5.4.6. Расчет вероятности возникновения ложной тревоги
на заданном отрезке времени
Для
расчета вероятности
возникновения ложной тревоги на заданном
отрезке времени
необходимо знать закон распределения
числа выбросов, превышающих уровень
срабатывания. В общем случае задача
нахождения такого закона распределения
весьма сложна. Однако при обнаружении
уровень
с целью уменьшения вероятности ложной
тревоги выбирают достаточно высоким.
Обычно он не меньше среднеквадратического
значения помехи на входе порогового
устройства. В этом случае [21-23] распределение
числа выбросов, превышающих уровень
срабатывания ПУ, можно считать
подчиняющимся закону редких явлений
(закону Пуассона). Вероятность появления
m
выбросов на интервале
определяется формулой
Вероятность того, что за время не появится ни одного выброса, превышающего уровень
.
Вероятность появления хотя бы одного выброса, т.е. вероятность ложной тревоги на интервале времени , определяют по формуле
.
(5.43)
С учетом (5.38) и (5.41) получим
.
(5.44)
5.4.7. Рабочие характеристики обнаружения
при использовании критерия Неймана-Пирсона
Критерий
Неймана-Пирсона может применяться в
двух вариантах. В первом из них он
базируется на использовании
и
,
а во втором – на
использовании
и
.
Порог обнаружения в первом варианте может быть найден из совместного решения (5.37) и (5.25) с учетом (5.19) и (5.41):
,
а рабочая характеристика обнаружения описывается выражением (5.38), которое с учетом (5.19) и (5.41) может быть преобразовано к виду
.
(5.45)
Для второго варианта значение определяется из (5.37) и (5.43):
,
а рабочая характеристика обнаружения определяется выражением (5.44), которое преобразуем к виду
.
(5.46)
Полученные
зависимости показывают, что построение
рабочих характеристик ОиЛзЭС обнаружения
при использовании критерия Неймана–Пирсона
возможно лишь после определения значения
на входе ПУ. Для расчета порога
должна быть известна дисперсия помехи,
т.е. в обоих случаях необходим расчет
энергетического ЧВС помехи на входе
ПУ.
Однако
несмотря на то, что расчет требуемого
ОСП на базе использования только заданных
значений
,
или
,
и
невозможен, представляет интерес
установить влияние
и
на характеристики обнаружения. На рис.
5.9 показаны графики вида
при
и
,
т.е. рабочие характеристики обнаружения
для первого варианта критерия
Неймана-Пирсона.
Графики рассчитаны по формуле (5.45) для
двух значений ОСП
и
и двух значений
:
(сплошная линия) и
(штриховая линия). Нетрудно видеть, что
с ростом
и уменьшением
вероятность правильного обнаружения
(при заданном значении
)
и средний интервал между ложными
тревогами (при заданном значении
)
увеличиваются. Следовательно, для
улучшения обеих вероятностных
характеристик необходимо добиваться
максимально возможного увеличения ОСП
при максимально возможном снижении
частоты
помехи на входе ПУ. Иными словами, следует
всегда стремиться к максимально
возможному подавлению высокочастотных
гармоник помехи, не снижая при этом ОСП.
Решение задачи встречает серьезные
затруднения. Для эффективного подавления
фоновых помех и собственного шума ПИ
(которые имеют наибольшую интенсивность
на низких частотах) и получения тем
самым высокого значения
полосу пропускания всей системы в целом
приходиться сдвигать в высокочастотную
область, что увеличивает
.
На рис.
5.10 показаны рабочие характеристики
ОиЛзЭС обнаружения
для второго варианта критерия
Неймана-Пирсона. Они имеют вид зависимостей
,
рассчитанных по формуле (5.53)
при
и
.
Анализ графиков показывает, что и в этом
варианте увеличение ОСП улучшает обе
вероятностные характеристики обнаружения.
К этому же приводит и уменьшение
произведения
.
Поскольку время
работы системы дано в техническом
задании, то следует стремиться к
уменьшению
без снижения
.