1.3.5. Модель поведения мп

Она служит для описания поведенческой связности между сигналами в конкретной системе, т. е. для явного описания поведения элементов или всей системы в целом путем задания отображений, имитирующих физические или информационные процессы, протекающие при функционировании системы. С учетом функционального характера МП последнюю иногда называют функциональной моделью. При построении общей МП в (1.1) упор делается на функциональный вид явно заданных преобразующих операторов описывающих отображения основных множеств друг в друга, а конкретному виду отношений R не придается существенного значения:

МП = << S₁, S₂,..., ; R; >>.

МП ОиЛзЭС отображает наличие поведенческой связности и симметрию поведения как характер передачи сигналов с возможным преобразованием их физической природы путем явного описания физических процессов, лежащих в основе функционирования ПЭ, звена или всей ОиЛзЭС в целом. Соответствующая математическая структура имеет вид

МП_ОиЛзЭС = << S, , B, Q , G, U; R_B ;

R_S, R_ R_Q, R_G , R_U; ( s  Q , G, U ) >>, (1.10)

где обязательно фигурирует множество U фазовых переменных, роль которых существенно отличается при внешнем и внутреннем описании поведения системы. Основные множества S, , B, Q , G, U определяют фазово полную идентификацию системы. Запись (s  Q , G, U ) означает явный вид оператора, задающего поведенческую связность сигналов s, поступающих на вход элемента , с выходными сигналами . При этом учитываются внешние Q и внутренние G параметры, а также, вообще говоря, фазовые переменные U. Она подчеркивает индивидуальные, специфические особенности поведения моделируемого объекта, которые наиболее полно проявляются в определенных, заранее известных условиях и прежде всего симметрию поведения. При этом описание симметрии поведения сводится к перечислению совокупности (группы) инвариантных преобразований, которые не выводят выходной сигнал  = (s  Q , G, U ) из заданного подмножества ₀   выходных сигналов с определенными свойствами.

Отношения R_B , R_S, R_ R_Q, R_G , R_U определяют фазово полную детализацию структурной связности при описании поведения моделируемого объекта. Тогда по способу описания поведенческой связности между сигналами в ОиЛзЭС на соответствующем уровне детализации выделяют Внш и ВнтрМП.

Внешняя модель поведения (ВншМП) ОиЛзЭС соответствует унарной связности и характеризуется явно заданным оператором (s  Q , G ) без выделения фазовых переменных U, совпадающих с выходными сигналами, так что из (1.10) и (1.3) имеем

ВншМП_ОиЛзЭС = << S,  = U, Q , G, ;

; R_S, R_ R_Q, R_G ; (s  Q , G ) >>. (1.11)

При наличии внешнего фазово полного описания основных множеств S, =U, Q , G оператор задает явный закон функционирования ОиЛзЭС, звена или ПЭ, рассматриваемых как самостоятельные подсистемы, и, образно говоря, раскрывает «тайну черного ящика». Поэтому ВншМП описывает внешние свойства поведенческой связности, как, например, линейность, внешнюю симметрию поведения и т. п., и в явном виде показывает, как осуществляется преобразование сообщения в сигнал или преобразование одного сигнала в другой. Внешняя фазово завершенная детализация структурной связности R_S, R_ R_Q, R_G основных множеств используется постольку, поскольку она необходима для построения явного вида внешнего отображения (s  Q , G ).

В ОиЛзЭС внешняя симметрия поведения проявляется прежде всего как симметрия сдвига входных и выходных сигналов в пространстве и во времени, что обусловливает выделение фундаментальных подклассов инвариантных в пространстве (изопланарных) и во времени (стационарных) систем. Соответствующий явно заданный инвариантный оператор в координатном пространстве имеет вид свертки Sv (s  Q , G) и задает сверточную МП, называемую для краткости сверточной моделью SvM. В частотном пространстве выделяют F -МП.

