1.6. Расписания и графики выполнения заказов на производстве

Приемы решения задач

1.П-8. Банк «Простор»

Банк «Простор» имеет проблемы с планированием работы персонала в связи с резким изменением потока клиентов в течение дня. Во время наибольшего притока клиентов их количество в единицу времени бывает обычно в 5-6 раз больше, чем в спокойные часы перед закрытием. С помощью теории очередей было рассчитано необходимое для качественного обслуживания количество персонала в каждом часовом промежутке с 9 до 19 часов. Результаты представлены в таблице.

Служащие, занятые в банке полный день, работают либо с 9 до 17 часов, с перерывом на обед с 12 до 13 часов, либо с 11 до 19 часов, с перерывом на обед с 14 до 15 часов. Их часовая ставка составляет 8 $.

Возможно так же использование служащих, занятых неполный день (4 рабочих часа подряд). Их часовая ставка зависит от временного промежутка, на который их нанимают (см. в таблице).

a.Рассчитайте оптимальное количество служащих на полный день и с неполной занятостью и составьте расписание их работы. Какова общая заработная плата всех служащих в день?

b.Результаты расчета вызвали недовольство руководства, и управляющий потребовал, чтобы в любое время в банке работало не менее 4 служащих,

занятых полный день. Составьте новое расписание. Какова теперь общая заработная плата всех служащих в день?

c.Новые результаты также показались руководству неудовлетворительными, т.к. общее число служащих превысило 100 чел., что должно привести к переходу организации в другую налоговую группу и общему увеличению различных налоговых выплат. Необходимо сократить количество персонала, работающего с клиентами, до 94 человек. Составьте новое расписание. Какова теперь общая заработная плата всех служащих в день?

Решение задачи.

Из текста задачи следует, что целевой функцией должна являться заработная плата служащих, скажем в расчете на день, так как по условиям задачи дни не отличаются друг от друга и месячный фонд заработной платы получится простым умножением дневной оплаты на число рабочих дней. Оптимальное количество служащих в таком случае будет соответствовать минимуму заработной платы при соблюдении всех ограничений задачи.

Суммарная заработная плата, в свою очередь, зависит от количества служащих, занятых полный день, и количества служащих, занятых частично и работающих в каждом временном интервале из перечисленных в таблице «Время найма». Поэтому в качестве переменных решения разумно выбрать 9 переменных: X1 и X2 – количества служащих полного дня, работающих с 9 до 17 часов и с 11 до 19 часов соответственно; Х3, Х4, …, Х9 – количества служащих не полного дня, работающих во временных интервалах 9-13 часов, 10-14 часов, … 15-19 часов соответственно.

Очевидно, что если значения переменных были бы нам известны, то суммарная заработная плата определилась бы из целевой функции следующего вида:

С = Х1*8 +Х2*8 +Х3*6 +Х4*7 +Х5*9 +Х6*10 +Х7*8 +Х8*6 +Х9*6 ($).

Так как банк задает необходимые количества служащих для каждого рабочего часа отдельно, то мы должны уметь рассчитывать наличие служащих в любом часовом интервале, используя значения переменных. Для того, чтобы это сделать организуем данные на листе MS Excel так, как показано в таблице (Рис. 58).

В ячейках С15:K15 в этой таблице, содержатся переменные задачи Х1, …, Х9, в ячейке L15 – целевая функция. Ячейки в прямоугольнике C2:K11 содержат двоичные числа - 0 либо 1 (пустая ячейка полагается при расчетах в MS Excel содержащей нулевое значение). Единицы означают, что соответствующий служащий работает в данном часовом промежутке (указанном в крайнем столбце слева), пробел или 0 – что не работает. Например, то, что в ячейке F6 записана 1, означает, что служащий, работающий во временном интервале с 10 до 14, показанном в заголовке столбца F, работает в часовом промежутке с 13 до 14 часов (заголовок 6 строки). Нули в ячейках C5 и D7 проставлены, чтобы подчеркнуть расположение обеденных перерывов у служащих, занятых полный день.

При такой организации данных функция

=СУММПРОИЗВ(C2:K2;$C$15:$K$15),

перемножающая строку переменных на строку способных работать в часовом промежутке с 9 до 10 часов, позволяет узнать, сколько человек будет

невелико, добавляем условие, чтобы переменные были целые. Теперь можно запустить процедуру поиска решения (Выполнить).

Если все формулы и условия введены правильно, должен получиться следующий результат (Рис. 59).

Рис. 59

Таким образом мы получили ответ на вопрос a. Общая заработная плата составит 3220 долларов в день. При этом будут наняты только служащие, занятые неполный день: работающие с 9 до 13 часов – 16 человек, с 10 до 14 – 14 человек, с 11 до 15 – 15 человек, с 13 до 17 - 37 человек, с 14 до 18 - 20 человек и с 15 до 19 - 10 человек. При этом в четырех часовых промежутках из 10 общее количество служащих превысит минимально возможное количество: в промежутке 11-12 часов – 45 человек вместо 31, и в промежутках 15-16, 16-17 и 17-18 часов – 67, 67 и 30 служащих вместо 61, 34 и 16 соответственно. Общее число служащих, работающих в банке достигает 112 человек.

b. Анализ полученного ранее решения показал, что оптимальным является найм только служащих неполного дня. Если такое решение неприемлемо, следует модифицировать задачу, задав соответствующее ограничение. В данном случае необходимо иметь не менее 4 служащих, занятых полный день. Для подсчета служащих, занятых полный день, работающих в заданном часовом интервале, используем функцию вида =СУММПРОИЗВ($C$15:$D$15;C2:D2), аналогичную той, что подсчитывает полное число сотрудников, работающих в заданном часовом интервале, но теперь учитывающую только две переменных Х1 и Х2. Нам нужно ввести дополнительный столбец М2:М11, в котором будут подсчитываться количества

служащих полного дня в каждом из десяти часовых интервалов. Соответственно и в задание для Поиска решения введем добавочное условие – М2:М11 >= 4.

После запуска Поиска решения на выполнение получим следующий результат (Рис. 60)

Общая заработная плата увеличилась до 3380 долларов (больше на 160 долларов), нанято наименьшее возможное число постоянных служащих – 8 человек.

Общее число служащих уменьшилось до 108 человек.

с. Новое ограничение, связанное с общим количеством служащих, учесть очень легко. Добавим в ячейку М15, например, функцию =СУММ(C15:K15), вычисляющую общее количество служащих, суммируя все переменные. Вызываем Поиск решения и добавляем ограничение М15 <= 94. Снова запускаем Поиск решения на вычисление, получаем ответ, что решение найдено!

Это новое решение приведено в таблице ниже (Рис. 61):