1.3. Основные математические модели ОиЛзЭс

1.3.1. Постановка задачи моделирования

Цель математического моделирования – заменить реальную ОиЛзЭС, исследовать которую трудно из-за ее сложности, совокупностью более простых объектов математической модели, доступных для теоретического изучения. Математическая модель в определенном смысле проще самой системы, ибо она описывает не все, а лишь наиболее важные (для данного исследования) особенности ОиЛзЭС и поэтому удобнее для ее изучения. Все зависит от анализируемой ОиЛзЭС и от тех свойств, которые учитываются моделью.

В частности, одним из наиболее важных свойств, играющих ведущую, хотя и не всегда осознаваемую роль в моделировании, является внешняя и внутренняя симметрия не только ОиЛзЭС и ее элементов, но и всего ППС в целом. Термин «симметрия» по-гречески означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей». Поэтому когда говорят о симметрии объекта (сигнала, ПЭ, уравнения и т. п.), то описывают совокупность (группу) инвариантных преобразований (отображений), которые оставляют данный объект неизменным, т. е. в результате инвариантного преобразования получают исходный объект. При этом именно симметрия ограничивает число возможных вариантов объектов, а также число возможных вариантов поведения различных систем. Фундаментальным примером симметрии ОиЛзЭС является осевая симметрия сферических линз.

Несмотря на разнообразие ОиЛзЭС, целей и методов их исследования, в конечном счете в результате математического моделирования в теории ОиЛзЭС решаются три основные задачи:

• описание ППС в ОиЛзЭС в определенных условиях под влиянием внешних факторов;

• выявление разнообразия структур ОиЛзЭС, механизмов, управ­ляющих их поведением, и способов целенаправленного воздей­ствия на ОиЛзЭС;

• экстраполяционная задача построения ММ ОиЛзЭС с целью проектирования ОиЛзЭП для выполнения базовых проектных процедур анализа, синтеза и структурно-параметрической оптимизации при автоматизированном проектировании ОиЛзЭП.

Эти задачи чрезвычайно трудны. Для их решения в полном объеме создаваемая ММ должна оставаться достаточно сложной, чтобы ее свойства в нужной мере соответствовали свойствам ОиЛзЭС. Поэтому важнейшее требование к ММ состоит в ее адекватности изучаемой реальной ОиЛзЭС, т. е. в правильном описании свойств ОиЛзЭС по соответствующим характеристикам. Адекватность ММ оценивается ее способностью отображать определенные свойства ОиЛзЭС с погрешностью не выше заданной. При этом ММ, адекватная по одной системе характеристики, может быть неадекватна по другой.

Одновременно ММ ОиЛзЭС должна быть относительно простой, чтобы ее можно было описать и решать с ее помощью задачи анализа и синтеза ОиЛзЭС. Однако, как правило, чем модель адекватней реальной ОиЛзЭС, тем она сложней. Поэтому требования простоты и адекватности в определенном смысле противоречивы. Проблема достижения компромисса между ними является наиболее трудной практической задачей, решение которой зависит только от интуиции и опыта исследователя. В результате достаточно полное моделирование ОиЛзЭС предполагает построение набора различных ММ, каждая из которых описывает лишь некоторые аспекты си­стемы.

Общих способов построения ММ не существует. Создание ММ ОиЛзЭС требует глубокого знания не только математики, но прежде всего физической, сущности ППС. Одна и та же ОиЛзЭС может иметь несколько неэквивалентных ММ. Каждая из них определяется тем, какие характеристики системы учитываются в модели, и пригодна для изучения определенного круга вопросов, связанных со структурой и функционированием ОиЛзЭС. Но даже при учете одних и тех же характеристик возможны различные модификации. При этом искусство строить ММ есть именно искусство, и опыт в нем приобретается постепенно. На этом пути особую роль играет понимание основных типов ММ, используемых при анализе и синтезе ОиЛзЭС, и связей между ними [5,27,30,34,35].