2.7.2. Связь между волновыми и геометрооптическими аберрациями
Найдем уравнение
луча (рис. 2.11), идущего из точки
на поверхности реальной волны Т''
в произвольную точку
.
Идеальная волновая поверхность Т'
представляет
собой сферу радиуса
центром в точке
Реальная волновая
поверхность Т''
отличается от сферы сравнения Т'
на
величину волновой аберрации
,
так что
Уравнение луча QQ' задается уравнением нормали к реальной волновой поверхности Т ", проходящей через точки Q и Q':
где производные
вычисляются в фиксированной точке
на волновой поверхности. Отсюда,
пренебрегая величиной
по сравнению с
(на практике
не превышает нескольких длин волн),
получим
(2.172)
Координаты точки
в плоскости гауссова изображения z'
= 0 (рис. 2.11) задают поперечные
геометрооптические аберрации. Из (2.172)
при
(2.173)
Величина
является
составляющей поперечной аберрации в
меридиональной плоскости, а величина
-
составляющей поперечной аберрации в
сагиттальной плоскости.
Выражая
через
в квадратичном приближении, получим
Погрешность замены
при угловом поле оптической системы в
пространстве изображений
не превышает 1 %. Тогда (2.173) примет вид
Пусть плоскость
наблюдения
смещена относительно плоскости гауссова
изображения на величину z'.
Так как обычно
,
то произведение
на соответствующую частную производную
будет величиной более высокого порядка
малости по сравнению с этой производной.
Тогда для координат
точки
луча
из (2.172) имеем
(2.174)
Точка пересечения
главного луча
с плоскостью z'=
const
имеет координату
.
Соответствующие составляющие поперечной
аберрации в меридиональной и сагиттальной
плоскостях равны
(2.175)
Если
,
то выражения (2.174) и (2.175) имеют вид
(2.176)
При переходе к полярным координатам имеем
Тогда выражения (2.173) для составляющих поперечной геометрооптической аберрации в плоскости гауссова изображения примут вид
Если волновая
аберрационная функция обладает осевой
симметрией
,
то семейство лучей, для которых
,
пересекает плоскость гауссова изображения
по окружности радиуса
при
(2.177)
Величина
является
поперечной аберрацией, соответствующей
сферической аберрации и продольной
дефокусировке. Хотя они могут присутствовать
во всех точках линейного поля в
пространстве изображений, их принято
рассматривать для точки на оси
.
В этом случае
,
полагая в (2.176)
,
о учетом (2.177) можно найти величину
продольной аберрации для
(2.178)
2.7.3. Влияние монохроматических аберраций на кпф
В
приближении АДОС или РОС аберрации ОС
приводят к отклонению формы реального
волнового фронта от сферической. В
рамках ТрМ (2.92) аберрационные свойства
реального объектива задаются комплексным
амплитудным коэффициентом пропускания
апертурно ограниченного фазово-модулирующего
транспаранта, устанавливаемого в
выходном зрачке. При этом считается,
что сферическая расходящаяся волна Т
(рис.
2.11), падающая на входной зрачок,
преобразуется объективом в сходящуюся
сферическую волну Т
'
в выходном зрачке, а все деформации,
присущие реальному волновому фронту
Т'',
обусловлены фиктивным фазовым
транспарантом, вносящим фазовый сдвиг
Выражения (2.121) и
(2.123) показывают, что КПФ РОС и АДОС
полностью определяются аберрационной
функцией зрачка. Несущественное различие
между РОС и АДОС исчезает при переходе
(пример 2.5) к нормированным пространственным
частотам
.
При этом задание
в нормированных координатах
(при
)
обусловливает получение КПФ в нормированных
частотах:
Область пространственных частот, пропускаемых двумерным линейным КПЧФ (2.120) в приближении РОС и АДОС, определяется областью ненулевых значений модуля КПФ
т. е. областью финитности функции зрачка, и совпадает с областью пропускания КПЧФ в приближении КрпДОС и ДОС. Таким образом, частотная область пропускания не зависит от наличия аберраций, ибо аберрации вносят лишь фазовые искажения внутри частотной области пропускания. Поэтому при переходе к нормированным частотам существенно различными ОС оказываются только ДОС и АДОС. Первая учитывает дифракционные искажения апертурно ограниченного объектива, а вторая дополнительно описывает аберрационные искажения, возникающие при формировании изображения. При этом поведение КрпДОС и РОС тождественно соответственно поведению ДОС и АДОС.
Если
объектив обладает поглощением, то
внутри зрачка, так что наличие поглощения
обусловливает различное пропускание
в пределах рабочего диапазона частот.
Хотя поглощение можно считать тривиальной
аберрацией, изменяющей модуль КПФ,
однако более правильно говорить о ДОС
с поглощением, у которой КПФ для ряда
пространственных частот меньше единицы.
Пример 2.13. Рассмотрим два цилиндрических объектива с поглощением, для которых функции зрачка имеют вид
Соответствующие КПФ, приведенные на рис. 2.22, можно представить в виде
(2.179)
(2.180)