таких индуктивностей могут быть выражены через соответствующие напряжения только при коэффициенте связи между индуктивностями, меньшем единицы. Дейст вительно, используя компонентные уравнения двух связанных индуктивностей (2.172), выразим токи этих индуктивностей через напряжения

Метод контурных токов

Метод контурных токов (КТ) основан на важной топологической особенности электрических цепей, заключающейся в том, что токи всех ветвей цепи связаны ме­ жду собой q — 1 уравнением баланса токов, и, следовательно, из p токов ветвей только p — q + 1 ток может быть задан независимо.

Такое число токов в точности равно числу главных контуров рассматриваемой цепи, поэтому с каждым главным контуром можно связать некоторый ток (его на зывают контурным током), который может быть задан независимо. В качестве контурных токов будем выбирать токи главных ветвей, число этих ветвей равно числу главных контуров и они не связаны между собой уравнениями баланса токов, т. е. могут быть заданы независимо.

Иногда в качестве контурных токов выбирают не токи главных ветвей, а неко торые фиктивные токи, замыкающиеся в основных контурах цепи, т. е. контурах, со ответствующих ячейкам планарного графа (напомним, что число основных конту ров электрической цепи также равно p — q + 1). Во многих случаях этот подход яв ляется удобным, так как не требует привлечения топологических представлений и, в частности, построения дерева графа рассматриваемой цепи, однако его примене ние ограничено только цепями, граф которых является планарным.

Если токи главных ветвей цепи каким либо способом определены или заданы, то, используя q—1 уравнение баланса токов, можно найти q—1 неизвестных токов ветвей дерева и далее, применяя компонентные уравнения и уравнения баланса на пряжений, составленные для главных контуров, содержащих ветви с источниками тока, найти неизвестные напряжения всех ветвей. Таким образом, неизвестные

токи и напряжения всех ветвей цепи могут быть выражены через токи глав­

317

ных ветвей. Для цепи, не содержащей источников тока, токи всех p — q + 1 главных ветвей являются неизвестными. Для их определения можно составить р — q + 1 уравнение баланса напряжений, выразив в последних неизвестные напряжения вет вей через контурные токи. Если в рассматриваемой цепи имеется рит ветвей, содер жащих источники тока, то число неизвестных токов главных ветвей уменьшается до p — q + 1 — рит (напомним, что источники тока могут входить только в главные вет ви графа). В этом случае для нахождения неизвестных контурных токов используют p — q + 1 — рит уравнений баланса напряжений, составленных для контуров, не со держащих источников тока, выразив в них неизвестные напряжения ветвей через токи главных ветвей.

Как следует из изложенного, метод КТ можно считать дальнейшим развитием метода ТВ, при этом число одновременно решаемых уравнений уменьшается с 2р — рин — рит (при использовании ОСУ) или с р — рит (метод ТВ) до p — рит — q + 1.

Сокращенная система уравнений электрического равновесия цепи, составлен ная относительно неизвестных контурных токов, называется системой контурных

уравнений цепи.

Такая система уравнений может быть сформирована одним из двух способов:

1)Получена из основной системы уравнений электрического равновесия цепи или из уравнений, составленных по методу ТВ, путем исключения всех неизвестных, кроме токов главных ветвей. Это способ является трудоемким и на практике почти не используется. В дальнейшем воспользуемся им лишь один раз для обоснования второго способа.

2)Составлена непосредственно по схеме цепи, минуя этап составления ОСУ. При этом запись уравнений осуществляют с помощью простого алгоритма, который можно сформулировать, если проанализировать системы контурных уравнений, по лученных первым способом, и привести их к некоторой стандартной (канонической) форме, введя ряд новых понятий и обозначений.

