. Феофан ожидает от Макса более совершенного плана закупок, а не перевозок, а Боб рекомендует ему «пойти и помочь Феофану». Инициировать процесс изменения принятия решений или каких-либо организационных изменений в компании может только топ-менеджмент. Поэтому критическим условием для начала процесса интеграции цепочки поставок и оптимизации планирования является наличие убежденности топ-менеджеров в существовании проблемы, необходимости изменений.

Во-вторых, любое усечение функций того или иного подразделения, а тем более передача другим лицам ключевой функции принятия решений, вызовет сопротивление руководителей подразделений и персонала, поскольку люди будут воспринимать это как первый шаг к собственному увольнению. Боб сейчас – это одна из ключевых фигур в компании потому, что он принимает решение, с кем из потенциальных поставщиков заключить договор, а с кем – нет, и передача этой функции Максу или компьютеру вряд ли ему понравится. Необходимо должным образом мотивировать людей – участников процесса изменений, убедить их в том, что снижение издержек и увеличение прибыльности компании благотворно скажется на каждом из них (и вести изменения соответственно).

В-третьих, для построения, правильного функционирования оптимизационной модели и генерирования результатов, полезных для принятия управленческих решений, необходимы объективные данные, адекватные построенной модели. Вместе с тем, несмотря на наличие в организации весьма совершенных информационных систем, консультанты-практики, нередко, испытывают сложности с получением необходимых для модели данных. Причина в том, что при проектировании и настройке информационной системы, вопреки заклинаниям специалистов по ИСУ, менеджеры ориентируются на организационную структуру и способ ведения дела «как есть», а не «как должно быть» в оптимальной модели бизнес-процессов.

Наверняка можно назвать еще много причин, препятствующих внедрению оптимизационных моделей в практику управления и интегрированию бизнеспроцессов. Однако, все эти вопросы, очевидно, выходят за рамки настоящего сборника. Повторим, однако, что со стороны количественных методов и существующих в настоящее время оптимизационных инструментов ограничений для этой деятельности практически нет.

2.П-9. Фирма «Хороший хозяин»

Фирма «Хороший хозяин» имеет сеть из 12 магазинов бытовых инструментов и оборудования в крупном городе. Все магазины снабжаются одним складом. Доставка осуществляется одной автомашиной, принадлежащей фирме, и проводится раз в два дня. При этом на складе формируется груз, который всегда можно развезти за одну ездку. Автомашина забирает его со склада и развозит по магазинам, объезжая их по очереди.

Пользуясь подробной картой города можно нарисовать все возможные участки пути между магазинами и складом. При 12 пунктах, которые должен посетить автомобиль, и с учетом того, что он должен вернуться обратно на склад, получается 78 различных участков пути (количество клеток выше диагонали в приведенной таблице). Протяженность всех этих участков приведена в таблице.

a.Сформулируйте задачу линейной оптимизации, которая позволяет найти самый короткий по общей протяженности маршрут для автомашины, позволяющий объехать все 12 магазинов. Никаких ограничений на порядок объезда магазинов нет. Машина должна выехать со склада и на него же вернуться.

b.Предположим, что на этот раз магазин №2 не нуждается в доставке товара. Какой маршрут теперь будет самым коротким.

Решение задачи.

Умудренный опытом читатель, может подумать, что предложение решить подобную задачу – злая шутка. Ведь это знаменитая задача коммивояжера, классический пример применения метода динамического программирования, на котором десятилетиями оттачивают свое искусство программисты. Мы же не договаривались писать программы для компьютера!

На самом деле, наша цель заключается в том, чтобы сформулировать и решить с помощью «Поиска решения» задачу линейной (целочисленной) оптимизации, соответствующую задаче коммивояжера. При этом мы не будем настаивать, что метод решения таких задач, с помощью надстройки «Поиск решения», является более эффективным, чем динамическое программирование. Просто для большинства пользователей сегодня он может оказаться более доступным.

