5.5.3. Вероятностные характеристики обнаружения на основе корреляционного метода

Перейдем к определению вероятностей и . Для этого сначала найдем величину при наличии и отсутствии полезного сигнала в реализации s(t).

В отсутствии сигнала s(t) = П(t), а поэтому из (*)

где -значение случайной величины

При наличии сигнала s(t) = c(t) + П(t), следовательно,

. (5.52)

С помощью (1) и (2) найдем условные вероятности и , так что

Из (1) . (3)

С учетом (5.52) из (2) ,

или . (4)

Таким образом, для нахождения и необходимо знать закон распределения и числовые характеристики случайной величины .

Поскольку сигнал c(t) неслучаен, то закон распределения случайной величины , являющейся суммой бесконечного числа произведений неслучайной величины на случайную и нормально распределенную величину , также является нормальным. Следовательно, для описания плотности вероятности величины достаточно знать её математическое ожидание и дисперсию. При этом

так как для белого шума . Это означает, что случайная величина является центрированной случайной величиной. Поэтому для дисперсии имеем

Величина , т.е. среднее от произведения , есть не что иное, как корреляционная функция помехи , которая для белого шума

. (5)

Поэтому

В формуле (5.53) можно ввести обозначение

, (5.53')

где . (5.53'')

Теперь найдем из (3)

где - плотность распределения вероятности нормальной случайной величины с нулевым МО.

Произведя замену переменных ( ), с учетом (5.51'), (5.53) и (5.53') получим

(5.54)

Для нахождения имеем из (4)

С учетом (5.51) и (5.53) найдем окончательно

. (5.55)

Из сравнения (5.54) с (5.26) и (5.55) с (5.29) видно, что при обработке входной реализации корреляционным способом ОСП на входе ПУ при обнаружении сигнала на фоне белого шума равно отношению энергии сигнала к спектральной плотности корреляционной функции шума

. (5.56)

5.5.4. Преимущества и недостатки Kr-метода

5.5.4.1. Преимущества Kr-метода

Если сопоставить корреляционный метод обнаружения с методом однократного отсчета при действии на входе прибора помехи типа белого шума, то преимущество Kr-метода выявить достаточно просто.

Если входная реализация s(t) до ПУ 1) не подвергается никакой обработке или 2) пропускается через звенья структурной схемы, обладающие бесконечно большой полосой пропускания (что соответствует методу однократного отсчета), то помеха на входе ПУ также является белым шумом. Дисперсия такой помехи равна бесконечности . Следовательно, в соответствии с (5.28) ОСП на входе ПУ даже при сколь угодно большом полезном сигнале равно нулю и обнаружение методом однократного отсчета невозможно, так как на основании (5.31) . При корреляционном методе (см. (5.53'') или (5.56)) и ОСП тем больше, чем значительней энергия принимаемого сигнала.