Для описания симметрии комплексных произвольных регулярных и случайных оптических полей, а также случайных процессов используют функции взаимной ковариации Kv (s  Q , G) и корреляции Кr (s  Q , G), характеризующие их сходство при относительном сдвиге. В этом случае говорят о ковариационной и корреляционной МП или просто ковариационной модели (KvM) и корреляционной модели (КrМ), которые характеризуют степень сходства сигналов при сдвиге в виде степени их ковариации и корреляции. В рамках KvM оценивается степень когерентности оптических полей и вычисляется оптическая передаточная функция некогерентной оптической изображающей системы.

К другим видам внешней симметрии, присущей только оптическим ПЭ, относятся такие разновидности геометрической симметрии, как осевая симметрия сферических линз и плоскостная симметрия цилиндрических линз, призм, пластин, что в свою очередь обусловливает центральную и зеркальную симметрию геометрооптического изображения. Для задания их поведения на практике широко используют транспарантное приближение, когда функционирование реального ПЭ можно приближенно описать, рассматривая его как транспарант. При этом под транспарантом (Тр) понимают физическое тело, используемое при модуляции падающего на него оптического излучения, влияние толщины которого пренебрежимо мало. В транспарантном приближении мультипликативная пропускающе-отражательная транспарантная МП, или для краткости τρ–ТрМ, описывает поведение ПЭ как результат умножения входного сигнала на коэффициент пропускания τ^тр (х, y| Q , G) или отражения ρ^тр (х, у | Q , G), которые обладают геометрической симметрией ПЭ.

На практике ТрМ обычно возникает как следствие некоторой предварительно построенной геометрооптшеской МП, или просто геометрооптической модели (ГмоМ). Последняя описывает поведение оптических ПЭ (объектива, слоя пространства и т. п.) или всей оптической системы в приближении геометрической оптики и часто имеет самостоятельное значение.

Таким образом, ВншМП ОиЛзЭС обычно выступает как ММ стационарной системы, состояние которой не меняется с течением времени из-за неизменного характера временного переходного процесса. Использование в ней фазовых переменных, фактически совпадающих с выходными сигналами, самостоятельного значения не имеет. Поэтому ВншМП задает явное выражение, связывающее выход со входом, которое в частном случае оптических ПЭ зависит только от пространственных координат и не зависит от времени.

Внутренняя модель поведения (ВнтрМП) ОиЛзЭС описывает прежде всего множество U фазовых переменных, совокупность m-арных отношений на множестве ПЭ и набор явно заданных преобразующих поэлементных операторов ( s  Q , G, U ), так что из (1.10) с учетом (1.4) имеем

ВнтрМП_ОиЛзЭС = << S_j, , , Q , G, U;

; , R_ R_Q, R_G , R_U; ( s  Q , G, U ) >>, j = . (1.12)

Её основное отличие от ВншМП состоит в построении внутреннего фазово полного описания основных множеств S, , B, Q , G, U и внутренней фазово завершённой детализации структурной связности , , R_ R_Q, R_G , R_U в результате введения фазовых переменных U, характеризующих состояние всех ПЭ. Кроме того, явный вид внутренних отображений ( s  Q , G, U ) обусловлен конкретным заданием поэлементных операторов в виде дифференциальных P_диф, интегральных P_инт, алгебраических P_алг или алгебрологических P_лгч уравнений, связывающих между собой входные S и выходные сигналы, фазовые переменные U, а также внешние Q и внутренние G параметры. Таким образом, ВнтрМП идентифицирует внутренние дифференциальные, интегральные, алгебраические, алгебрологические и другие поведенческие связи, описывающие поведение ПЭ, звена или всей ОиЛзЭС в целом. При этом, чтобы найти поведенческую связность выхода со входом, надо решать соответствующие уравнения.

