- •Глава 1 модельное представление процесса преобразования сигналов в оптико - электронных системах
- •1.1. Элементы теории систем
- •1.1.1. Сведения о процессе преобразования сигналов
- •1.1.2. Система
- •1.1.3. Связность сигналов и элементов в ОиЛзЭс
- •1.1.4. Модели системы
- •1.2. Математическое моделирование ОиЛзЭс
- •1.2.1. Математическая модель (мм)
- •1.2.2. Проблемы математической теории ОиЛзЭс
- •1.3. Основные математические модели ОиЛзЭс
- •1.3.1. Постановка задачи моделирования
- •1.3.2. Внешняя и внутренняя мм ОиЛзЭс
- •1.3.3. Структурная модель и модель поведения ОиЛзЭс
- •1.3.4. Связный граф системы моделей над ОиЛзЭс
- •1.3.5. Модель поведения мп
- •1.3.6. Цепи связного графа системы моделей для ОиЛзЭс
- •1.4. Оптико- и лазерно- электронная система
- •1.4.1. Структурная схема ОиЛзЭс
- •1.4.2. Классификация ОиЛзЭс
- •1.5. Плоские и сферические волны
- •1.5.1. Скалярные монохроматические волны
- •1.5.2. Интенсивность монохроматической волны
- •1.5.3.Однородные плоские монохроматические волны
- •1.5.4. Однородные сферические монохроматические волны
- •1.6. Модельное представление линейной ОиЛзЭс
- •1.6.1. Внешняя линейная мп ОиЛзЭс
- •1.6.2. Базисные типовые сигналы
- •1.6.3. Координатная интегральная ВншАлгтмМ линейной ос
- •1.6.4. Координатная SvM пространственно-инвариантной оИзС
- •1.6.5. Частотная линейная АнлтМ пространственно-инвариантной оИзС
- •1.6.6. Модели поведения линейной электронной системы
- •1.7. Дискретно-выборочное представление сигналов с финитным спектром
- •1.7.1. Теорема Котельникова (Уиттекера-Шеннона)
- •1.7.2. Свойства выборочной функции
- •1.7.3. Переналожение спектров
- •1.7.4. Теорема Котельникова в частотной области
- •2.1.2. Когерентная оптическая система
- •2.1.3. Частично когерентная оптическая система
- •2.1.4. Некогерентная оптическая система
- •2.2. Преобразование оптических сигналов слоем пространства
- •2.2.1. Принцип Гюйгенса-Френеля
- •2.2.2. Внешние линейные модели поведения слоя пространства
- •2.2.3. Френелевский слой пространства (Фr-сп)
- •2.2.4. Фраунгоферовский слой пространства
- •2.2.5. Геометрооптический слой пространства
- •2.3. Транспарантная модель поведения тонкого однолинзового объектива
- •2.3.1. Коэффициент пропускания и отражения в транспарантном представлении
- •2.3.2. ТрМ оптического модулирующего объекта
- •2.3.3. Комплексный амплитудный коэффициент пропускания тонкого однолинзового анаберрационного сферического объектива в приближении дос
- •2.3.4. Оптико-физический смысл тонкого однолинзового анаберационного объектива
- •2.4. Оптическая фурье-преобразующая система
- •2.4.1. Координатная ВнтрСм офпс с транспарантным входом
- •2.4.3. Координатная ВнтрСм офпс с линзовым входом
- •2.5. Когерентная оптическая изображающая система
- •2.5.1. ГрфМ иерархической структуры оос.
- •2.5.2. Пространственно-координатные мп когерентной оИзС в приближении дос.
