3.4.7. Полихроматическая пф КмпзцСист:

[ОИзС + МАИ + ПИ] при линейном сканировании

Подставляя (3.91) в (3.89), а затем (3.89) в (3.86) и меняя порядок интегрирования, получим

ЧВС при линейном сканировании:

(3.92)

где – постоянный коэффициент; .

Применяя ко [второму интегралу] в (3.92) теорему о среднем, получим

, (3.93)

Справедливость представления зависимости (3.93) обусловлена непрерывностью монохроматической ОПФ оптических систем и неизменностью знака произведения подынтегральных функций, зависящих только от , по всей области интегрирования.

Функция представляет собой полихроматическую ПФ Кмпзц системы [ОИзС + МАИ + ПИ]

, (3.94)

где – эффективная спектральная ширина полосы пропускания ОЭС [26]. С учетом выражения (3.93) ЧВС сигнала на выходе ПИ при линейном сканировании имеет вид

(3.95)

2.1) При круговом сканировании МАИ функцию , входящую в выражение (3.87), записывают в следующем виде:

(3.96)

где

Подставляя (3.96) в (3.87) и меняя порядок интегрирования, получим

(3.97)

где – постоянный коэффициент.

Выражая последний интеграл в (3.97) через и , для n-ой гармоники сигнала на выходе ПИ получим следующее выражение:

(3.98)

2.2) При вращении МАИ вокруг своей оси функцию , входящую в выражение (3.87), при частотном методе расчета можно записать в следующем виде:

(3.99)

где

Проведя преобразования, аналогичные случаю кругового сканирования МАИ, для n-ой гармоники сигнала на выходе ПИ получим следующую зависимость:

, (3.100)

где – постоянный коэффициент; – n-ая гармоника разложения в ряд Фурье по фазовому углу спектра энергетической яркости объекта; – n-ая гармоника разложения в ряд Фурье по фазовому углу полихроматической ОПФ; – n-ая гармоника разложения в ряд Фурье по фазовому углу ППФ МАИ.

Выборка с помощью двумерной мозаики ПИ

Выше было рассмотрено преобразование оптического сигнала с помощью одного ЧЭ ПИ при использовании различных схем сканирования МАИ. В настоящее время в тепловизионных, телевизионных, теплопеленгационных и др. ОЭП начинают широко использоваться преобразователи изображения, состоящие из двумерной матрицы квадратных или прямоугольных ЧЭ ПИ. Такая матрица усредняет освещенность изображения по каждому ЧЭ, осуществляет однократную выборку с каждого элемента и передает сигнал на выход системы, где формируется изображение путем свертки выходной апертуры прибора с сигналами выборок. Такую выборку называют «усредняющей» [25].

Рассмотрим формирование сигнала на выходе ПИ мозаичного типа (рис. 3.27). Объект с его изображением связаны через угловое увеличение . ПИ представляет собой двумерную матрицу, центры ЧЭ которой расположены в точках . ЧЭ имеют малые, но конечные размеры.

Введем следующие допущения для параметров и характеристик ПИ:

число ЧЭ бесконечно большое;

все ЧЭ имеют одинаковую чувствительность и равномерное распределение чувствительности по слою, т.е. ;

чувствительность элемента не зависит от величины падающего потока излучения.

При этом рассматривается стационарная, неизменная во времени картина освещенности в изображении объекта, поэтому запаздывание сигнала на выходе ЧЭ ПИ можно не учитывать.

Найдем вначале величину сигнала на выходе ЧЭ, центр которой расположен в точке с координатами . Величину сигнала с площадки определяют по формуле

, (3.101)

где – распределение освещенности в изображении объекта; – чувствительность ЧЭ ПИ.

Сигнал с ЧЭ размером

(3.102)

Пределы интегрирования в (3.102) введены в подынтегральную функцию.

Произведем выборку полученного значения с помощью дельта-функции в точке ,

. (3.103)

Не изменяя величины интеграла в (3.103), можно заменить на и на :

. (3.103)

Умножение на оказывает фильтрующее действие на значение функции, заключенной в квадратных скобках, при и , поэтому можно заменить множитель на , тогда (3.103) принимает вид

(3.103)

Таким образом, выборочное значение сигнала с ПИ в точке равно, с точностью до постоянного множителя, функции взаимной ковариации между и , умноженной на дельта-функцию .

Далее определим значение выборочной функции в точке с координатами :

(3.104)

Умножение на , как и в предыдущем случае, оказывает фильтрующее действие на функцию, заключенную в квадратные скобки, при и , поэтому можно заменить множитель на , тогда

(3.105)

Выборочная функция сигнала на выходе ПИ определяется как сумма выборочных значений в каждой точке :

(3.106)

Рассматривая зависимости (3.103), (3.105) и (3.106) видно, что интеграл, входящий в (3.103), представляет собой значение функции взаимной ковариации в точке с координатами 0, 0, соответственно в (3.105) – значение функции взаимной ковариации в точке с координатами и, наконец, в (3.106) сумма интегралов представляет собой сумму значений функции взаимной ковариации в точках . Так как дельта-функция осуществляет фильтрацию в точках с координатами , то вместо двумерного интеграла, входящего в (3.106), можно записать взаимную ковариацию функций и , т.е.

где ,

.

Так как функция является действительной и четной, то функцию взаимной ковариации можно заменить на свертку и тогда (3.107) примет вид

(3.107)

Таким образом, усредняющая выборка с помощью ПИ, имеющего двумерную структуру, эквивалентна, с точностью до постоянного множителя, взаимной ковариации (свертке) функции освещенности в изображении объекта с распределением чувствительности по площадке ПИ и последующей выборки в центре каждого ЧЭ.

В общем случае, когда распределение чувствительности по ЧЭ является неравномерным и описывается зависимостью , выборочная функция принимает вид

(3.107)

где – распределение чувствительности по ЧЭ в относительных единицах.

Найдем фурье-образ от (3.107). Имеем

Соответственно фурье-образ от (3.107) дает

(3.108)

Зависимости (3.108) и (3.108) показывают, что влияние усредняющей выборки проявляется, с одной стороны, в фильтрации пространственного спектра изображения объекта ППФ чувствительным элементом ПИ и, с другой стороны, появлением боковых частотных полос с центрами в точках .