2.6.6.2. Геометроаналитическая модель (ГмаМ) опф КрпДос

Используя симметризованное представление (П4.10), для функции ковариации с учетом (2.165) получим симметризованное выражение для оператора ковариационного поведения (2.167) КрпДОС:

(2.168)

где - абсолютная величина смещения двух зрачковых функций вдоль осей ' и '. По определению функции зрачка (2.58) числитель (2.168) представляет собой площадь Л _пер области пересечения двух симметрично смещенных идентичных зрачков (рис.2.14), центр одного из которых лежит в точке , а центр другого в центрально сим­метричной точке . Знаменатель осуществляет нормировку на полную площадь зрачка Л _зр так что ОПФ КрпДОС представляет собой нормированную площадь пересечения , равную относительной доле площади пересечения двух симметрично смещенных идентичных зрачков от площади всего зрачка, и имеет вид

(2.169)

В результате геометроаналитического преобразования КгрПЧФ в НКгрПЧФ формируется частный случай АKvM ОПФ, называемый геометроаналитической моделью (ГмаМ) в приближении КрпДОС, так что

(2.170)

где оператор поведения определяющий геометроаналитический способ вычисления ОПФ КрпДОС, имеет вид (2.169). ГмаМ ОПФ в приближении ДОС получается из (2.170) с учетом (2.169) при симметричном относительном смещении зрачков, равном .

Использование ГмаМ ОПФ позволяет в ряде практических случаев значительно упростить вычисления. Для выходного зрачка простой формы легко найти общее выражение для площади Л _пер. В случае зрачка произвольной формы (рис. 2.14) можно приближенно по формуле (2.169) найти ряд значений ОПФ КрпДОС для дискретного набора пространственных частот.

В рамках ГмаМ на основании (2.169) ОПФ КрпДОС (и в частности ДОС) является вещественной и неотрицательной функцией, т. е. совпадает с МПФ и, следовательно, не превосходит единицы:

Но так как площадь пересечения при симметричном смещении зрачков для зрачка произвольной формы меняется сложным образом, то в общем случае МПФ не является монотонно убывающей функцией пространственных частот.

Пример 2.6. Пусть некогерентная КрпДОС имеет выходной зрачок в виде двух симметрично расположенных щелей (рис. 2.15а), где - область выходного зрачка. Для простоты рассмотрим одномерный случай (рис. 2.15б):

Будем искать ОПФ, совпадающую с МПФ, в рамках KvM в виде нормированной функции ковариации (2.167). При вычислении одномерной ОПФ нормирующий множитель равен эффективной длине зрачка , так что сечение двумерной ОПФ вдоль оси имеет вид

Полученная МПФ в зависимости от нормированной пространствен­ной частоты приведена на рис. 2.16 и не является монотонно убывающей функцией.

Переход к нормированным пространственным частотам (пример 2.5) позволяет отождествлять ОПФ КрпДОС и ДОС, а в дальнейшем ОПФ РОС и АДОС. При этом для НКОС частота , определяемая в долях максимальной пространственной частоты, которая пропускается КОС, лежит в пределах .

Пример 2.7. Найдем двумерную ОПФ КрпДОС с круглым зрачком:

используя ее ГмаМ (2.170). Так как ОПФ обладает осевой симметрией, то ее достаточно определить для какого-нибудь одного направления симметричного смещения зрачков. В силу симметрии области пере­сечения

Из рис. 2.17 следует, что площадь полусегмента, обозначенная двойной штриховкой,

Площадь сектора О₂ АВ равна части площади круга, которую угол  составляет от полного угла 2:

так как

В свою очередь

Тогда учитывая, что для ОПФ, которая в данном случае совпадает с МПФ, получим

Переходя к нормированным пространственным частотам , получим двумерную ОПФ КрпДОС с круглым зрачком (рис. 2.18) в виде