- •2.5.3. SvM когерентной ОизС в приближении рос, КрпДос, адос и иос
- •2.5.4. Частотная лАнлтчМ когерентной пиоИзС
- •2.5.5. Модели поведения частично когерентной пиоИзС
- •2.6. Некогерентная оптическая изображающая система
- •2.6.1. SvM некогерентной оИзС
- •2.6.2. Частотная лАнлтчМ некогерентной пиоИзС
- •2.6.3.Свойства опф
- •2.6.4. Передача пространственных частот в некогерентной пиоИзС
- •2.6.5. Величина потока излучения в некогерентном изображении точечного источника
- •2.6.6. Модельные представления опф
- •2.6.6.1. Автоковариационная модель (аKvM) опф
- •2.6.6.2. Геометроаналитическая модель (ГмаМ) опф КрпДос
- •2.6.7. Аппроксимирующая см нкфр
- •2.7. Влияние монохроматических аберраций на передаточные функции оптической изображающей системы
- •2.7.1. Волновая аберрация
- •2.7.2. Связь между волновыми и геометрооптическими аберрациями
- •2.7.3. Влияние монохроматических аберраций на кпф
- •2.7.4. Влияние монохроматических аберраций на опф
- •2.7.5. Влияние функции зрачка на опф
- •2.7.6. Влияние волновой аберрации на опф
- •2.8. Голографическая изображающая система
- •2.8.1. ВнтрСм голографического процесса
- •2.8.1. ВнтрСм типа голограммы.
- •2.8.2. Пространственно-частотная ТрМ двумерной коголограммы.
- •2.8.4. Восстановление волнового фронта с помощью двумерной пропускающей амплитудной коголограммы
- •3.2. Пространственная передаточная функция маи
- •3.2.2. ЛАнлтМп маи и определение ппф
- •3.2.3. Определение ппф маи с плоской симметрией в декартовой системе координат
- •3.2.4. Ппф осесимметричного маи
- •3.2.5. Ппф осесимметричного маи с учетом угловой периодичности растра
- •3.3. Частотно-временной спектр потока излучения на выходе маи
- •3.3.1 Временной поток излучения на выходе маи (Шатоха)
- •3.3.2. Поступательное движение маи
- •3.3.2.1. Поступательное движение вдоль прямолинейной траектории
- •3.3.2.2. Линейное сканирование маи вдоль оси оX
- •3.3.3. Круговое сканирование маи
- •3.3.4. Вращательное сканирование маи вокруг собственной оси
- •3.3.4.1. Получастотный метод
- •3.3.4.2. Частотный метод
- •3.4. Преобразование оптического сигнала приемником излучения (Шатоха)
- •3.4.1. Энергетические характеристики чувствительности пи
- •3.4.2. Частотно-временные характеристики пи
- •3.4.3 Неоднородность чувствительности пи
- •3.4.4. Полная передаточная функция пи
- •3.4.5. Чвс на выходе пи. Квазимонохроматический поток
- •3.4.6. Чвс на выходе пи. Полихроматический поток
- •3.4.7. Полихроматическая пф КмпзцСист:
- •3.5. Преобразование сигнала электронным трактом
- •3.5.1. Дифференцирование и интегрирование сигналов
- •3.5.2. Нелинейное преобразование сигналов
- •3.5.3. Амплитудное детектирование
- •3.5.4. Частотное и фазовое детектирование
- •3.5.5. Примеры структурных схем электронного тракта оэс
- •3.5.6. Развертка и восстановление изображения
- •Глава 4 преобразование случайных сигналов в оптико и лазерно-электронных системах
- •4.1. Преобразование случайных сигналов
- •Линейными и нелинейными элементами
- •4.1.1. Постановка задачи
- •4.1.1.1. Корреляционный метод расчёта
- •4.1.1.2. Частотный метод расчёта
- •4.1.2. Преобразование случайного сигнала нелинейной системой
- •4.1.3. Преобразование плотности вероятности
