1.5.4. Однородные сферические монохроматические волны

Сферической волной называют любое решение волнового уравнения (1.14) вида

, (1.34)

где . Иначе говоря, в случае сферической волны величина в каждый момент времени постоянна на сфере . Общее решение (1.34), выражающее сферическую волну, расходящуюся от начала координат, имеет вид

.

Множитель выражает закон сохранения энергии при распространении сферической волны и учитывает, что интенсивность сферической волны

(1.35)

остается постоянной в процессе распространения. Здесь — площадь поверхности сферы, а – символ пропорциональности.

Скалярное комплексное выражение для электрического поля сферической расходящейся монохроматической волны получается из (1.17) в результате замены t на , так что с учетом однородности имеем

Откуда комплексная амплитуда однородной сферической расходящейся монохроматической волны

. (1.36)

Так как общее выражение для сферической волны, сходящейся к началу координат, имеет вид

,

то комплексно сопряженная амплитуда

(1.37)

соответствует однородной сферической сходящейся монохроматической волне.

Сравнение выражений (1.29) и (1.36) показывает, что плоская и сферическая волны локально похожи друг на друга. В самом деле, на достаточно большом расстоянии от начала координат в некоторой малой окрестности можно приближенно считать, что, например, векторы и коллинеарны, так что . Это и означает локальное совпадение комплексных амплитуд и .

В окрестности некоторой оси, например , сферическую волну удобно рассматривать в параксиальном приближении. В этом случае величину r в знаменателе (1.36) можно приближенно заменить на , а в фазовом множителе разложить по биному

Тогда для комплексной амплитуды имеем

(1.38)

Таким образом, в параксиальном (квадратичном) приближении сферическая волна аппроксимируется параболической волной.

Однородная сферическая монохроматическая волна, так же как и плоская волна, является типовым оптическим сигналом СП. Центральная, осевая и плоскостная симметрия сферической волны соответствуют изотропности СП. При этом описание множества S входных сигналов набором сферических волн приводит к построению пространственно-координатной ВншМП СП.

1.6. Модельное представление линейной ОиЛзЭс

1.6.1. Внешняя линейная мп ОиЛзЭс

В соответствии с (1.6) идентифицируем поведение ОиЛзЭС с помощью формально заданного оператора P_ОиЛзЭС осуществляющего преобразование множества S = {s} входных оптических сигналов во множество Σ ={σ} выходных (преобразованных) оптических или электрических сигналов. Явный вид оператора поведения P_ОиЛзЭС определяется в каждом случае в рамках выбранной ВнтрСМ с учетом МП структурных ПЭ и классов входных и выходных сигналов. В оптических системах входные и выходные сигналы могут быть вещественными (интенсивность) или комплексными (амплитуда поля) функциями пространственных координат, времени и длины волны. В электронных системах они представляют собой вещественные функции одной независимой переменной (времени), для описания которых также используется понятие комплексного сигнала.

Основной задачей ВншСМ является описание внешней структурной связности ОиЛзЭС как «черного ящика» в результате выделения типовых входных и выходных сигналов, согласованных о пространственно-временной симметрией ОиЛзЭС, и построения классов сигналов связности R_S и R_Σ. Так как учет внешних параметров влияет прежде всего на конкретную МП, то без ограничения общности преобразующие свойства ВншСМ (1.6) пятимер­ной ОиЛзЭС, которая является отправной моделью для построения всех вариантов ММ ОиЛзЭС, описываются выражением

P_ОиЛзЭС (1.39)

где х, у, z – входные; x', y', z' ­­– выходные независимые про­странственные переменные; λ – длина волны; t – время.

В случае произвольной ОС пространственные переменные рас­сматриваются как координаты в пространстве предметов и про­странстве изображений.

Одним из основных внешних свойств СМ является линейная структурная связность входных и выходных сигналов, задаваемая подмножествами в виде линейных комбинаций некоторых типовых сигналов

(1.40)

где вообще говоря, комплексные коэффициенты. В результате выражение (1.6) с учетом (1.40) представляет собой линейно связную ВншСМ ОиЛзЭС. Более того, линейно связное представление сигналов (1.40) позволяет значительно упростить математическое описание ППС в ОиЛзЭС и конкретизировать вид МП (1.11), вводя в рассмотрение ОиЛзЭС с линейным поведением.

В общем случае ОиЛзЭС называют линейной (ЛОиЛзЭС), если ее поведение описывается линейным преобразующим оператором P_лоэс, который линейную комбинацию входных сигналов преобразует в линейную комбинацию выходных сигналов, так что

(1.41)

Говорят, что ЛОиЛзЭС удовлетворяет принципу суперпозиции и пе­реводит входную линейную связность в преобразованную линейную связность , так что . Соответствующую внешнюю линейную МП (ВншЛМП) ОиЛзЭС или любого ее ПЭ b с учетом (1.11) можно представить в виде

. (1.42)

Она лежит в основе общей теории линейных систем, в которых результат воздействия линейной комбинации входных сигналов носит аддитивный характер. Основное преимущество линейных систем состоит в том, что их реакцию (отклик) на какой-либо сложный сигнал можно выразить через отклики на некоторые «элементарные» типовые входные сигналы, каждый из которых вызывает отклик известного вида [11,21,26,28].