5.7.2. Нахождение

Формула для совместной плотности вероятности аналогична по структуре выражению (5.2) для вероятности совместного появления двух событий:

. (*)

Откуда , (**)

где - полная априорная плотность вероятности измеряемого параметра ; - полная априорная плотность вероятности получения реализации ; - найденная на эксперименте условная апостериорная плотность вероятности получения реализации при условии, что измеряемый параметр имеет значение . При этом , рассматриваемая как функция , называется функцией правдоподобия (см. п. 5.2, стр. 284) и имеет два значения и .

1) В случае дискретной обработки входной реализации плотности вероятности и являются N-мерными плотностями, где N – объем выборки. 2) При непрерывной обработке эти плотности вероятности бесконечномерны и могут рассматриваться как пределы N-мерных плотностей при N → ∞.

Аналогично характер функции зависит от вида априорного распределения измеряемого параметра . Поскольку

, (5.69')

где - область возможных значений параметра . Далее (5.69') с учетом (**) можно представить в виде

, (***)

Откуда . (5.70)

Подставляя (5.70) в формулу (**), получим

. (****)

Таким образом, для нахождения искомой апостериорной условной плотности вероятности измеряемого параметра необходимо знать 1) априорную плотность и 2) с помощью принятой реализации найти функцию .

1) Как и при решении задач обнаружения, априорная информация может отсутствовать. Тогда в отношении функции должна быть принята некоторая гипотеза, которая соответствует наихудшим условиям измерений и гарантирует получение более качественных результатов при всех других видах априорного распределения. Иначе говоря, при оценке неизвестных параметров сигналов так же, как и при обнаружении сигналов может применяться Кр 3° максимума правдоподобия, или минимаксный критерий. В этом случае не требуется знания априорной вероятности .

2) Что касается функции правдоподобия , то её определение представляет серьезные трудности. Выходом является переход к отношению правдоподобия. Поскольку

, (5.71)

то подставляя из (5.71) = в (****), получим

=

(5.72)

В результате для получения искомой апостериорной условной плотности вероятности измеряемого параметра достаточно извлечь из принятой реализации отношение правдоподобия, т. е. вначале решения в режиме обнаружения и оценки параметров сигнала с этой точки зрения совпадают. Однако в дальнейшем процессы формирования решения различны. В ОиЛзЭС обнаружения отношение правдоподобия сравнивается с его пороговым значением (п. 5.2).

В измерительной ОиЛзЭС использующей, например, правило оценки по Кр 1° максимума апостериорной условной вероятности, необходимо, используя (5.72), найти функцию и получить значение параметра , которому соответствует верхняя грань этой функции (рис. 5.16).

При решении задачи измерения параметров сигналов, помимо Кр 1° максимума апостериорной условной вероятности, используются и другие критерии, сходные с критериями обнаружения. Однако прежде чем перейти к описанию правил формирования оценок, рассмотрим общие положения по анализу эффективности этих правил.