Предполагается, что детализированная локальная информация, содержащаяся во ВнтрМП, в результате решения уравнений может быть каким-то образом связана воедино, что позволит дополнительно дать общее (во времени и пространстве) описание внешней поведенческой связности "вход-выход" для всей ОиЛзЭС. Особую роль при построении ВнтрМП играют множество U фазовых переменных, характеризующих состояние всех выделенных ПЭ ОиЛзЭС, и m-арные отношения . Из сравнения (1.11) и (1.12) следует, что ВнтрМП во многом противоположна ВншМП, задает детальное описание ППС в конкретной ОиЛзЭС и либо строится в результате глубокого исследования (синтеза) новой системы, либо используется для анализа хорошо изученных систем.

ВнтрМП отображает основные внутренние свойства поведенческой связности, как, например, линейность и внутреннюю симметрию поведения преобразующих операторов, имеющих вид соответствующих уравнений. Причем внутренняя симметрия поведения характеризуется перечислением всех тех преобразований уравнений поведения, в результате которых преобразованное решение снова принадлежит множеству решений.

Пространственно-временной характер поведения ОиЛзЭС приводит к тому, что в зависимости от конкретного вида преобразующего оператора ВнтрМП может описывать функционирование как инвариантных, так и динамических систем. Примерами чисто оптических проблем, в которых используется пространственно-координатная интегральная ВнтрМП инвариантной ОиЛзЭС, являются задача отыскания типов колебаний (мод) в оптическом резонаторе лазера и задача нахождения функции рассеяния при синтезе ОиЛзЭП в рамках автоматизированного проектирования. В первом случае стационарной системы оператор P_инт определяет однородное линейное интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Во втором случае рассматривается изопланарная система, а ее поведение описывается линейным интегральным уравнением Вольтерра первого рода.

При описании поведения ОиЛзЭС Внш и ВнтрМП обычно выступают в виде аналитической или алгоритмической МП, называемых в дальнейшем аналитической и алгоритмической моделями.

Аналитическая модель (АнлтМ) получается в результате трансформации МП в такую систему соотношений относительно искомых величин, которая допускает получение нужного результата аналитическими методами. Этот переход к аналитическому описанию ППС в ОиЛзЭС является наиболее существенным и в то же время наиболее трудным шагом. Полученные результаты в виде явных формул, определяющих линейную аналитическую ВншМП (ЛАнлтМ) для искомых величин, либо приведение уравнений к виду, для которого решения известны (ВнтрМП), являются настолько полным решением задачи, что к аналитическому описанию ППС на практике стремятся в первую очередь. Примерами АнлтМ яв­ляются мультипликативная ТрМ и ГмоМ.

Однако воспользоваться аналитическим описанием удается сравнительно редко, так как получение АнлтМ ОиЛзЭС, допускающей эффективное решение, является трудной задачей, а для сложных ОиЛзЭС эти трудности часто оказываются непреодолимыми. Поэтому более широко для описания ППС используют алгоритмическую модель (АлгртмМ), которая выражает связи выходных и входных сигналов с учетом внешних и внутренних параметров (ВншМП), а также фазовых переменных (ВнтрМП) в форме алгоритма. В этом смысле АлгртмМ является обобщением АнлтМ.

Примерами относительно простой ВншАлгртмМ служат SvM, KvM и КrМ. В то же время ВнтрМП обычно реализуется в виде сложной АлгртмМ, которая описывает алгоритм решения соответствующих уравнений поведения.

В связи с разработкой численных методов решения и интенсивным внедрением быстродействующих ЭВМ и микропроцессорной техники АлгртмМ стала играть особую роль. Содержание работы при численном исследовании ППС остается в основном таким же, как и при использовании аналитических методов. Разница заключается в том, что после выполнения наиболее трудной части работы ­­– трансформации преобразующих операторов в МП к алгоритму, описывающему эффективное решение численными методами, необходимо вручную или с использованием вычислительной техники произвести расчеты – реализовать соответствующий численный метод. Использование численных методов расчета на ЭВМ также целесообразно и в частном случае АнлтМ ОиЛзЭС.