2.2.3. Френелевский слой пространства (Фr-сп)

Координатная ВншЛАлгртмМ СП (2.15) и ее сверточное представление в виде SvM в случае сверточного оператора поведения (2.16) лежат в основе скалярной теории дифракции. Однако на практике использование такого преобразующего дифракционного интегрального оператора оказывается не только затруднительным, но и в большинстве случаев просто ненужным. При определенных допущениях эти выражения можно существенно упростить. При этом рассматриваемые приближения тесно связаны с положением точки наблюдения и позволяют свести расчет дифракционного изображения к относительно несложным математическим выкладкам.

Для упрощения описания дифракционного изображения, формируемого когерентным СП, введем условия Френеля [3, 11, 28]:

а) толщина СП d _СП = z между областью расположения объекта и областью наблюдения D _нбл значительно превышает максимальный линейный размер области

D _обт (диаметр d_обт этой области)

;

б) максимальный линейный размер области наблюдения D _нбл (диаметр d_нбл) также много меньше толщины слоя d_СП = z (рис. 2.2)

.

При этих предположениях можно в (2.14) пренебречь величиной 1/kr по сравнению с единицей (z = r >> λ) и считать, что

, (2.26)

где , а расстояние r между точками Q и Р в знаменателе заменяется величиной z , так как . Учитывая, что cos18º ≈ 0,9511, при можно считать cos θ ≈ 1 с погрешностью не превышающей 5% . Наконец, ограничиваясь двумя членами в биномиальном разложении

(2.27)

для френелевского сверточного оператора из (2.16) получим

(2.28)

где (2.29)

представляет собой френелевскую КгрФР для СП в приближении дифракции Френеля, т.е. френелевского СП, или Фr-СП, совпадающую с двумерной функцией Френеля [28]. Выражение (2.28), называемое преобразованием Френеля, лежит в основе SvM френелевского СП, которая на основании (2.15) имеет вид

(2.30)

Таким образом, распределение комплексной амплитуды поля в виде (2.28) задает френелевское дифракционное изображение, описываемое взаимной сверткой входного поля с френелевской КгрФР. Так как функция Френеля соответствует параксиальному приближению расходящейся сферической волны с амплитудой , то на оптико-физическом языке дифракцию Френеля называют также дифракцией сферических волн.

На практике часто для свёртки (2.28) используют равносильное альтернативное представление преобразования Френеля в виде

(2.31)

Откуда

(2.32)

т. е. френелевское дифракционное изображение пропорционально фурье-образу произведения входного сигнала с комплексной амплитудой расходящейся сферической волны для частот .

Пространственно-частотную ВншЛАнлтчМ френелевского СП как ПЧФ по аналогии с (2.17) можно представить в виде

(2.33)

Мультипликативный оператор описывает поведение френелевского ПЧФ

(2.34)

где френелевская КПФ (КПФ френелевского СП)

(2.35)

Первый экспоненциальный множитель в (2.35) определяет набег фазы, который приобретает каждая плоская волна в спектре при распространении между плоскостями ху и х'у'. Второй экспоненциальный множитель описывает квадратичную фазовую дисперсию френелевского ПЧФ.

Нижнюю границу френелевского СП в рамках пространственно-координатной SvM (2.30) можно найти, если, исходя из критерия Релея, который является частным случаем сформулированных выше двух основных френелевских допущений, считать, что при замене выражения (2.26) приближением (2.29) максимальная ошибка в вычислении расстояния r при квадратичной аппроксимации фазового сдвига не превосходит λ /10. Тогда с учетом (2.27)

Откуда . Величина d_U представляет собой максимальный линейный размер области D_U (диаметр этой области), являющейся объединением областей D_обт и D _нбл. Геометрически область D_U можно найти, если спроектировать область D_обт в плоскость х'у' (рис. 2.3). Тогда окончательно выражение для нижней границы френелевского СП имеет вид

(2.36)

Соответственно угловой размер области D_U имеет вид

(2.36')

Пример 2.1. При d_U = 4 мм и λ = 0,5 мкм величина мм, а при d_U = 32 мм возрастает до м.

Однако следует учитывать, что при очень большом расстоянии z выражение (2.35) для френелевcкой КПФ оказывается несправедливым. Это обусловлено тем, что условие (2.36) учитывает только переход от общей дифракционной координатной ВншЛАлгртмМ (2.15) к френелевcкой SvM (2.30). В то же время замена общего выражения (2.17) для частотной ВншЛАнлтМ СП френелевским ПЧФ (2.33) определяет верхнюю границу френелевского СП. Тогда квадратичное приближение для КПФ СП найдём, разлагая квадратный корень в (2.18) в ряд по биному, так что

. (2.37) Ограничиваясь первыми двумя членами, получим

(2.38)

Сопоставляя (2.35) с (2.38), видим, что является квадратичным приближением для . Согласно критерию Релея максимальная ошибка при аппроксимации фазовой дисперсии не должна превышать 2π/10, так что с учетом (2.37)

,

откуда .

Вводя в рассмотрение пространственный период как размер наиболее мелкой неоднородности объекта ( - наибольшая пространственная частота в ПЧС входного оптического сигнала), для верхней границы френелевского ПЧФ имеем

(2.39)

Откуда угловой размер мелкой неоднородности

(2.39')

Пример 2.2. При δ = 0,01 мм ( мм ^-1) и λ = 0,5 мкм величина мм, а при

δ = 0,04 мм ( мм ^-1) возрастает до м.

Таким образом, совместное выполнение условий (2.36) и (2.39)

задает область расположения точки наблюдения Q, при котором одновременно справедливы координатная SvM (2.30) и частотная ЛАнлтчМ (2.33), описывающие пространственно-координатное и пространственно-частотное поведение френелевского СП. Если области (2.36) и (2.39) не перекрываются, то на определенном расстоянии z справедлива либо координатная, либо частотная френелевская МП.