5.9.2. ОиЛзЭс измерения амплитуды (пикового значения) сигнала
Задача
построения измерительной ОиЛзЭС
существенно упрощается, если необходимость
в сравнении значений
в РУ (рис. 5.21)
отпадает, т. е. если можно получить
решение уравнения
правдоподобия
в
явном виде. При получении оценки
произвольного параметра
сигнала
имеется возможность получения лишь
приближённого решения, да и то в случае,
что измерение производится для большого
ОСП.
Однако при измерении
амплитуды
(пикового
значения)
сигнала
имеется возможность получить точное
решение. Обозначая измеряемую амплитуду
через
,
введем в рассмотрение нормированный
сигнал
,
так что
.
(5.84)
Вводя
в рассмотрение по аналогии с (5.84) функцию
,
интегральное
уравнение (5.83) представим в виде
,
(5.83')
где
-
решение этого интегрального уравнения.
Тогда на основании (5.82) имеем
,
откуда получаем уравнение правдоподобия
.
Решение уравнения правдоподобия дает оценку амплитуды (пикового значения) сигнала по критерию максимума правдоподобия (Кр3º)
.
(5.85)
Структурно-функциональная
схема ОиЛзЭС измерения амплитуды сигнала
приведена на рис. 5.22. Устройство, состоящее
из 1) генератора
функции
;
2) умножителя
и 3) интегратора,
которое формирует на входе РУ значение
интеграла
,
называется оптимальным приёмником
(ОП). ОП выдает отсчёт выходного напряжения
в момент
,
т.е. величину интеграла в числителе
(5.85). Сигнал на выходе РУ определяет
оценку
в масштабе
,
который
зависит от априорно известных функций
и
.
5.9.3. Статистические характеристики оптимальной оценки
амплитуды
(
и
)
Оценка
является значением
случайной величины
.
Поэтому для нахождения статистических
характеристик
необходимо знать её закон распределения.
Как следует из (5.85, стр. 342), оценка
получается интегрированием реализации
с весом, определяемым функцией
,
или в соответствии с (5.83', стр. 342) – видом
сигнала
и корреляционной
функцией помехи
.
Следовательно, оценка формируется в
результате линейной обработки реализации
и поэтому закон
распределения оценки
при нормальном распределении помехи
также будет нормальным. Тогда для
статистической оценки качества процесса
измерения амплитуды сигнала достаточно
найти математическое ожидание и дисперсию
.
5.9.3.1. Математическое ожидание случайной оптимальной оценки
измеряемой
амплитуды а
Поскольку в общем случае с учётом () при аддитивной помехе
,
(5.86)
то, подставляя (5.86) в (5.85), для математического ожидания оценки получим
Так
как по условию математическое ожидание
помехи равно нулю, то
,
т.е. математическое ожидание оценки
амплитуды сигнала по критерию
максимума правдоподобия (Кр3º)
равно истинному
значению амплитуды а.
Такая оценка в математической статистике
называется несмещенной.
5.9.3.2. Дисперсия случайной оптимальной оценки измеряемой амплитуды а
Найдем дисперсию оценки
Так как с учетом (5.84') и (5.85')
;
,
то в итоге получим
.
(5.87)
Известно [22,23], что дисперсия (5.87) оценки по критерию максимума правдоподобия (Кр3º) является минимальной по сравнению с дисперсиями других оценок амплитуды сигнала. В математической статистике оценка с наименьшей дисперсией называется эффективной.