- •4.1.4. Корреляционная функция и спектральная плотность на выходе нбэ
- •4.2. Преобразование случайного поля яркости оптической изображающей системой
- •4.2.1. Яркостные характеристики естественных фонов
- •4.2.1.1. Фоновые образования с протяжёнными резкими перепадами яркости
- •4.2.1.2. Спектральная плотность корреляционной функции случайного яркостного фонового поля
- •4.2.3. Преобразование фонового излучения оптической системой
- •4.2.3.2. Частотный метод расчёта
- •4.2.3.3. Частотный и Kr-методы расчёта для удалённого объекта
- •4.3. Преобразование случайного оптического сигнала маи
- •4.3.1. Преобразование фонового потока излучения неподвижным маи
- •4.3.1.2. Частотный метод расчёта
- •4.3.2. Преобразование фонового потока излучения подвижным маи
- •4.3.3. Поступательное движение маи
- •4.3.4. Вращательное сканирование маи вокруг собственной оси
- •4.4. Преобразование случайного оптического сигнала приёмником излучения и электронным трактом
- •4.4.1. Преобразование случайного сигнала пи
- •4.4.2. Преобразование случайного сигнала эт
- •4.5. Отношение сигнал/помеха на выходе линейной инвариантной во времени ОиЛзЭс
- •4.5.1. Постановка задачи
- •4.5.2. Определение осп на выходе линейной инвариантной оэс
- •4.5.3. Осп при линейном сканировании
- •Глава 5. Обнаружение оптических сигналов и измерение их параметров
- •5.1. Три варианта общей постановки задачи
- •(Назначение, цель, исходные данные)
- •5.1.1. Задача обнаружения оптического объекта
- •5.1.2. Задача измерения
- •5.1.3. Задача воспроизведения
- •5.1.4. Вывод
- •5.2. Вероятностные характеристики обнаружения
- •5.2.1. Априорные и апостериорные вероятности обнаружения
- •5.3. Критерии, лежащие в основе принятия решения системой (критерии обнаружения основаны на выборе )
- •5.3.1. Критерий максимума апостериорной условной вероятности,
- •5.3.2. Критерий минимального среднего риска (Критерий Кр 2° Байеса)
- •5.3.3. Критерий максимума правдоподобия (Кр 3°)
- •5.3.4. Критерий Неймана-Пирсона
- •5.4. Обнаружение методом однократного отсчёта
- •5.4.1. Постановка задачи
- •5.4.2. Описание метода однократного отсчёта
- •5.4.3. Недостатки метода однократного отсчёта
- •5.4.3.1. Метод непрерывного сравнения мгновенного значения
- •5.4.3.2. Определение значения в момент отсчёта
- •5.4.4. Вероятностные характеристики обнаружения в методе непрерывного сравнения мгновенных значений реализации с
- •5.4.4.1 Условная вероятность ложной тревоги
- •5.4.4.2 Условная вероятность пропуска объекта
- •5.4.5. Отношение сигнал/помеха. Рабочие характеристики ОиЛзЭс
- •5.4.5.1. Рабочие характеристики ОиЛзЭс обнаружения на основе Кр4º (Неймана-Пирсона)
- •5.4.5.2. Рабочие характеристики ОиЛзЭс обнаружения на основе Кр1º (Котельникова или максимума апостериорной вероятности) и Кр2º (Байеса или минимума среднего риска)
- •5.4.6. Расчет вероятности возникновения ложной тревоги
- •5.4.7. Рабочие характеристики обнаружения
- •5.5. Корреляционный метод обнаружения
- •5.5.0. Постановка задачи
- •5.5.1. Выборка конечного объёма
- •5.5.1.1. Первый алгоритм обнаружения
- •5.5.1.2. Второй алгоритм обнаружения
- •5.5.2. Выборка бесконечного объёма
- •5.5.3. Вероятностные характеристики обнаружения на основе корреляционного метода
