1.5. Плоские и сферические волны

Основы электромагнитной теории света, базирующейся на уравнениях Максвелла, были в основном сформулированы еще в XIX веке. Эта теория долгое время не получала всеобщего признания. Сам Максвелл и его последователи пытались описать электромагнитное поле с помощью механических моделей. Только потом, когда идеи Максвелла стали более привычными, были постепенно оставлены попытки «объяснения» его уравнений на основе механики. В настоящее время не возникает трудностей при представлении электромагнитного поля Максвелла в виде некой субстанции, не сводящейся ни к чему более простому.

При наличии электрических зарядов и токов в пространстве устанавливается возбужденное состояние, которое называют электромагнитным полем. Колебания электрических зарядов в виде ограниченных движений в окрестности некоторого среднего положения, обладающие той или иной степенью повторяемости, приводят к соответствующим изменениям состояния пространства. Электромагнитное поле является частным случаем волнового поля. Это физическое поле, существующее в форме волн и описываемое с помощью совокупности пространственно-временных распределений физических величин, характеризующих рассматриваемые волны.

Электромагнитные волны представляют собой изменения физического состояния среды (возмущения), обусловленные колебаниями электрических зарядов в этой среде, распространяющиеся со скоростью света и несущие с собой энергию. Их характеризуют векторами напряженности электрического поля и магнитной индукции . Вид волн определяется в результате решения волнового уравнения, описывающего их распространение в пространстве, которое в свою очередь получается из уравнений Максвелла [3,11,12].

В рамках скалярной теории дифракции в любой точке однородной среды в областях, свободных от токов и зарядов (в частности, отсутствуют источники излучения), вещественная функция , которая описывает световое возмущение, удовлетворяет скалярному однородному волновому уравнению

(1.14)

где ­­­ – оператор Лапласа; – скорость света в среде; с = 299776 ± 4 км/с – скорость света в вакууме; п – показатель преломления. В скалярной теории дифракции представляет собой одну из двух взаимно перпендикулярных декартовых компонент и электрического поля, колеблющихся в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. При этом волновое уравнение является наиболее полным заданием явного вида преобразующего дифференциального оператора P_диф для построения ВнтрМП при решении любых оптических задач. Однако решить его удается только для небольшого числа частных случаев. Плоские и сферические волны – это первые изучаемые в теории ОиЛзЭС входные типовые сигналы .

1.5.1. Скалярные монохроматические волны

В любой волновой теории света элементарным сигналом считают монохроматическую волну, распространяющуюся в пространстве и во времени. Если ее временная частота лежит приблизительно в интервале от до Гц (соответственно длина волны в вакууме λ изменяется от 0,75 мкм до 0,4 мкм), то она вызывает у человека физиологическое ощущение определенного цвета. Обратное, вообще говоря, неверно. Окрашенный свет, вызывающий определенное субъективное ощущение цвета, может быть совокупностью монохроматических волн с различными частотами.

Решение волнового уравнения (1.14), определяющее вид монохроматической волны в точке в момент времени t, можно представить в виде скалярной функции

(1.15)

Величину , большую нуля, называют амплитудой, а аргумент косинуса – полной фазой, зависящей как от времени так и от пространственных координат . Величину

называют временной, или циклической, частотой оптического излучения (представляет число колебаний в секунду, Гц), которая по порядку величины равна Гц, а величину – угловой частотой. Последняя определяет число колебаний в 2 секунд. При замене t на значение функции остается неизменным, поэтому является временным периодом колебаний. Волновую функцию в форме (1.15) называют временным гармоническим оптическим сигналом. Она определяет монохроматическую волну. В случае линейно поляризованной волны характеризует напряженность электрического или магнитного поля как физическую величину.

Расчеты, связанные с преобразованием гармонических сигна­лов, значительно упрощаются, если вместо косинусоидальной гармоники использовать комплексную экспоненциальную гармонику. Нетрудно заметить, что (1.15) можно записать в виде действительной части (Re) от комплексной гармонической функции координат и времени

(1.16)

где — (1.17)

комплексный пространственно-временной гармонический оптический сигнал. Комплексную функцию координат

(1.18)

называют комплексной амплитудой волны, или комплексным оптическим сигналом. Так как зависимость от времени известна заранее, то задание комплексной амплитуды достаточно для описания светового возмущения.

Поверхность постоянной фазы, в любой точке которой в данный момент времени фаза волны одинакова,

называют волновым фронтом. Вообще говоря, поверхность постоянной фазы в (1.18) не совпадает с поверхностью постоянной амплитуды. При этом говорят, что такая волна неоднородна. Примером неоднородных волн служат эрмито-гауссовые и лагерро-гауссовые волны на выходе лазера.

Если операции, производимые над , линейны, то для удобства математических выкладок символ в (1.16) опускается, а в (1.14) вещественная функция заменяется комплекснозначной . Тогда вещественная часть окончательного выражения будет представлять собой изучаемую физическую величину. Делая переход к комплексным оптическим сигналам, следует помнить, что фактически физическая величина напряженности электрического поля в электромагнитной волне всегда вещественна.