5.8. Функция потерь и эффективность правил оценки

5.8.1. Функция потерь как характеристика погрешностей измеренного параметра

Из-за действия случайных помех любая оценка сигнального параметра производится неточно. В зависимости от используемого правила оценки одни и те же погрешности будут возникать с различной вероятностью, так что используемое правило оценки во многом характеризует точность работы измерительной ОиЛзЭС.

В основе организации системы оценок качества различных правил оценки лежит так называемая функция потерь , которая каждому сочетанию истинного значения параметра и его оценки (измеренного значения) приписывает определенный неотрицательный коэффициент потерь. Функция потерь , зависящая от абсолютной погрешности , в определённом смысле является аналогом функции рассеяния в ОИзС. Последняя определяет потерю разрешения.

Выбор вида этой функции зависит от специфики конкретной задачи измерения. К сожалению, общего формального правила выбора функции потерь не существует, и его осуществляют так же, как выбор коэффициентов потерь и выигрышей при решении задачи обнаружения (см. п. 5.2), опираясь на накопленный опыт, здравый смысл и интуицию. Наиболее часто используются следующие функции потерь.

1. -равномерная (квазиравномерная, простая) функция потерь (рис. 5.17а)

, (5.73)

где .

Выбор простой функции потерь означает, что все погрешности, вне зависимости от их величины и знака, одинаково нежелательны и каждой из них приписывается одинаковый «вес», характеризуемый коэффициентом потерь .

2. Функция потерь, линейная по модулю (рис. 5.17б)

. (5.74)

В этом случае нежелательность погрешности (её «вес») увеличивается линейно с ростом её абсолютного значения.

3. Квадратичная функция потерь (рис. 5.17в), при которой «вес» погрешности увеличивается пропорционально квадрату её величины, так что

. (5.75)

4. Прямоугольная функция потерь (рис. 5.17г)

. (5.76)

В этом случае все погрешности, абсолютные значения которых меньше , неопасны. Погрешности, абсолютные значения которых больше , одинаково нежелательны, вне зависимости от их величины.

Все рассмотренные функции потерь являются чётными функциями погрешности аргумента . Это означает, что одинаковые отклонения от истинного значения параметра как в большую, так и в меньшую сторону имеют одинаковую «стоимость». Однако существуют задачи, где необходимо по-разному оценивать знак погрешности. В этих случаях функции потерь будут асимметричными.

5.8.2. Байесовская оценка измеряемого параметра

Поскольку сам измеряемый параметр и его оценка являются случайными величинами, то случайными будут и потери . Поэтому для характеристики качества измерения (качества алгоритма оценки) применяется некоторый усредненный статистический параметр. Наиболее часто в качестве такого параметра принимают среднее значение функции потерь – средний риск [сравни с (5.12) и (5.13)].

Условный средний риск получается усреднением функции потерь по всем возможным реализациям , так что

, (5.77)

где – область пространства реализаций.

Как следует из (5.77) зависит от значения измеряемого параметра в реализации . Поэтому оценивать качество правила по условному среднему риску неудобно, так как при разных значениях наиболее предпочтительными могут оказаться разные правила. Отсюда целесообразно усреднение условного среднего риска по всем возможным значениям , т.е. получение безусловного среднего риска [сравни с (5.14)]

при этом [см. (*)].

Поскольку плотность вероятности есть неотрицательная функция, то минимизация безусловного среднего риска сводится к минимизации внутреннего интеграла, т.е. к минимизации функции

, (5.79)

которая называется апостериорным условным средним риском, соответствующим условию получения реализации . Если функция дифференцируема по , то оценка параметра по критерию минимума безусловного среднего риска (байесовская оценка ) является корнем уравнения

, (5.80)

при котором функция имеет глобальный минимум (нижнюю грань).

Из (5.78) и (5.79) следует, что

, (3)

т.е. безусловный средний риск можно рассматривать как усреднение апостериорного условного среднего риска по всем реализациям s. Минимальное значение безусловного среднего риска , называемое байесовским риском и соответствующее байесовской оценке измеряемого параметра , равно с учетом (3)

. (4)