- •5.5.4. Преимущества и недостатки Kr-метода
- •5.5.4.1. Преимущества Kr-метода
- •5.5.4.2. Недостатки Kr-метода
- •5.5.4. Практическая реализация корреляционного метода обнаружения
- •5.6. Обнаружение с использованием оптимальной фильтрации
- •5.6.1. Электронная система обнаружения на основе чвф
- •5.6.2. Оценка мгновенного значения осп на выходе чвф
- •5.6.3. Структурная схема оптимального чвф
- •5.6.3.1. Свойства оптимального чвф
- •5.6.3.2. Синтез структурной схемы оптимального чвф
- •5.6.4. Анализ оптимального отношения сигнал/помеха
- •5.6.5. Оптимальная фильтрация в оИзС
- •5.6.6. Трехмерный оптимальный пространственно-временной
- •5.6.7. Оптическая согласованная фильтрация в системе
- •5.7. Статистическая оценка измеряемых параметров сигнала
- •5.7.1. Задача измерения параметров сигнала при наличии помех
- •5.7.2. Нахождение
- •5.8. Функция потерь и эффективность правил оценки
- •5.8.1. Функция потерь как характеристика погрешностей измеренного параметра
- •5.8.2. Байесовская оценка измеряемого параметра
- •5.8.3. Эффективность байесовской оценки
- •5.8.3.2. Функция потерь, линейная по модулю
- •5.8.3.3. Квадратичная функция потерь
- •5.8.3.4. Прямоугольная функция потерь
- •5.8.4. Выводы
- •5.9. Оценка измеряемых сигнальных параметров при аддитивных помехах с нормальным распределением
- •5.9.1. Измерение произвольного параметра
- •5.9.2. ОиЛзЭс измерения амплитуды (пикового значения) сигнала
- •5.9.3. Статистические характеристики оптимальной оценки
- •5.9.3.1. Математическое ожидание случайной оптимальной оценки
- •5.9.3.2. Дисперсия случайной оптимальной оценки измеряемой амплитуды а
- •5.9.4. Аналогия между задачами обнаружения объекта
- •Глава 6. Методика и примеры светоэнергетического расчета оэс
- •6.1. Методика расчета оэс в режиме обнаружения
- •6.1.1. Требуемое , реализуемое осп
- •6.1.2. Энергетический расчет сканирующей оэс со строчно-кадровой разверткой
- •6.2. Расчет сканирующей оэс в режиме обнаружения
- •6.3. Расчет оэс измерения дефокусировки объективов
- •Последовательность расчета в случае амплитудного метода измерения продольной дефокусировки
- •Последовательность расчета в случае фазового метода измерения продольной дефокусировки
- •Последовательность расчета в случае амплитудного метода измерения продольной дефокусировки
- •Последовательность расчета в случае фазового метода измерения продольной дефокусировки
4.4.2. Преобразование случайного сигнала эт
Рассмотрим преобразование случайного стационарного сигнала линейной ИВЭС, на вход которой поступает случайный сигнал, заданный в виде спектральной плотности . Тогда спектр мощности случайного сигнала на выходе линейной ИВЭС в соответствии с зависимостью определяется как
Если происходит непрерывная модуляция случайного сигнала на входе системы, то гармонические составляющие мощности сигнала на входе и выходе связаны соотношением
Дисперсия случайного сигнала на выходе линейной ИВЭС определяется как
Преобразование случайных сигналов нелинейными безынерционными элементами изложено в п. 4.1.
При обработке сигналов в электронном тракте ОиЛзЭС часто проводятся операции дифференцирования и интегрирования сигнала. Рассмотрим дифференцирование и интегрирование стационарного случайного процесса.
