5.9. Оценка измеряемых сигнальных параметров при аддитивных помехах с нормальным распределением
5.9.1. Измерение произвольного параметра
по критерию максимума правдоподобия (Кр3º)
Конкретизируя
постановку задачи, будем считать, что
входная реализация
представляет собой сумму нормально
распределенной помехи, имеющей нулевое
математическое ожидание, с полезным
сигналом
,
форма которого и все параметры, кроме
α,
известны, так что
. ()
Предположим
также, что оптимизация оценки осуществляется
по критерию
максимума
правдоподобия
(Кр 3°).
В этом случае значение функции
правдоподобия
,
т.е. максимально, так что
.
Критерий
3º – это
частный случай критерия
максимума апостериорной вероятности
(Кр1º). В
рамках Кр3º
=
1, которое получается из
для Кр
1° (см.
5.16´, стр. 289) при
.
В результате Кр3º
позволяет также минимизировать число
ошибочных решений, но этот минимум
оказывается наибольшим из всех других
минимумов, получаемых с помощью Кр1º.
Поэтому Кр3º
называется также минимаксным
критерием.
Последнее
означает, что для решения задачи входная
реализация
должна быть
обработана так, чтобы получить отношение
правдоподобия
как функцию измеряемого параметра α.
На основе анализа на экстремум функции
измерительная ОиЛзЭС должна определить
значение
,
при котором эта функция
достигает верхней грани.
При
помехе с нормальным распределением
отношение правдоподобия
также является гауссовой функцией.
Поэтому для упрощения измерительной
ОиЛзЭС целесообразно вместо функции
использовать
.
В самом деле, в силу монотонности
логарифма экстремальное исследование
функций
и
приводит к одинаковому результату.
Расчет
при объеме выборки
в общем случае нестационарной помехи
выполняют на основании (5.57, стр. 315), так
что
,
(5.82)
где
-
решение линейного интегрального
уравнения
(5.83)
с
ядром
в виде корреляционной функции помехи.
В соответствии с (5.82) структурно-функциональная схема измерительной ОиЛзЭС представлена на рис. 5.21 (с. 340а). Входная реализация (напряжение с выхода ПИ) обрабатывается в m каналах, в каждом из которых последовательно производится:
1)
умножение
на функцию
(j
= 1, 2, …, m);
2)
интегрирование произведения
;
3)
суммирование полученного результата
с величиной
.
При этом m
значений
поступают в решающее устройство (РУ),
где сравниваются между собой. Чем ближе
значение
в j-м
канале к истинному значению
параметра сигнала в реализации
,
тем больше величина
.
Поэтому выходом
РУ является значение
того из каналов, в котором значение
максимально. Соответствующая величина
и принимается за оптимальную оценку
измеряемого параметра по критерию
максимума правдоподобия (Кр3º).
Сравнение функциональных схем измерительной ОиЛзЭС (рис. 5.21) и корреляционной ОиЛзЭС обнаружения, работающей в условиях случайной фазы сигнала (рис. 5.12, стр. 314а), показывает, что они функционально близки между собой. В обоих случаях качество работы ОиЛзЭС улучшается с увеличением числа каналов. Причем требуемое число каналов при заданном качестве, определяемом вероятностными характеристиками обнаружения или точностью измерений, зависит от диапазона изменения неизвестного параметра .