где αi = const, является гармонической функцией той же частоты.
Таким образом, линейные операции, выполняемые над гармонической функцией, приводят лишь к изменению ее амплитуды и начальной фазы; в ре зультате линейных операций, выполняемых над совокупностью гармониче ских функций одной частоты, получается гармоническая функция той же час тоты.
Среднее, средневыпрямленное и действующее значения гармонических токов и напряжений
Токи и напряжения цепи, изменяющиеся по гармоническому или другому пе риодическому закону, наряду с другими параметрами характеризуются средними за период, средневыпрямленными и действующими значениями.
Среднее значение периодической функции а (t) за период Т определяется выражением
1
ср d . 2.8
Интеграл, входящий в выражение (2.8), численно равен площади, заключенной между кривой a(t) и осью времени на интервале времени продолжительностью один период, причем площади, лежащие выше оси времени, берут со знаком плюс, а пло щади, лежащие под осью времени, — со знаком минус. Значение Аср не зависит от выбора момента времени t0 , поэтому при его определении можно полагать t0 = 0.
Среднее значение гармонической функции за период равно нулю, так как пло щадь, ограниченная положительной полуволной и осью времени, равна площади, ограниченной отрицательной полуволной и осью абсцисс (см. рис. 2.1, а). Таким об
разом, среднее значение гармонического тока или напряжения за период равно нулю.
Средневыпрямленным значением периодического тока или напряжения
называется среднее значение модуля соответствующей периодической функции a(t) за период:
ср в |
1 |
| |
|d . |
Значение Аср в , пропорционально площади, ограниченной кривой |a(t)| и осью времени за период Т, и не зависит от выбора начального момента времени t0.
Средневыпрямленное значение гармонического тока или напряжения равно среднему значению соответствующей гармонической функции a(t) на положитель ном полупериоде (см. рис. 2.1, б):
92
ср в |
1 |
| cos |
| d |
2 |
|
|
|
cos |
d . |
Выполняя интегрирование и полагая Т = 2π/ω, находим, что средневыпрям ленное значение гармонического тока или напряжения в π/2 раз меньше его ампли туды:
2 ср в 0,637 . 2.9
Действующим значением периодической функции a(t) называется средне квадратическое значение этой функции за период Т:
1 |
d . |
2.10 |
Мгновенные значения токов и напряжений ветвей, токов источников тока и ЭДС источников напряжения, являющихся гармоническими функциями времени, изображают строчными буквами: i = i(t), u = u(t), j = j(t), e = e(t), действующие значе ния этих величин — соответствующими прописными буквами I, U, J, E , а амплитуд ные значения — теми же прописными буквами с индексом m: Im, Um, Jm, Еm. Размер ность средних, средневыпрямленных и действующих значений гармонических токов и напряжений совпадает с размерностью соответствующих функций и, следователь но, с размерностью их амплитуд.
При протекании периодического тока i(t) через линейное сопротивление R в нем в соответствии с выражениями (1.12) и (2.10) за период Т выделяется энергия
d |
. |
2.11 |
Выражение (2.11) совпадает с выражением для энергии, выделяющейся в со противлении при протекании через него постоянного тока Ι_= I в течение времени Т (закон Джоуля — Ленца).
Таким образом, действующее значение I периодического тока i(t) численноравно значению постоянного тока I_, при протекании которого за время Т выделяется та кое же количество энергии, как и при протекании тока i(t). Аналогично можно опре делить и действующее значение U периодического напряжения u(t).
Действующее значение А гармонической функции a(t) в √2 раз меньше ее ампли туды:
93
1
cos d
2 |
d |
cos 2 |
d |
√2 |
0,707 . |
2.12 |
Учитывая, что большинство электроизмерительных приборов реагируют на действующие, а не на максимальные (пиковые) значения токов и напряжений, при описании гармонических токов и напряжений принято указывать их действующие, а не амплитудные значения. Выражая в (2.1) амплитуду Аm через действующее значе ние А, получаем еще одну форму записи гармонической функции:
√2 |
cos |
. |
2.13 |
Дифференциальное уравнение цепи при гармоническом воздействии
Рассмотрим линейную электрическую цепь с сосредоточенными параметрами, находящуюся под монохроматическим (одночастотным) гармоническим воздейст вием. Токи всех неуправляемых источников тока и ЭДС всех неуправляемых источ ников напряжения такой цепи являются гармоническими функциями времени од ной и той же частоты ω. Дифференциальное уравнение этой цепи, составленное для любого из неизвестных токов или напряжений s = s(t), имеет вид (1.46), причем пра вая часть этого уравнения представляет собой линейную комбинацию гармониче ских функций и их производных, т. е. является гармонической функцией времени той же частоты, что и внешнее воздействие:
d |
d |
d |
cos |
. |
2.14 |
d |
d |
d |
Следовательно, задача анализа линейной цепи с сосредоточенными парамет рами при гармоническом воздействии сводится к решению линейного дифференци ального уравнения с постоянными коэффициентами, правая часть которого являет ся гармонической функцией времени.
Ограничимся пока рассмотрением установившегося режима, т. е. будем счи тать, что действующие в цепи источники были подключены при t = ―∞ и к рассмат риваемому моменту времени переходные процессы в цепи полностью закончились. Из теории дифференциальных уравнений известно, что в таком режиме уравнение (2.14) имеет единственное периодическое решение
cos ,
которое является гармонической функцией времени той же частоты ω, что и внеш нее воздействие.
94
Таким образом, в установившемся режиме токи и напряжения всех ветвей линейной цепи, находящейся под гармоническим воздействием, являются гар моническими функциями времени одной частоты и, следовательно, задача анализа цепи сводится к определению начальных фаз и амплитуд (или дейст вующих значений) интересующих токов или напряжений.
Вопросы для самопроверки
1.Какая функция называется периодической?
2.Какая функция называется гармонической?
3.Как соотносятся между собой частота и угловая (круговая) частота гармони ческой функции?
4.Какова размерность текущей и начальной фаз?
5.Какой параметр гармонического напряжения можно определить, измерив разность максимального и минимального значений напряжения?
6.В каких пределах может изменяться разность начальных фаз двух гармониче ских колебаний одинаковой частоты?
7.Каким образом можно измерить разность начальных фаз двух гармонических напряжений одинаковой частоты с помощью осциллографа, на экране которого ото бражаются несколько периодов колебаний (масштаб по осям задан)?
8.Если в линейной цепи имеются два источника гармонического напряжения различных частот, то какой вид (в соответствии с принципом суперпозиции) имеет решение дифференциального уравнения этой цепи?
9.Как связаны между собой амплитуда и действующее значение гармонической функции?
10.Для какого класса функций введено понятие «действующее значение функ
ции»?
11.Какова амплитуда напряжения в однофазных (бытовых с частотой 50 Гц) се тях переменного (гармонического) тока?
95