5.8.3. Эффективность байесовской оценки

Теперь рассмотрим, какова же практическая эффективность (ценность) байесовской оценки при различных функциях потерь.

5.8.3.1. - равномерная функция потерь

Подставляя (5.73) в (5.79), получим апостериорный условный риск при -равномерной (квазиравномерной) функции потерь

(5)

Учитывая (5.69'), а также фильтрующее свойство -функции, найдём

. (6)

Из (6) следует, что при

получим, что байесовская оценка при -равномерной функции потерь соответствует максимуму функции . Иначе говоря, апостериорная плотность вероятности имеет резко выраженную верхнюю грань (рис. 5.16б). В результате из (6) при выбранном постоянном значении апостериорный условный средний риск тем меньше, чем больше .

Другими словами, байесовское правило оценки квазиравномерной функции потерь есть не что иное, как правило оценки по критерию максимума апостериорной вероятности (Кр. 1), максимизирующее вероятность правильного измерения неизвестного параметра. При использовании этого правила оценки вероятность появления ошибки любой величины минимальна по сравнению с использованием любого другого правила.

Если априорное распределение измеряемого параметра при определённой плотности вероятности неизвестно и нет данных, обеспечивающих возможность его приближенного описания, то необходимо задаться наименее предпочтительным распределением, т.е. прийти к Кр. 3 максимума правдоподобия (минимаксному критерию). Известно [22,23,26], что при решении задачи оценки параметров сигналов наименее предпочтительным распределением является равномерное распределение. Как следует из (5.72), при отношение правдоподобия с точностью до постоянного коэффициента совпадает с априорной плотностью вероятности , так что

. (5.72)

При этом правило оценки по критерию максимума апостериорной вероятности (Кр. 1) переходит в правило оценки по критерию максимума правдоподобия (Кр. 3). Оценка по критерию Кр. 3 является минимаксной, т.е. минимум числа ошибочных решений является наибольшим из всех других минимумов, и оптимальна (обеспечивает минимальную вероятность погрешности) только при равномерном априорном распределении вероятности измеряемого параметра. При других распределениях вероятности погрешности увеличиваются. В этом случае минимаксная оценка определяет верхнюю границу вероятности её возникновения (верхнюю границу байесовского риска).

Правило оценки по критерию максимума правдоподобия (Кр. 3) широко применяется на практике, особенно при проведении точных измерений, когда ОСП достаточно велико. В этом случае [22,23] апостериорное распределение , а следовательно, и функция имеют четко выраженный единственный максимум и по форме значительно «острее» априорного распределения (рис. 5.18). Тогда, если априорное распределение и неравномерно, на небольшом участке в окрестности оценки можно с достаточной степенью приближения считать его равномерным. И вместо правила оценки по критерию максимума апостериорной вероятности (Кр. 1) применять более простое для практической реализации правило максимума правдоподобия (Кр. 3).