2.7.6. Влияние волновой аберрации на опф

Дана функция зрачка цилиндрического объектива, равна тождественно единице внутри зрачка, так что

Волновую аберрационную функцию зададим в виде степенной функции в нормированных координатах в виде

(2.182)

где . Тогда КПФ, определяемая аберрационной функцией зрачка, имеет вид

(2.183)

при этом . Для определения типа аберрации необходимо сравнить (2.182) с выражением (2.142), в котором ψ = 0, а  заменяется на .

Подставляя (2.183) в (2.181) с учетом Л _зр = 2 для ОПФ при имеем

Пределы интегрирования верны для . По определению автоковариационного интеграла (2.184) ОПФ отлична от нуля для и равна тождественно нулю вне этого интервала (см. рис. 2.24_0). В дальнейшем это условие специально не оговаривается.

Поперечная Δу' и продольная Δs' геометрооптические аберрации для лучей, расположенных в меридиональной плоскости, на основании (2.173) и (2.178) с учетом (2.182) принимают вид

(2.185)

(2.186)

Исследуем поведение ОПФ для ряда значений m в (2.182).

Пример 2.16. Пусть . Соответственно ОПФ

Из (2.185) поперечная аберрация Δу' = 0, т. е. все лучи сходятся в одной точке. Таким образом, коэффициент а₀, совпадающий с А₀ в (2.171), определяет постоянный фазовый сдвиг в выходном зрачке =ka₀, что соответствует выбору различных сфер сравнения радиуса (р' - а₀). Такая ОПФ фактически описывает поведение ДОС.

Пример 2.17. Пусть . Как следует из (2.171), такой вид волновой аберрационной функции соответствует поперечной дефокусировке и дисторсии . В этом случае из (2.184)

так что МПФ и ФЧХ, приведенные на рис. 2.24а, имеют вид

На основании (2.185) поперечная геометрооптическая аберрация при а₁ = const [мм] обусловливает постоянное смещение НКФР вдоль оси y. Поэтому с учётом (2.173) все лучи сходятся теперь не в точке' , а в точке с координатой в гауссовой плоскости. Соответствующий фазовый сдвиг , линейный по частоте, эквивалентен наличию оптического клина в выходном зрачке и задает одинаковое смещение всех пространственно-частотных гармоник

Таким образом, линейная волновая аберрация при а₁ = const приводит к наклону идеального волнового фронта и не влияет на передачу контраста гармоник, а лишь обусловливает смещение изображения объекта в целом.

В случае поперечной дефокусировки смещение точек изображения и отдельных гармоник прямо пропорционально (рис.2.11), т. е. сопровождается растяжением изображения. По модулю  линейное увеличение становится другим, однако по полю оптической системы от точки к точке  не изменяется. Наличие дисторсии вызывает смещение пространственно-частотных гармоник, пропорциональное , что обусловливает изменение по полю линейного увеличения.

Пример 2.18. Пусть . В соответствии с (2.171) при такое представление волновой аберрации приводит к продольной дефокусировке ², при этом из (2.184) для ОПФ имеем   . Для поперечной и продольной геометрооптической аберрации с учётом (2.185) и (2.186) соответственно получим

Так как величина не зависит от , то все лучи сходятся на оптической оси в точке с координатой (рис. 2.11). Таким образом, квадратичный фазовый сдвиг соответствует продольной дефокусировке , т. е. смещению плоскости наблюдения относительно гауссовой плоскости на величину . ОПФ показана на рис. 2.24б. При этом видно, что контраст изображения начинает уменьшаться, когда величина волновой аберрации на краю зрачка а₂ превышает (аберрационный критерий Релея). Исходя из критерия Релея, допуск на продольную дефокусировку равен . При ОПФ быстро спадает до нуля (первый нуль ОПФ при ) для сравнительно низких пространственных частот, для которых . Тогда приближенное выражение для ОПФ

совпадает с одномерной ОПФ (см. пример 2.8) ДОС с геометрооптической НКФР, которая имеет вид прямоугольника (одномерного цилиндра). Пространственно-частотные гармоники в спектре объекта, соответствующие отрицательным значениям ОПФ, претерпевают обращение контраста.

Пример 2.19. Пусть. Из сравнения с (2.171) следует, что такой вид волновой аберрации соответствует коме . После ряда преобразований для ОПФ из (2.184) получим

где - интегралы Френеля;

Ha основании (2.185) поперечная геометрооптическая аберрация . Квадратичная зависимость от  приводит к тому, что все лучи уже не могут собраться в одной точке. Графики и для коэффициента приведены на рис. 2.24в. Наличие комы обусловливает падение контраста и нелинейное возрастание фазового сдвига с увеличением пространственной частоты.

Пример 2.20. . Как следует из (2.171), такой вид волновой аберрационной функции соответствует сферической аберрации третьего порядка . Из (2.184) получим интегральное представление для ОПФ, не выражающееся в квадратурах:

Поперечная и продольная геометрооптические аберрации из (2.185) и (2.186) соответственно равны

и показывают, что лучи не собираются в одной точке. Оценку влияния сферической абберации на ОПФ удобно проводить совместно с учетом продольной дефокусировки :

Выражая коэффициенты а₂ и а₄ соответственно через продольную дефокусировку и максимальную сферическую аберрацию , получим

Параметр задает положение плоскости наблюдения. При она совпадает с плоскостью гауссова изображения, а при плоскость наблюдения соответствует плоскости фокусировки крайних лучей. Графики для при различных значениях параметра показаны на рис. 2.24г. АДОС, у которой плоскость наблюдения расположена посредине между гауссовой плоскостью и плоскостью фокусировки крайних лучей , имеет ОПФ, близкую к ОПФ ДОС, в виде .