1.2. Математическое моделирование ОиЛзЭс

Важнейшим видом концептуально-знакового моделирования является математическое моделирование, осуществляемое средствами языка математики и логики и основанное на построении математической модели (ММ). Универсальная приложимость математических конструкций к изучению реально существующих ОиЛзЭС связана, прежде всего, с ограниченностью числа математических схем, возникающих при описании самых разнообразных ППС в технических приложениях. По гениальному определению В.И.Ленина «Единство природы обнаруживается «в поразительной аналогичности» дифференциальных уравнений, относящихся к разным областям явлений». Разве можно перечислить количество «внематематических» технических процессов и объектов, для описания которых оказываются удобными интегральные операции свертки или фурье-преобразования. Эта возможность многократной приложимости одного и того же математического понятия к анализу самых различных прикладных задач делает чрезвычайно ценной обобщенную трактовку ОиЛзЭС путем построения ее ММ [6,27,34-36].

1.2.1. Математическая модель (мм)

Определение ММ тесно связано с фундаментальным понятием современной математики – математической структурой (иногда ее называют математической системой). Понятие структуры часто употребляется в современной науке и технике, однако далеко не всегда оно определяется однозначно. В то же время трудно переоценить его важность, так как нет ни одной области, где в той или иной форме не используется представление о структуре. При этом следует четко различать два основных варианта использования структуры на практике, соответственно в узком математическом смысле (математическая структура, или организованная математическая система) и широком прикладном значении (структура, или структура, системы) [28-30].

Идея математической структуры, наиболее широко развиваемая А.Н.Колмогоровым и группой математиков, выступающих под коллективным псевдонимом Никола Бурбаки, неотделима от таких понятий, как множество, элемент, отношение, отображение [4,16,43]. Общее определение математической структуры громоздко. В то же время на практике для построения ММ ОиЛзЭС вполне достаточно определения математической структуры первого порядка, называемой просто математической структурой.

Математическая структура MSt (в узком смысле) – это набор объектов

, (1.1)

обозначаемый двойными угловыми скобками и состоящий:

1) из нескольких основных множеств математических элементов разной природы, различающихся условно приписываемыми им наименованиями;

2) из заданных на этих множествах унарных (одноместных), бинарных (двуместных), тернарных (трехместных) и более высокой арности (местности) отношений , где m-арное (m-местное) отношение имеет вид

;

3) из конечного запаса отображений из декартовых произведений множеств в , т.е. отображений (операторов) вида

.

Унарное отношение – это какое-либо подмножество (s_i)  S_i, где s_i  S_i. Бинарное отношение (s_i, s_j) связывает различные упорядоченные пары (s_i, s_j) элементов, где s_j  S_j. Оно задается указанием некоторого подмножества (s_i, s_j) в множестве всех упорядоченных пар. Последнее называется декартовым произведением (прямоугольником) множеств S_i и S_j и обозначается   (s_i, s_j). Заметим, что одномерная функция s(x) является частным случаем бинарного отношения (x, s(x)). Тернарное отношение связывает упорядоченные тройки элементов из S_i, S_j, S_к соответственно. Оно определяется подмножеством  S_i  S_j  S_к , где S_i  S_j  S_к – так называемый декартов параллелепипед, т.е. совокупность всевозможных упорядоченных троек. Частным случаем тернарного отношения (x, y, s(x,y)) служит двумерная функция s(x,y).

В общем случае m-арное отношение ( , ,..., s_im)    ...  S_im представляет собой подмножество декартова произведения m-ой степени и связывает упорядоченные совокупности ( , ,..., s_im) из m элементов (упорядоченные m-ки), вообще говоря, различных множеств.

Основные свойства отношений и отображений задаются аксиомами, которые должны быть включены в полное описание математической структуры. Содержание связанной со структурой MSt теории составляет изучение дальнейших свойств отношений R и отображений P, которые можно вывести из аксиом.

В широком смысле на практике под структурой реальной ОиЛзЭС понимают способ организации её элементов и характер всевозможных связей в ОиЛзЭС. При этом из определения математической структуры (в узком смысле) выделяется только строение системы, т. е. не обращается внимание на элементы, составляющие систему, а рассматривается лишь число, направление и вид согласующих связей между элементами и их преобразующие свойства. Тогда структура системы (в широком смысле) представляет собой совокупность отношений и отображений, задающих упорядоченные связи в ОиЛзЭС.

Одним из наиболее ярких применений понятия математической структуры при теоретическом анализе ППС является описание ММ ОиЛзЭС. Если объекты математической структуры трактуются как идеализированные реальные элементы (или понятия), а абстрактные отношения и отображения между этими объектами соответствуют конкретным связям между элементами и сигналами какой-то реальной системы (устройства) или процесса (явления), то говорят, что построенная структура st (в узком смысле) есть математическая модель (ММ) данной системы (устройства), процесса (явления). Таким образом, математическое моделирование предполагает установление взаимно однозначного соответствия (изоморфизма) между объектами математической структуры MSt и объектами (сигналами, элементами, параметрами, связями) реальной системы, процесса, явления на определенном, идеализированном уровне описания. Идея математической структуры дает возможность перейти от расплывчатого понимания ММ как приближенного описания системы (процесса), выраженного с помощью математической символики, к строгой формулировке понятия ММ, которая отражает моделируемые свойства технического объекта.