3.5. Преобразование сигнала электронным трактом

Вначале рассмотрим преобразование сигнала линейным электронным трактом (ЭТ). Для линейной инвариантной во времени электронной системы реакция на входное воздействие определяется

. (3.109)

где – импульсный отклик электронной системы. Для реальных временных физических систем всегда выполняется условие при всех , т.е. при отрицательном аргументе функция должна обращаться в ноль, так как отклик системы не может опережать входное воздействие в момент времени . Поэтому в (3.109) подынтегральное выражение обращается в ноль.

Взяв от обеих частей (3.109) преобразование Фурье, получим

. (3.110)

где – передаточная функция электронного тракта. Если на вход линейного ЭТ поступает периодический сигнал, то n-я гармоника сигнала на выходе и входе связана соотношением

. (3.111)

На выходе линейного ЭТ детерминированный сигнал при апериодическом и периодическом движении МАИ определяется зависимостями (3.110) и (3.111), при этом и .

3.5.1. Дифференцирование и интегрирование сигналов

В электронном тракте ОЭС часто требуется осуществлять преобразование сигнала, имеющее характер дифференцирования и интегрирования. Если на выход линейной системы, осуществляющей дифференцирование, подается сигнал , то с выхода снимается сигнал вида

.

В интегрирующей системе связь между выходным и входным сигналами имеет вид

.

В этих зависимостях – постоянная величина, имеющая размерность времени.

Дифференцирование и интегрирование являются линейными операциями. Следовательно, для дифференциального или интегрального преобразования сигнала необходимо использовать линейные цепи.

Рассмотрим дифференцирующую RC-цепь. Подразумевая под входным сигналом ЭДС, запишем уравнение для тока в цепи

. (3.112)

Умножив левую и правую части уравнения на C и обозначив постоянную времени , получим

. (3.113)

Функциональная связь между током и входным сигналом зависит от постоянной времени . Если очень мала, то первым слагаемым в левой части уравнения (3.113) можно пренебречь. Продифференцировав оставшееся уравнение по , получим

.

Отсюда следует, что напряжение на резисторе R, совпадающее по форме с , пропорционально производной входного сигнала

.

При очень больших второе слагаемое в левой части уравнения (3.113) можно отбросить. При этом ток

совпадает по форме с входным сигналом, а напряжение на конденсаторе C, равное

,

пропорционально интегралу от входного сигнала .

Уточним понятия «малое» и «большое» . Используем частотное представление сигнала. Если входной сигнал имеет ЧВС , то при точном дифференцировании выходной сигнал должен иметь ЧВС . Это означает, что для точного дифференцирования требуется четырехполюсник с передаточной функцией

. (3.114)

При точном интегрировании выходной сигнал должен иметь ЧВС . Следовательно,

. (3.115)

Передаточные функции реальных четырехполюсников, осуществляющих дифференцирование и интегрирование, соответственно имеют вид

; (3.114)

(3.115)

Из сравнения выражений (3.114) и (3.114) следует, что для достаточно точного дифференцирования необходимо, чтобы выполнялось условие

. (3.116)

Это неравенство должно выполняться для всех частот спектра входного сигнала.

Из сравнения выражений (3.115) и (3.115) видно, что для достаточно точного интегрирования требуется выполнение условия

. (3.117)

Это неравенство должно выполняться для всех частот спектра входного сигнала.

Простые RC (или RL)-цепи пригодны лишь для приближенного дифференцирования или интегрирования сигналов. Указанные операции можно осуществлять достаточно точно при введении в эти схемы усилителя с отрицательной обратной связью при обеспечении условия . Этому требованию отвечает операционный усилитель (ОУ).

На рис. 3.28 приведена схема дифференцирующей системы на ОУ. Входное сопротивление ОУ очень велико, благодаря чему коэффициент обратной связи, определяемый соотношением , близок к единице. Напряжение , являющееся разностью напряжения, поступающего со входа, и напряжения обратной связи, настолько мало по сравнению с , а следовательно, и по сравнению с напряжением на R и C, что в первом приближении напряжение в точках 1 и 2 (см. рис. 3.28) можно считать одинаковым. Это позволяет считать, что сигнал , подлежащий дифференцированию, приложен непосредственно к емкости C так. Что . Определим ток . Падение напряжения на резисторе R совпадает с напряжением , откуда следует равенство , где K – коэффициент усиления ОУ. Учитывая, что ток (из-за малости и очень большого сопротивления ОУ), получим, что , откуда

, (3.118)

или .

В реальном ОУ усиление K измеряется десятками тысяч, поэтому точность операции дифференцирования вполне достаточная.

Если в схеме рис. 3.28 поменять местами R и C, то получится интегрирующая система на ОУ. В этом случае ток, протекающий через резистор R,

и ,

откуда . (3.119)