Для начала смело заверим читателя, что сформулировать такую задачу можно! Такая уверенность сильно помогает при решении.

Через некоторое время после того, как вы решительно возьметесь за постановку задачи, вам покажется, что сформулировать задачу не так уж и несложно. Ведь в одной из разобранных нами в первом разделе задач как раз

формируется последовательность выполнения заказов, приводящая к наименьшим задержкам в выполнении. А здесь мы составим последовательность объезда магазинов и минимизируем общий путь - и все !?

К сожалению все не так просто. Да, в определенном смысле эти задачи родственны. Но в задаче о порядке выполнения заказов длительность выполнения заказа не зависела от того, какой заказ выполнялся перед ним. В данной же задаче расстояние, которое грузовик пройдет до очередного магазина, зависит от того, какой магазин он посетил перед этим. В таких условиях не удается так же просто вычислить расстояние до очередного магазина, как в предыдущей задаче.

Вместо этого можно попробовать просто составить табличку 13х13 переменных, соответствующую таблице расстояний (база и 12 магазинов) и расставить в этой табличке 13 единиц, которые будут показывать, какие переезды между магазинами выбраны. Если теперь применить функцию =СУММПРОИЗВ( ) к этим двум таблицам, то мы сразу получим общее расстояние, которое проехал грузовик. Таким образом задача линейной целочисленной оптимизации практически составлена (Рис. 111).

полученном решении соответствующие элементы таблицы переменных оказываются симметричными относительно диагонали C18-O30. Например, единица, показывающая наличие перевозки, стоит и в ячейке J29 (переезд из Мг 7 в Мг 11), и в ячейке N25 (переезд из Мг 11 в Мг 7), симметричной ячейке J29 относительно диагонали таблицы переменных.

Добавим к нашему решению еще одну таблицу, по размеру совпадающую с таблицей переменных, в которой сложим симметричные относительно диагонали переменные друг с другом.

Это, правда, не делается простым протягиванием. А в задании для «Поиска решения» добавим условие, что все эти суммы меньше или равны 1. Это исключит возвратные маршруты.

После этого запустим надстройку Поиск решения на выполнение и опять проанализируем полученное решение (в таблице на Рис. 114 приведено только полученное решение).

Рис. 114

Во-первых, видно, что общая длина маршрута увеличилась с 98 до 109 км. Т.е. введенное ограничение действительно привело к изменению маршрута.

Рис. 115

Анализ полученного решения (Рис. 114 и Рис. 115) показывает, что и на этот раз решение не может нас устроить. Получилось три цикла, вместо одного.

Если углубиться в анализ графов (а полученное решение можно назвать несвязным графом), можно создать запрет на циклы длиной в 3 звена и более. На сайте www.HCXL.ru на страничке об этой книге вы можете посмотреть альтернативное решение данной задачи, использующее такой подход.

Здесь же мы приведем более громоздкое, но и более очевидное решение. К тому же оно во многих случаях находится компьютером быстрее.

Придется пойти сложным путем, в частности оказывается, что при этом необходимо использование более продвинутой модели надстройки Поиск решения под названием Large-Scale LP Solver. Эту продвинутую надстройку можно найти на сайте компании-создателя этого инструмента FrontLine System www.solver.com. Надстройку можно скачать бесплатно и пользоваться ею в течение двухнедельного пробного срока.

Этот вариант надстройки позволяет решать задачи с десятками тысяч переменных и ограничений. Именно это нас и интересует, так как в предложенной здесь формулировке задачи линейной целочисленной оптимизации оказывается не менее 1608 переменной. Стандартная версия надстройки «Поиск решения» в MS Excel допускает не более 200 переменных.

Для того, чтобы построить задачу линейной целочисленной оптимизации, дающую верное решение задачи коммивояжера вообще, и нашей задачи в частности, необходимо сформулировать требования к переменным, которые обязательно должны выполняться. Таких требований в общем три:

В первый магазин маршрута объезда автомобиль должен прибыть с базы. Для каждого последующего магазина пунктом, из которого прибыл

автомобиль должен являться предыдущий по порядку посещения магазин.