Дифференцирование случайного процесса. Задан стационарный случайный процесс, обладающий эргодическим свойством, в виде спектра мощности или корреляционной функции . Требуется определить аналогичные характеристики для производной . Будем считать, что спектр мощности при убывает быстрее, чем , так что
Это условие выполняется для большинства практических задач, так как спектральная плотность формируется физической цепью, передаточная функция которой при убывает быстрее, чем , а квадрат модуля уменьшается соответственно быстрее, чем . Считая условие (4.63) выполнимым, рассмотрим преобразование случайного сигнала идеальной дифференцирующей цепью, ПФ которой , где - постоянная величина, имеющая размерность времени. Спектральная плотность случайного сигнала на выходе дифференцирующей цепи
Взяв обратное преобразование Фурье от (4.64), найдём корреляционную функцию на выходе идеальной дифференцирующей цепи
Дисперсия на выходе дифференцирующей цепи
Пример 4.2. Задана спектральная плотность случайного процесса на входе дифференцирующего звена
или
Необходимо найти , и на выходе дифференцирующей цепи. Определим корреляционную функцию
Дисперсия
Спектральная плотность и корреляционная функция случайного процесса на выходе дифференцирующего звена соответственно равны
Умножив числитель и знаменатель на и учитывая, что , приводим предыдущее выражение к виду
где При в (4.67) получается неопределённость типа . Применяя правило Лопиталя, получим Тогда
Графики нормированных функций , и , показаны на рис. 4.5, а, б; параметр . При этом видно, что дифференцирование приводит к ослаблению нижних частот исходного случайного процесса. Относительное возрастание высоких частот приводит к более чётко выраженной осцилляции корреляционной функции.
Рассмотрим прохождение случайного процесса через реальное дифференцирующее звено в виде RC-цепи. Квадрат модуля передаточной функции реального дифференцирующего звена
где
Спектр мощности на выходе дифференцирующего звена
График функции для показан на рис. 4.5, а штриховой линией. Корреляционная функция
Дисперсия
Результаты вычисления нормированной корреляционной функции приведены на рис. 4.5, б штриховой линией (для ). При цепь осуществляет дифференцирование случайного процесса, близкое к точному дифференцированию.
Интегрирование случайного процесса. Рассмотрим вначале прохождение стационарного случайного процесса через интегрирующую -цепь. Пусть на бесконечно большом промежутке времени, начиная от , на вход цепи поступает случайный процесс со спектральной плотностью и корреляционной функцией . Считая процесс на выходе установившимся, можно найти и . Квадрат модуля интегрирующей -цепи где . Спектральная плотность и корреляционная функция на выходе интегрирующей цепи соответственно будут
Рассмотрим два частных случая: и . В первом случае спектр мощности не содержит слагаемого с -функцией. Если положить, что случайный процесс на входе интегрирующей цепи представляет собой белый шум, т.е. , то корреляционная функция
а дисперсия
Во втором случае (при ) спектральная плотность , где – спектральная плотность белого шума; - математическое ожидание случайного процесса на входе.
Корреляционная функция и дисперсия на выходе интегрирующей цепи соответственно будут
Из приведённых соотношений видно, что в установившемся режиме процесс на выходе реальной интегрирующей цепи является стационарным, как и на входе.
При строгом интегрировании, которому соответствует нереализуемая передаточная функция , должно соблюдаться условие интегрируемости входного случайного процесса, которое принимает вид
Если условие дифференцируемости случайной функции (4.63) накладывало требование достаточно быстрого убывания при , то при интегрировании аналогичное требование относится к при .
Интегрирование стационарного случайного процесса с приводит к нестационарному процессу на выходе с неограниченно возрастающей дисперсией. Если , то математическое ожидание процесса на выходе также неограниченно возрастает.
Идеальное интегрирующее устройство можно рассматривать как фильтр с бесконечно малой полосой пропускания. Процесс установления в таком фильтре длится бесконечно долго. Поэтому статистические характеристики интеграла случайного процесса существенно зависят от пределов интегрирования, т.е. от длительности интегрирования.
Воздействие узкополосного шума на амплитудный детектор. Амплитудный детектор, состоящий из диода и фильтра нижних частот (см. рис. 3.30), представляет собой сочетание НБЭ с инерционной линейной цепью.
