4.2.3. Преобразование фонового излучения оптической системой
В случае пространственно-инвариантной оптической системы связь между квазимонохроматическим случайным однородным фоновым яркостным полем и полем облучённости с учётом (2.151) описывается свёрткой
(4.28)
где
;
;
.
(4.28
)
Проведя замену переменных
и
в (4.28), получим
где
и
= const
– флуктуации и математическое ожидание
однородного случайного фонового
яркостного поля соответственно;
.
4.2.3.1. Kr-метод расчёта
Так как во втором интеграле в (4.29)
const,
=const,
(4.29)
то
случайное поле фоновой облучённости
можно представить в виде суммы флуктуаций
облучённости
и математического ожидания
=const,
где
(4.29)
Корреляционная
функция фоновой облучённости определяется
как математическое ожидание произведения
флуктуаций фоновой облучённости, взятых
в двух точках плоскости изображения
и
,
так что
Подставляя
и
из (4.29)
в (4.30) и внося оператор математического
ожидания под знак интеграла, получим
(4.31)
Выражение, стоящее
под знаком математического ожидания в
(4.31), представляет собой корреляционную
функцию
фоновой яркости идеального
геометрооптического изображения. В
силу однородности случайного фонового
яркостного поля её можно представить
в следующем виде
Подставляя в (4.31), находим окончательное выражение для корреляционной функции фоновой облучённости в плоскости изображения
(4.32)
В результате с учётом (4.29) случайное поле облучённости тоже оказывается однородным.
4.2.3.2. Частотный метод расчёта
Переходя к пространственной спектральной плотности корреляционной функции фоновой облучённости, найдем
После
замены переменных
получим
Учитывая, что
– действительная функция и
имеем
Так как для последнего интеграла в (4.33)
,
то
для
найдём окончательное выражение
В случае идеальной
ОИзС нормированная некогерентная
функция рассеяния имеет вид
.
Тогда для корреляционной функции и её
спектральной плотности на основании
(4.32) и (4.34) имеем соответственно
(4.32)
(4.34)
;
.
4.2.3.3. Частотный и Kr-методы расчёта для удалённого объекта
Когда объект
находится на большом расстоянии от
оптической системы, плоскость изображения
совпадает с задней фокальной плоскостью
объектива ОЭП. В этом случае вместо
декартоваых координат вводятся угловые
координаты
и
.
При этом для малых углов приближенно
угловые координаты равны тангенсам
этих углов, так что
где
– расстояние от оптической системы до
объекта, а
–
фокусное расстояние объектива ОЭП. В
свою очередь, угловые частоты
и
измеряются в
и выражаются через пространственные
частоты
и
по формулам
,
.
В этом случае корреляционная функция и угловая спектральная плотность фоновой яркости зависят соответственно от угловых координат и угловых частот
,
где
флуктуации яркости рассматриваются в
двух точках с угловыми координатами
и
.
Тогда корреляционная функция и угловая
спектральная плотность фоновой
освещенности по аналогии с (4.32) и (4.34)
имеют вид
