1.2.2. Проблемы математической теории ОиЛзЭс

Понятие ММ системы позволяет сформулировать основные проблемы математической теории систем, круг которых на первый взгляд оказывается шире реального круга проблем, с которыми приходится сталкиваться в рамках теории ОиЛзЭС при анализе и синтезе конкретных систем. Однако постоянное совершенствование ОиЛзЭС приводит к тому, что все рассматриваемые проблемы начинают играть существенную роль при создании новых ОиЛзЭС с современными электронными и микропроцессорными подсистемами обработки и управления [2,10,15].

Анализ обычно начинают с проблемы описания используемых в ММ основных множеств S_к, элементы которых оказывают влияние на поведение ОиЛзЭС. По существу, это проблема описания множеств входных S = {s} и выходных ∑ = { } сигналов, определенных в областях и пятимерного векторного пространства , которые задаются с помощью некоторых отношений R_D в этом пространстве. Дополнительно в рамках концептуальной модели описываются конечные множества преобразующих элементов (звеньев) B = {b}, а также внутренних G = {g} и внешних Q = {q} параметров.

Далее ставится задача определения взаимосвязей между входными и выходными сигналами с учетом связей между элементами и параметрами. Иначе говоря, возникает проблема идентификации, т. е. задача построения по результатам наблюдений некоторого запаса отношений R_l и отображений которые описывают реальную ОиЛзЭС. Например, выделение подмножеств конкретных сигналов на входе и выходе ОиЛзЭС соответствует построению унарных отношений «быть входным или выходным сигналом» на множествах S и ∑. Внутренние и внешние параметры задаются в виде упорядоченных векторов g = {g₁,...,g_m} и q = {q₁,...,q_n} с помощью m-арного (g₁,..., g_m) и n-арного (q₁,..., q_n) отношений. Отношения определяются как подмножества  G  ...  G и  Q  ...  Q m- или n-мерного декартова куба множеств G и Q соответственно. Введение различных отношений R_B на множестве ПЭ ОиЛзЭС указывает, какие ПЭ (звенья) и в каком порядке связаны друг с другом. Что касается запаса отображений P_n, то их количество и вид полностью определяются моделируемой реализацией ОиЛзЭС.

Для динамической системы решением проблемы идентификации является также множество U = {u} фазовых переменных или переменных состояния, являющееся фундаментальным понятием теории систем. Фазовые переменные возникают из-за того, что при формальном анализе характера зависимости выхода динамической системы от входа обнаруживается, что непосредственной связи между ними нет. Предысторию входов (причин) до момента времени t и выход в этот момент связывают фазовые переменные. Они характеризуют физическое или информационное состояние системы, а их изменения во времени выражают переходные процессы в динамической системе.

К фазовым переменным относятся ток и напряжение в описании электронных систем, сила и скорость в описании механических систем. При анализе процесса преобразования оптических сигналов роль фазовых переменных или переменных состояния выполняют напряженность электрического поля в электромагнитной волне и поток излучения. Однако так как реальные переходные процессы в оптических ПЭ протекают со скоростью света, то эти ПЭ рассматриваются как стационарные подсистемы, динамика оптического поведения которых не имеет практического значения. Поэтому выделение оптических фазовых переменных пока самостоятельного значения не имеет, и они фактически совпадают с выходными сигналами.

Таким образом, в общем случае решением проблем описания и идентификации является построение полной ММ ОиЛзЭС, в которой с необходимостью используют фазовые переменные, характеризующие состояния всех ПЭ. Соответствующая математическая структура (1.1), называемая для краткости ММ ОиЛзЭС, имеет вид

(1.2)

При этом множества S и ∑ считаются заданными в соответствующих областях определения и пятимерного векторного пространства , которые выделяются с помощью отношений R_D, входящих в общий набор отношений. На практике выделение таких областей осуществляется в рамках ММ конкретной ОиЛзЭС. Поэтому в дальнейшем всегда будем считать, что задание множеств S и  с необходимостью предполагает построение областей и .

С проблемой идентификации прежде всего тесно связана другая основная проблема – проблема представления систем, где изучаются возможные описания закономерностей поведения ПЭ или всей ОиЛзЭС. В рамках анализа ОиЛзЭС также представляет интерес задача прогноза выхода  (x ,y ,t) по наблюдаемому входу s (x,y,t), называемая проблемой наблю­даемости.

Следующая проблема теории систем связана с исследованием разрешимости задач формирования специального поведения, например, адаптивных ОиЛзЭС. Если проблема наблюдаемости возникает из необходимости прогнозирования будущего поведения системы, то формирование специального поведения вызывается необходимостью удовлетворения определенных требований, накладываемых ППС. Эти требования – цель, которая ставится перед системой.

Для учета влияния входных сигналов на поведение системы выделяют два подмножества. Элементы одного из них не зависят от наблюдателя и называются возмущениями, а элементы другого – управлениями. Систему, цель и исходные данные, на основании которых должна решаться задача нахождения управлений, обеспечивающих достижение цели, называют проблемой управления. Чтобы сравнивать между собой по эффективности функционирования разные ОиЛзЭС, нужно иметь какой-то количественный критерий, так называемый показатель эффективности, который также называют целевой функцией. Целевая функция выбирается так, чтобы она отражала целевую направленность ОиЛзЭС. Лучшей будет считаться та ОиЛзЭС, поведение которой в максимальной степени способствует достижению поставленной цели.

Другие проблемы теории ОиЛзЭС, например проблема устойчивости, являются детализацией основных сформулированных выше проблем. Многие из них возникают при синтезе систем с требуемыми свойствами. Решение этих проблем связано прежде всего с построением ММ ОиЛзЭС.