Рассмотрим две самостоятельные части указанного устройства: нелинейный элемент и фильтр нижних частот. Изложенные ранее методы позволяют, в принципе, найти плотность вероятности и корреляционную функцию шума сначала на выходе нелинейного элемента (диода), а затем и на выходе фильтра. В общем случае эти исследования требуют весьма громоздких вычислений. Задачу можно упростить, если учесть принцип работы реальных устройств.
Рассмотрим вначале «линейное» детектирование, т.е. детектирование высокочастотного колебания с достаточно большими амплитудами. Под такими колебаниями подразумеваются гауссовский шум, сформированный избирательными цепями на входе детектора. Как и при детектировании детерминированных амплитудно-модулированных, можно считать, что напряжение на выходе линейного детектора воспроизводит огибающую амплитуду высокочастотного колебания, в данном случае огибающую шума. Поэтому при линейном детектировании нет необходимости рассматривать отдельно статистические характеристики тока диода и напряжения на выходе -цепи. Напряжение , развиваемое на этой цепи, можно приравнять огибающей шума на входе детектора (т.е. считать, что коэффициент передачи детектора равен единице). При таком подходе статистические характеристики шума на выходе полностью совпадают с приведёнными в приложении 6 характеристиками огибающей . В соответствии с изложенным можно считать, что напряжение шума на выходе линейного детектора обладает рэлеевским распределением плотности вероятности
По формулам (П6.51), (П ) находим:
Математическое ожидание шумового напряжения
Средний квадрат напряжения
Отсюда получим дисперсию на выходе линейного детектора
Таким образом, основные параметры шума на выходе – постоянная составляющая и дисперсия - выражаются через дисперсию высокочастотного шума, действующего на входе детектора. Корреляционную функцию и спектр мощности выходного шума легко вычислить по формулам (П6.55) и (П6.56).
Пример 4.3. В качестве примера рассмотрим воздействие на линейный детектор шума , спектральная плотность которого определяется зависимостью
А корреляционная функция
С учётом (4.80)
и в соответствии с (П6.56)
Слагаемое с –функцией соответствует постоянной составляющей напряжения на выходе детектора.
График изображён на рис. 4.6, б. Ширина этого спектра в больше ширины спектра на входе детектора (рис. 4.6, а). Линейный амплитудный детектор воспроизводит огибающую узкополосного колебания независимо от особенностей её структуры. Полученный результат свидетельствует о том, что огибающая каждой из реализаций рассматриваемого шума (на входе детектора) обладает спектром более широким, чем частотная полоса самой реализации.
Рассмотрим воздействие гауссовского шума на квадратичный детектор. Напряжение на выходе детектора с учётом отфильтровывания высокочастотной составляющей шума по аналогии с (3.128)
где -коэффициент, учитывающий параметр вольт-амперной характеристики диода и сопротивление нагрузки на выходе детектора.
Применяя формулу (4.8), в которой под следует понимать плотность вероятности огибающей , находим закон распределения шумового напряжения на выходе квадратичного детектора
Таким образом, при воздействии на квадратичный детектор с фильтром нижних частот узкополосного гауссовского процесса шум на выходе всего устройства имеет экспоненциальное распределение. Найдём математическое ожидание выходного напряжения шума
Средний квадрат напряжения
Дисперсия шума на выходе
Для полного описания свойств шума на выходе квадратичного детектора остаётся вычислить его корреляционную функцию и спектр мощности.
При получим
Графики функций и по форме совпадают с графиками, показанными на рис. 4.6. Они отличаются только масшабом по оси ординат из-за различия при постоянных коэффициентах вместо перед квадратными скобками в (4.87) и единица вместо перед вторым слагаемым).
Совместное воздействие гармонического сигнала и нормального шума на амплитудный детектор.
