2.5.3. SvM когерентной ОизС в приближении рос, КрпДос, адос и иос

Для описания ПФИ в РОС (рис. 2.11) идентифицируем ее поведение с учетом (2.93) в виде

Используя SvM френелевских СПП толщиной - р и СПИ толщиной р', а также Трм (2.92) реального объектива, с учетом (2.89) и (2.96) - (2.98) получим аналог (2.99) для КФР РОС, формирующей высококачественное геометрооптическое изображение:

Не учитывая, как и ранее в (2.99), линейные и квадратичные фазовые множители, стоящие перед интегралом, для пространственно-инвариантной составляющей КФР РОС найдем по аналогии с (2.102)

(2.110)

Соответствующие интегралы суперпозиции (2.103) и (2.106) имеют вид

(2.111)

(2.112)

где приведенная КФР РОС

(2.113)

В результате SvM, описывающая ПФИ в когерентной ОИзС (КОИзС) в приближении РОС, представляет собой наиболее полное обобщение (2.107):

(2.114)

Построение SvM для остальных приближений ПИОИзС осуществляется с учетом толщины СП и вида соответствующих ТрМ реализуемого объектива. Они имеют вид, аналогичный (2.107) и (2.114) со сверточными операторами поведения (2.103), (2.111) или (2.106), (2.112). При этом для приведенных КФР КрпДОС и АДОС получим

(2.115)

(2.116)

Вид приведенной КФР ИОС, формирующей идеальную геометрооптическую копию, найдем, устремив в (2.109) длину волны к нулю:

при (2.117)

Таким образом, дифракционное изображение точки в приближении параксиальной геометрической оптики имеет δ-образный вид. Подставляя (2.117) в (2.106), получим (2.105). Иначе говоря, так как ширина КФР ИОС равна нулю, то дифракционного сверточного сглаживания идеального изображения не происходит и оно является точной геометрооптической копией объекта.

2.5.4. Частотная лАнлтчМ когерентной пиоИзС

В общей теории ЛОС (п. 1.6) ПИОИзС рассматривается как линейный ПЧФ (1.54) с ПФ (1.53), анализ поведения которого начнем с ДОС. Переходя в (2.106) к пространственно-частотным представлениям, по аналогии с (1.52) и с учетом (2.105) получим выражение для мультипликативного оператора поведения двумерного линейного когерентного ПЧФ (КПЧФ), описывающего передачу пространственных частот в когерентной ДОС:

(2.118) где - масштабированный ПЧС когерентного входного сигнала в виде распределения комплексной амплитуды; - ПЧС идеального геометрооптического когерентного изображения без учета аберрационных и дифракционных искажений; - ПЧС когерентного, в данном случае дифракционного ограниченного изображения. Фурье-образ приведенной пространствено инвариантной КФР ДОС, определяемый на основании (2.109) как

(2.119)

называют КПФ ДОС. Она представляет собой функцию зрачка отраженную относительно начала координат, у которой координаты ξ, η заменяются на . На практике в силу осевой симметрии большинства объективов функция зрачка является центрально симметричной и отрицательные знаки у аргументов в (2.119) несущественны.

Для определения КПФ ПИОИзС в приближении РОС, КрпДОС и АДОС представим (2.113), (2.115) и (2.116) в виде, аналогичном (2.109):

(2.120)

Тогда фурье-образы приведенных пространственно-инвариантных КФР в виде (2.120)

(2.121)

(2.122)

(2.123)

определяют КПФ РОС, КрпДОС и АДОС. Кроме того, на основании (2.117) выражение для КПФ ИОС имеет вид

(2.124)

В результате когерентная ПИОИзС в самом общем представлении РОС наряду со SvM (2.114) отображается с помощью пространственно-частотной ЛАнлтчМ (1.54) как двумерный линейный когерентный ПЧФ (КПЧФ):

(2.125)

Мультипликативный оператор поведения (1.52), описывающий передачу пространственных частот в когерентной РОС, по аналогии с (2.118) на основании (2.112) имеет вид

(2.126)

Таким образом, чтобы определить когерентного изображения, формируемого РОС, надо: 1) найти КПФ РОС; 2) вычислить ПЧС входного сигнала и заменить в нем на ; 3) полученные результаты подставить в (2.126) и перемножить с учетом множителя β. При построении пространственно-частотной ЛАнлтчМ (2.125) для КрпДОС, АДОС, ДОС, ИОС используются; соответствующие КПФ (2.122) - (2.124) и (2.119), являющиеся частными случаями (2.121).

Пример 2.5. Рассмотрим КрпДОС с круглым и прямоугольным зрачками, для которых соответственно и , где - радиус круглого выходного зрачка; - стороны прямоугольного выходного зрачка. На рис. 2.13 приведены соответствующие КПФ КрпДОС в зависимости отнормированных пространственных частот где - максимальные пространственные частоты, пропускаемые когерентным корпулентным ПЧФ. Если р' = 100 мм, λ = 0,5 мкм, то . Преимущество перехода к нормированным пространственным частотам состоит в том, что найденные выражения одновременно описывают КПФ ДОС с нормирующими частотами .

Переход к пространственно-частотной ЛАнлтчМ (2.125) когерентной ПИОИзС и введение КПФ позволяют рассматривать сглаживание контуров объекта за счет свертки идеального геометрооптического изображения с приведенной КФР в рамках SvM (2.114) как процесс фильтрации (передачи) пространственных частот. Потеря разрешения полностью обусловлена тем, что высокие пространственные частоты не пропускаются финитной функцией зрачка объектива. Так как не превосходит единицы, то в соответствии с (2.119) и (2.121) - (2.123) такими же значениями обладает КПФ. Иначе говоря, когерентная ПИОИзС имеет финитный пространственно-частотный диапазон пропускания, определяемый прямоугольной или круговой областями в частотной плоскости. На границе этих областей финитная КПФ сразу падает до нуля. Поэтому составляющие вне диапазона пропускания полностью подавляются. При этом в ДОС и КрпДОС все частотные компоненты проходят без искажения амплитуды и фазы, а РОС и АДОС обусловливают, вообще говоря, изменение амплитуды и фазовый сдвиг для каждой частоты.

Заметим, что в общем случае в формулы (2.118) и (2.126) входит масштабированный ПЧС объекта , поскольку . Иначе говоря, при изменении масштаба изображения в ОИзС происходит преобразование ПЧС, соответственно растяжение или сжатие . Этой простой операции для ПИОИзС в ИВЭС соответствует двухступенчатый процесс записи временного сигнала с последующим его воспроизведением с другой скоростью.