3.3.4. Вращательное сканирование маи вокруг собственной оси

В случае вращающегося МАИ ( ) поток излучения на выходе МАИ определяется зависимостью (3.22). Если вращение МАИ (рис. 3.15) происходит с постоянной угловой скоростью , то , где – период одного оборота. В этом случае

(3.34)

Функция является периодической с периодом и ее временной спектр определяется коэффициентом ряда Фурье

(3.35)

так что спектральная плотность имеет вид

(3.36)

Для определения гармонических составляющих потока излучения на выходе МАИ могут быть использованы частотный и получастотный методы расчета.

3.3.4.1. Получастотный метод

В полярной системе координат освещенность изображения объекта и функция пропускания МАИ являются периодическими функциями с периодом по углам и (рис. 3.16):

(3.37)

где

(3.38)

где

Подставляя зависимости (3.37) и (3.38) в (3.34), получим

(3.39)

Меняя местами операции суммирования и интегрирования, (3.39) можно записать в виде

(3.39)

Последний интеграл в (3.39) можно преобразовать к более простому виду, если использовать условие ортонормированности подынтегральных функций

(3.40)

В результате в (3.39) вместо двух сумм останется одна:

(3.41)

Сравнивая формулы (3.35) и (3.41), для n-й гармоники потока излучения на выходе МАИ, получим зависимость

(3.42)

Таким образом, (3.42) позволяет вычислить n-ю гармонику потока излучения на выходе МАИ, используя получастотные представления (3.37) и (3.38) функции распределения освещенности в изображении объекта и функции пропускания МАИ .

3.3.4.2. Частотный метод

Рассмотрим частотный метод определения гармонических составляющих потока излучения на выходе МАИ. Перепишем зависимость (3.4) с учетом (3.3) в виде

Если МАИ вращается с постоянной угловой скоростью, то и

(3.43)

где

Запишем ПЧС освещенности и ППФ МАИ в полярной системе координат, т.е. , тогда (3.43) принимает вид

(3.44)

При повороте МАИ на угол его функция пропускания а ППФ в соответствии с формулой (3.11) . Подставляя (3.44) в (3.43) и учитывая, что , получим

(3.45)

Обозначим в (3.45) выражение, заключенное в круглые скобки, через . Проведя в нем замену переменной , получим

Так как функция является периодической по углу  с периодом 2, то ее можно разложить в ряд Фурье

(3.46)

где

Подставляя (3.46) в выражение для , получим

Используя свойство ортонормированности экспоненциальных функций (3.40), запишем

Аналогичные преобразования проводим с :

где

Подставляя и в (3.45), найдем

Используя, как и ранее, свойство ортонормированности экспоненциальных функций, для получим

(3.47)

Если учесть, что и , то (3.47) окончательно принимает вид

(3.48)

Повтор вывода формул, аналогичных (*) на стр.173 для и

Рассмотрим, каким образом могут быть получены и . Если яркость объекта задана в полярной системе координат как , то ее ПЧС

Так как – периодическая функция относительно переменной  с периодом , то ее можно разложить в ряд Фурье

где

Далее, проведя преобразования, аналогичные (3.15) – (3.15), имеем

(3.49)

где ()

Для получим зависимости, аналогичные (3.49):

(3.50)

где ()

Пример 3.5. На рис. 3.17 показана оптическая система, объект и МАИ, который вращается вокруг оптической оси с постоянной угловой скоростью . МАИ представляет собой растр, одна половина которого состоит из набора прозрачных и непрозрачных секторов, а вторая половина имеет вид полукруга с постоянным пропусканием по интенсивности, равным . МАИ устанавливается в плоскости изображения объекта. Объект представляет собой секториальный сегмент. Оптическую систему будем считать идеальной, так что ее нормированная функция рассеяния . В этом случае объект и его изображение будут различаться лишь масштабом.

Распределение освещенности в изображении объекта и функция пропускания МАИ имеют вид

где М – общее число секторов, к = 1, 2, … , М/2 – текущее число пар секторов, .

Для определения амплитуды n-й гармоники временного спектра потока излучения на выходе МАИ используем получастотный метод расчета. На основании (3.37) имеем

Введя обозначение и , для получим

Проведя интегрирование и несложные алгебраические преобразования, получим

В формуле для во вторых квадратных скобках стоит сумма членов геометрической прогрессии, которая равна . Подставляя найденное выражение в формулу для , запишем

Откуда, раскрывая неопределенность 0/0, имеем

где

Подставляя и в (3.42) и выбирая систему координат таким образом, что , найдем

Модуль нормированного спектра потока излучения на выходе МАИ для М = 8 показан на рис. 3.18. Коэффициент размерной селективности для данного МАИ определяется как . МАИ данного типа используются в ОЭС с амплитудной модуляцией потока излучения. В данном случае 8-я гармоника соответствует несущей частоте, а 7-я и 9-я – боковым частотам.