При аддитивном воздействии сигнала и узкополосного шума суммарное колебание описывается формулой
Огибающая и фаза определяются выражениями:
При анализе воздействия колебания на амплитудный детектор статистические характеристики фазы можно не учитывать. Основное значение имеет плотность вероятности огибающей , определяемая по формуле [5]:
где – бесселева функция комплексного аргумента (модифицированная).
Определяемую формулой (4.91) функцию называют обобщённой функцией Релея. Графики функции для нескольких значений приведены на рис. 4.7. При (отсутствие сигнала) (4.91) переходит в (П6.50). В другом крайнем случае, когда амплитуда сигнала очень велика по сравнению с , кривая близка к гауссовой кривой с дисперсией и средним значением, равным .
Рассмотрим вначале линейное детектирование. Считаем, что напряжение на выходе детектора совпадает с огибающей амплитуд высокочастотного напряжения на входе. Тогда, основываясь на формуле (4.91), находим постоянную составляющую напряжения на выходе детектора
Средний квадрат напряжения
После вычисления интегралов [5] получим следующие выражения:
где
Из последнего выражения вытекает равенство
Ранее было показано, что в отсутствие сигнала постоянная составляющая шума на выходе линейного детектора равна
Приращение постоянной составляющей , где определяется зависимостью (4.92) и есть полезный сигнал.
Следовательно, отношение мощности сигнала к мощности помехи на выходе линейного детектора
Рассмотрим предельные случаи (слабый сигнал) и (сильный сигнал).
Для слабого сигнала имеем
Выражение (4.92) можно упростить:
При этом приращение постоянной составляющей
а дисперсия в соответствии с (4.93)
Таким образом,
где – постоянный коэффициент, близкий к единице.
Выражение (4.95) показывает, что в АД имеет место подавление слабого сигнала сильной помехой. Например, при
Рассмотренный вопрос имеет важное значение для проблемы обнаружения сигналов на фоне сильной помехи.
Для сильного сигнала имеем функции и можно определять выражениями
Зависимость (4.93) при указанных приближениях приводится к виду
При постоянная составляющая выходного напряжения почти совпадает с .
При вычислении дисперсии необходимо учитывать слагаемое в выражении
Таким образом,
и
ОСП на выходе
Проведём аналогичное рассмотрение для квадратичного детектирования. Заменяя в формуле (4.82) на , получим напряжение на выходе квадратичного детектора
Усредняя это выражение по времени и учитывая, что и (как и среднее значение ), получаем постоянную составляющую напряжения на выходе квадратичного детектора
Слагаемое определяет постоянную составляющую, обусловленную помехой в отсутствие сигналов. Слагаемое можно рассматривать как полезный сигнал на выходе детектора.
Возводя (4.97) в квадрат, получим
Слагаемое с и при осреднении обращается в ноль. Поэтому средняя мощность на выходе
Вычитая из этого выражения , находим дисперсию шума на выходе квадратичного детектора
При (4.100) переходит в (4.68). Найдём отношение сигнал–помеха (ОСП) на выходе детектора (по мощности)
– это отношение сигнал-помеха (по мощности) на входе детектора. Таким образом, при значении
а при больших значениях , т.е. при
На основании (4.101) можно сделать следующее заключение: при слабом (относительно помехи) сигнале в квадратичном детекторе имеет место подавление полезного сигнала, а при сильном сигнале ОСП пропорционально отношению сигнала к помехе на входе.
Сравнение (4.102) и (4.95) показывает, что при слабом сигнале и сильной помехе линейный и квадратичный детекторы ведут себя одинаково: ОСП на выходе пропорционально квадрату ОСП на входе.
При ОСП на выходе квадратичного детектора в 4 раза (по мощности) меньше, чем у линейного [зависимости (4.102) и (4.103)].
Проведённый анализ относится к гармоническому (немодулированному) сигналу. Наличие амплитудной модуляции сигнала, которую можно рассматривать как медленное изменение постоянной составляющей напряжения на выходе детектора, не оказывает существенного влияния на сравнительную оценку при квадратичном и линейном детектировании.