Из последнего магазина автомобиль должен отправиться обратно на базу. Таким образом на первом шаге мы выбираем 1 из 12 магазинов, в который

поедем с базы (склада), т.е. имеем 12 переменных.

На втором шаге выбираем второй пункт маршрута. Так как мы поедем из выбранного на первом шаге магазина (1 из 12) в другой магазин (вообще говоря тоже 1 из 12, так как заранее неизвестно, какой магазин посещен первым), но не на базу, то для выбора второго пункта посещения необходимо выбрать одно направление поездки из 144 (=12*12) возможных. При этом после выбора нужно будет проверить, что выбор «откуда» прибыл, совпадает с выбором «куда» прибыл, сделанным на предыдущем шаге.

На третьем, четвертом, …, двенадцатом шаге делаем то же самое. Каждый такой выбор добавляет 144 переменных к задаче.

На последнем тринадцатом шаге мы должны вернуться на базу. Для этого нужно выбрать пункт «откуда» автомобиль туда вернется. Это необходимо для вычисления длины маршрута возвращения. Это добавит к задаче еще 12 переменных. Итого получаем 12 + 11* 12*12 + 12 = 1608 переменных.

Мы, однако, не будем так экономить на переменных. Учитывая, что нужно иметь возможность легкой модификации задачи для ответов на дополнительные вопросы без перестройки всей модели, лучше будем строить задачу как более общую. Если, например, мы хотим иметь возможность строить маршруты с промежуточным возвращением на склад, следует на каждом шаге допустить выезд из 12 магазинов и склада (базы) и возможность возвращения в любой из этих 13 пунктов.

Вновой таблице (Рис. 116) приведен пример организации данных для нашей задачи.

Вячейках D36:O168 и C169:C180 содержатся переменные задачи. В данном случае единица в ячейке D36 строки D36:O36 показывает, что первым пунктом посещения после отправления с базы является Мг 1. При этом строка D21:O21 просто дублирует строку D36:O36, а в ячейке R21 по формуле =СУММПРОИЗВ ($D$1:$O$1; D21:O21) вычисляется номер посещенного магазина.

Рис. 116

Выбор второго пункта посещения делается в ячейках D37:O48. Единица в ячейке F37 показывает, что вторым пунктом выбран Мг 3 (см. номер магазина по этому же столбцу, в котором стоит 1, в ячейке F35). При этом ссылку на номер предыдущего магазина смотрим по этой же строке в ячейке A37. В столбце

P36:P168 считаются суммы по строкам переменных. Эти суммы позволяют с одной стороны задать ограничение на выбор только одного пункта назначения на каждом шаге, а с другой стороны формируют очень нужные нам данные. В самом деле, так как номер строки в соответствии с нумерацией в столбце А показывает, из какого пункта прибыл автомобиль, то столбец P37:P48 должен совпадать со строкой D21:O21. Как вы видите, так оно и есть. Но главное, что этого можно потребовать при поиске решения (в данной, более продвинутой, версии Поиска решения можно сравнивать строки и столбцы)!

Встроке D22:O22 вычисляются суммы по столбцам от D37:D48 до O37:O48, также подытоживающие результаты выбора на втором шаге, для использования их на шаге третьем. Т.е. в строке D22:O22 показано, какой магазин был выбран на втором шаге. Непосредственно для лучшего представления результатов в ячейке R22 по той же формуле =СУММПРОИЗВ ($D$1:$O$1; D22:O22) вычисляется номер посещенного магазина.

Выбор третьего пункта посещения делается в ячейках D49:O60. Снова суммы в столбце P49:P60 должны совпадать со значениями в строке D22:O22, показывающей второй пункт посещения.

