1.5.3.Однородные плоские монохроматические волны

Любое решение волнового уравнения (1.14) вида

(1.23)

представляет собой плоскую волну, так как в каждый момент времени величина постоянна во всех точках плоскости, задаваемой векторным уравнением в виде скалярного произведения

,

где – радиус-вектор точки ; – единичный вектор нормали к плоскости, координаты которого определяются направляющими косинусами (рис. 1.4). Иначе говоря, плоская волна, фаза которой постоянна во всех точках некоторой плоскости, имеет плоский волновой фронт.

Общее решение волнового уравнения (1.14) в виде (1.23), выражающее плоскую волну, которая распространяется в направлении вектора со скоростью , имеет вид

(1.24)

Аргумент функции не меняется при замене величин и t на величины и соответственно. Физически это означает, что возмущение , которое в момент времени t было в плоскости, находящейся на расстоянии d от начала координат, в более поздний момент времени оказывается в плоскости, расположенной уже на расстоянии от начала координат. Вводя в (1.17) в результате замены t нa структуру плоского волнового фронта и учитывая, что для однородной плоской волны , получим скалярное комплексное выражение для электрического (магнитного) поля однородной плоской монохроматической волны

(1.25)

где ; – длина волны в среде с показателем преломления n. Длину волны

(1.26)

называют приведенной длиной волны (соответствует распространяющейся в вакууме монохроматической волне той же частоты). Вектор или для вакуума

,

направленный вдоль единичного вектора нормали (рис. 1.4), называют волновым вектором. Его длину , соответственно для вакуума , называют волновым числом. Волновой вектор является обобщенным пространственным аналогом временной угловой частоты .

Так как выражение (1.25) не изменяется при замене на то , является пространственным периодом плоской волны. Для задания ориентации пространственных гармонических осцилляции в плоской волне на практике очень удобно ввести векторы пространственной частоты

, , (1.27)

направления которых совпадают с направлением распространения , а длины соответственно равны

, (1.28)

Они задают число пространственных периодов (осцилляций) в волне, укладывающихся на единице длины, 1/мм, соответственно в среде или в вакууме, и по аналогии с временной частотой называются пространственными частотами. Это еще более углубляет аналогию между волновым вектором и угловой частотой .

В итоге комплексную амплитуду однородной плоской монохро­матической волны можно представить в виде

(1.29)

(1.30)

В (1.30) в соответствии с (1.24) фаза увеличивается с ростом расстояния d от начала координат, а фаза уменьшается с ростом времени t. Выбор такого правила знаков в плоской волне обусловлен описанием ее распространения в направлении вектора . Он не имеет существенного значения, так как практический интерес представляет не абсолютная величина фазы, а разность фаз. В то же время в рамках выбранного правила знаков процесс распространения плоской волны сводится к следующему. Для любой точки некоторой плоскости согласно (1.30) полная фаза волны в момент времени t постоянна и равна . В более поздний момент времени полная фаза будет иметь то же значение на большем расстоянии от начала координат , так как , в то время как на прежнем расстоянии d она уменьшается. В результате плоский волновой фронт перемещается в пространстве в направлении, которое в зависимости от специфики задачи можно охарактеризовать одним из трех коллинеарных векторов – единичным вектором нормали , вектором пространственной частоты или волновым вектором (рис. 1.4).

Таким образом, однородная плоская монохроматическая волна (1.30) является тем важным частным случаем комплексного временного гармонического сигнала (1.17), который позволяет с единых позиций рассматривать частотно-временные и пространственно-частотные гармонические осцилляции произвольной монохроматической электромагнитной волны, представляемой в виде суммы плоских волн. Это в свою очередь служит первым шагом на пути создания общей частотной МП ОЭС при описании множества S входных сигналов набором плоских волн.

Для описания плоской волны, распространяющейся в противоположном направлении, надо во всех полученных выражениях заменить векторы на противоположные .

Тогда на основании (1.29) комплексная амплитуда примет вид

Нетрудно видеть, что противоположному направлению распространения соответствует комплексно-сопряженная амплитуда. В этом, в частности, проявляется одно из преимуществ введения комплексного оптического сигнала. Другое преимущество использования комплексной амплитуды выясняется при переходе к координатному представлению однородной плоской монохроматической волны. Вектор пространственной частоты перпендикулярен трехмерной плоскостной периодической решетке, состоящей, например, из максимумов пространственно-частотной гармоники, которая соответствует комплексной амплитуде плоской волны в фиксированный момент времени и тем самым задает ее ориентацию. На рис. 1.5 приведена решетка с вектором , лежащим в плоскости хz, так что ее реберные грани перпендикулярны этой плоскости (параллельны оси у). С учетом (1.27) координаты

, , (1.31)

называют координатными пространственными частотами соответственно вдоль осей х, у, z. Если направление распространения (или ) составляет с какой-либо осью угол меньше 90°, то соответствующая координатная пространственная частота положительна. Если угол больше 90°, то частота отрицательна. В оптике координатные пространственные частоты часто выражаются через допол­нительные углы (углы падения) , , , так что , , . Тогда, переходя в (1.29) к координатной форме записи скаляр­ного произведения , получим

(1.32)

В частности, плоская волна, распространяющаяся в направлении

, параллельном плоскости хz ( = 90°, рис. 1.5), имеет в произвольной точке комплексную амплитуду

При получим выражение для комплексной амплитуды в точке плоскости х0у

.

Наконец, если ( ), то комплексная амплитуда плоской волны, распространяющейся в направлении оси , в точке имеет вид

,

а в точке она будет

.

Оптико-физический смысл координатных пространственных частот заключается в том, что их знаки определяют направление распространения плоской волны, а численные значения обратно пропорциональны пространственным периодам , , трехмерной плоскостной решетки вдоль соответствующих координатных осей

, , .

Для волны, распространяющейся в направлении (рис. 1.5) с вектором , лежащим в I квадранте, частоты , , , так что

, , .

В этом случае и определяют пространственные периоды плоских решеток, которые получаются в сечениях трехмерной решетки плоскостями ху и zу. Для II квадранта , , для III квадранта , , а для IV , .

На основании (1.28) и (1.31) координатные пространственные частоты в плоской волне связаны соотношением

,

откуда , где знак определяется знаком . Тогда согласно (1.32) можно описать процесс распространения комплексной амплитуды плоской волны в пространстве, если выразить через

где . В результате комплексная амплитуда плоской волны на произвольном расстоянии от начала координат оказывается рав­ной произведению комплексной амплитуды в плоскости ху на комплексную экспоненциальную функцию распространения [см. (2.18)]

(1.33)

описывающую фазовую пространственно-частотную дисперсию. В соответствии с выбранным правилом знаков с ростом фаза волны увеличивается. Как показано в 2.2.2 (см. 2.18) это выражение идентифицирует когерентную передаточную функцию когерентного слоя свободного пространства.

Однородная плоская монохроматическая волна является одним из основных типовых оптических сигналов СП. Сдвиговая симметрия плоской волны естественным образом совпадает со сдвиговой симметрией однородного СП, ибо при любом сдвиге в плоскости, совпадающей с волновым фронтом, комплексная амплитуда плоской волны не меняется. Поэтому описание ее распространения лежит в основе пространственно-частотной ВншМП СП.