Следует отметить, что полученные результаты не зависят от соотношения между несущей частотой сигнала и мгновенной частотой помехи . Из этого следует, что наложение паразитной частотной или фазовой модуляции на сигнал (при постоянной амплитуде) не оказывает влияния на ОСП на выходе детектора.
Совместное воздействие гармонического сигнала и нормального шума на частотный детектор.
На рис. 4.8 показана структурная схема частотного детектора. Сигнал на входе амплитудного ограничителя представляет собой частотно – модулированное колебание
а помеха – гауссовский процесс со спектром мощности , равномерным в полосе пропускания фильтра промежуточной частоты.
Полосу пропускания этого фильтра можно приравнять удвоенной девиации частоты, т.е. . Фильтр нижних частот на выходе детектора должен обладать полосой пропускания от до , где – наивысшая частота модуляции. Помеху, действующую на входе ограничителя, запишем, как и ранее, в виде
.
При анализе совместного действия и на частотный детектор рассмотрим раздельно два режима:
при отсутствии полезной ЧМ, когда на входе детектора действует чисто гармоническое колебание и шум ;
при наличии ЧМ; при этом будем считать, что помеха на выходе детектора остаётся той же, что и в первом случае.
В отсутствие модуляции суммарное колебание на входе АО
где и определяют по формулам (4.89) и (4.90).
Обозначив порог АО , получим следующее выражение для колебания на выходе ограничителя, настроенного на частоту :
Напряжение на выходе частотного детектора, пропорциональное производной фазы , в отсутствие полезной модуляции является помехой. Таким образом,
где – крутизна характеристики частотного детектора. Интенсивность и структура помехи на выходе частотного детектора полностью определяется статистическими характеристиками производной фазы .
Общее выражение для фазы при любых соотношениях между и имеет вид (4.90). Однако в реальных условиях приёма ЧМ колебаний обеспечивается значительное превышение сигнала над помехой. Обычно , где – средняя мощность помехи на входе детектора. Поэтому (4.90) для фазы можно упростить:
Статистические характеристики случайной функции совпадают с характеристиками, полученными в приложении П6 для квадратурных слагаемых узкополосного процесса. Там показано, что функция обладает нормальным законом распределения и спектром . Таким образом,
При дифференцировании гауссовского случайного процесса распределение остаётся нормальным. Следовательно, , т.е. мгновенное значение частотного отклонения, также обладает нормальным распределением.
При помеха на выходе ЧД является нормальным процессом. Определим спектр мощности процесса . Для этого достаточно умножить на . Таким образом,
а спектр помехи на выходе частотного фильтра в соответствии с (4.107)
Корреляционная функция помехи на выходе (с полосой пропускания )
дисперсия, т.е. средняя мощность помехи,
Рассмотрим режим работы ЧД, при котором напряжение на выходе ЧД пропорционально девиации частоты. При тональной ЧМ
Мощность сигнала на выходе ЧД (без учёта влияния помехи) , а мощность помехи (без учёта модуляции) определяется выражением (4.113). Следовательно, ОСП на выходе ЧД
Пример 4.4. Пусть помеха на входе ЧД является белым шумом со спектральной плотностью Тогда интеграл в (4.115) равен , а выражение (4.115) можно привести к виду
Величина – мощность сигнала на входе, , т.е. мощность шума в двух полосах (одна в области , вторая в области ). Таким образом, окончательно
Увеличивая отношение , т.е. индекс угловой модуляции, можно получить выигрыш в отношении сигнал/помеха по сравнению с системами с АМ.
Следует подчеркнуть, что преимущества широкополосной частотной модуляции сохраняются, пока помеха на входе ЧД слабее сигнала и пока обеспечивается полное ограничение амплитуды колебания на входе детектора.