Вобщем эта процедура построения таблицы продолжается до выбора 13 пункта без изменений. Как уже отмечалось выше на тринадцатом шаге нужно вернуться в базу, поэтому пункт назначения определен. Для «выбора» предыдущего пункта используем 12 переменных: C169:C180. Собственно говоря, прочие соотношения остаются теми же, только в некоторых местах надобность в суммировании отсутствует, т.к. в сумме имеется только одно слагаемое. Значения ячеек в столбце P169:P180 должны совпасть со значениями в строке D32:O32, что также нужно будет задать в списке ограничений Large-Scale LP Solver’а. Для того, чтобы каждый магазин был выбран в качестве пункта назначения только 1 раз, используются результаты расчетов в ячейках C19:O19. Очевидно следует потребовать, чтобы суммы всех переменных по столбцам равнялись 1, что соответствует выбору каждого магазина один и только один раз.

Чтобы выбрать каждый магазин только 1 раз в качестве предыдущего пункта посещения используем результаты суммирования в столбце Q21:Q33. В каждой из этих ячеек найдены суммы ячеек соответствующие выбору: Мг 1 на шагах 2, 3, 4…12, Мг 2 на шагах 2, 3, 4…12 и т.д. до Мг 12. Если потребовать, чтобы Q21:Q33 = 1, каждый магазин выступит в качестве предыдущего пункта посещения один и только один раз.

Ну и наконец, самое главное – расчет расстояний. Собственно говоря, мы ведь и вводили такое большое количество переменных именно для того, чтобы в каждом пункте легко вычислять, откуда приехали. Поэтому отдельные таблицы переменных для каждого из пунктов посещения дают при умножении на нужную часть таблицы расстояний C2:O14 расстояние очередной поездки. Например в C16 по формуле =СУММПРОИЗВ($C$2:$O$2;$C36:$O36) вычислено расстояние от базы до первого пункта посещения. В ячейках D16:O16 по другой формуле вида =СУММПРОИЗВ($C$3:$O$14;$C37:$O48) вычислено расстояние от первого пункта посещения до второго, от второго до третьего и т.д.

Сумма всех этих расстояний и дает длину маршрута объезда магазинов (Q16), которая в нашей задаче играет роль целевой функции, минимума которой мы хотим добиться.

Остается сформировать задание для Поиска решения. В новой, использованной нами при решении данной задачи, инкарнации этой надстройки это выглядит следующим образом (Рис. 117)

Рис. 117

На рисунке снизу от диалогового окна Поиска решения показаны те ограничения, которые не видны в самом окне.

Так же желательно установить большую точность при поиске решения на вкладке Options (Рис. 118)

Рис. 118

Если теперь запустить поиск решения, то спустя 1-3 минуты, в зависимости от мощности процессора, получим то решение, которое и показано в табличке: минимальная длина маршрута 118 км, порядок пунктов посещения -

Как вы можете убедиться, это решение отличается от предыдущих вариантов большей длиной. На Рис. 119 приведено изображение оптимального маршрута поездки автомобиля по магазинам.

Рис. 119

Вопрос b.

Разумеется, чтобы ответить на этот вопрос можно было бы перестроить задачу, выбросив из всех расчетов магазин №2. Это заодно уменьшило бы число переменных.

Однако, как мы видели, задача строится довольно долго, а это значит, что вероятность внести ошибку при перестройке задачи довольно велика. Кроме того, полная перестройка таблицы и задачи не в духе MS Excel. Лучше всего было бы добиться нового решения немного изменив данные.

Таким образом, нам нужно получить решение, в котором будет присутствовать фиктивный заезд в магазин №2. Только этот заезд не должен влиять на правильный расчет расстояний и обязан дать нулевой вклад в суммарную длину маршрута.

Этого можно добиться простым способом. Изменим таблицу расстояний так, чтобы места магазина №2 и базы на карте поездок совпадали. Для этого зададим расстояния от магазина №2 до всех пунктов, такими же, как от базы. А расстояние от базы до самого магазина сделаем нулевым. Изменения, которые нужно внести в таблицу расстояний, показаны на Рис. 120.