Рассмотрим методику формирования контурных уравнений на примере про стой цепи, не содержащей независимых источников тока и управляемых источников тока или напряжения (рис. 4.1, а). Выберем в качестве ветвей дерева ветви 1, 2, 6. Для соответствующей этому дереву системы главных контуров (см. рис. 4.1, в — д) составим уравнения баланса напряжений, выразив в них неизвестные напряжения всех ветвей через соответствующие токи:

Используя уравнения баланса токов

0;

318

щих ветвей, то их общее сопротивление равно нулю. Общие сопротивления конту ров цепи (рис. 4.1, а)

Контурная ЭДС i го контура — алгебраическая сумма ЭДС всех идеализи рованных источников напряжения, входящих в данный контур. Если направление ЭДС какого либо источника, входящего в i й контур, совпадает с направлением кон турного тока этого контура, то соответствующая ЭДС входит в со знаком плюс, в противном случае — со знаком минус. Контурные ЭДС цепи (рис. 4.1)

Используя обозначения (4.4) — (4.7), представляем контурные уравнения (4.3) в канонической форме записи:

;

; 4.8

.

Анализируя выражения. (4.8), нетрудно установить, что все контурные уравнения имеют одинаковую структуру: левая часть уравнения, составленная для i­го контура, представляет собой сумму членов, один из которых равен произведению контурного тока i­го контура на его собственное сопротивление, а остальные произведениям контурных токов других контуров на общие со­ противления i­гo контура и этих контуров; правая часть уравнения i­го контура содержит только один член ­ контурную ЭДС этого контура.

Полученные результаты могут быть обобщены для произвольной линейной цепи, составленной из сопротивлений, емкостей, индуктивностей и независимых источников напряжения.

;

; 4.9

или в матричной форме

где n = р q + 1 число независимых контуров рассматриваемой цепи;

— матрица контурных сопротивлений; 320

практике обычно используют более экономичные методы, такие, например, как метод исключения Гаусса или LU­преобразование [8, 9].

Если электрическая цепь помимо сопротивлений, емкостей, индуктивностей и независимых источников напряжения содержит также независимые источники то ка, то последние с помощью рассмотренных в модуле 2.6 преобразований можно за менить независимыми источниками напряжения. Однако систему контурных урав нений такой цепи можно составить и не прибегая к преобразованию источников.

Пусть в состав исследуемой цепи входит рит ветвей, включающих независимые источники тока. Выберем дерево цепи таким образом, чтобы все ветви с источника ми тока вошли в состав главных ветвей. Очевидно, что контурные токи контуров, которые замыкаются главными ветвями, содержащими источники тока, равны то кам соответствующих независимых источников. Эти токи заданы и не требуют оп ределения. Таким образом, число неизвестных контурных токов становится меньше числа независимых контуров n = p — q + 1 на рит. Для нахождения неизвестных кон турных токов необходимо составить систему из n рит = р — рит — q + 1 контурных уравнений для контуров, не содержащих ветвей с источниками тока. Контурные уравнения такой цепи могут быть записаны в такой же форме, как и контурные уравнения цепи, не имеющей источников тока (4.9), (4.10), однако матрица контур ных сопротивлений в этом случае не будет квадратной: число столбцов матрицы бу дет равно числу независимых контуров n = p – q + 1, а число строк — числу неизвест ных контурных токов p рит q + 1. Матрица столбец контурных токов в этом случае будет включать в себя все контурные токи — как известные, так и неизвестные, а матрица контурных ЭДС будет включать в себя только контурные ЭДС тех контуров, контурные токи которых неизвестны. После формирования контурных уравнений в форме (4.9), (4.10) входящие в каждое уравнение члены, содержащие известные контурные токи, переносят в правую часть соответствующих уравнений и матрица контурных сопротивлений становится квадратной.

Пример4.4.Составим систему контурных уравнений для цепи, схема которой при ведена на рис. 4.2, а. Число ветвей этой цепи р 6, число узлов q 4, число ветвей, содержа щих источники тока, рит 1.

Выберем дерево графа цепи таким образом, чтобы ветвь с источником тока вошла в число главных ветвей. Соответствующая выбранному дереву система независимых конту ров изображена на рис. 4.2, б. В связи с тем что число независимых контуров цепи равно p – q

1 3, а число неизвестных контурных токов p pит — q 1 2, система контурных урав нений имеет вид

322