5.4.5. Отношение сигнал/помеха. Рабочие характеристики ОиЛзЭс

в режиме обнаружения

Выражения (5.27) – (5.33), определяющие вероятностные характеристики ОиЛзЭС обнаружения, получены применительно к случаю обнаружения методом однократного отсчета. Однако, как показано в дальнейшем, они справедливы не только для этого метода, а имеют более общий характер. Поэтому прежде чем перейти к другим методам обнаружения, проведем анализ полученных выражений с позиций их практического использования в энергетическом расчете ОиЛзЭС.

Начнем с формулы (5.28), которая определяет ОСП , равное отношению квадрата максимального значения полезного сигнала к дисперсии помехи. Эта величина, называемая отношением сигнал/помеха (ОСП), играет важнейшую роль при решении задачи обнаружения. Причем практическое использование этого понятия всегда требует конкретизации, т.е. указания конкретно ПЭ структурной схемы ОиЛзЭС, к которой относится величина . Выражения (5.27) – (5.33), в которых относится ко входу ПУ, показывают, что полученное ОСП непосредственно влияет на все основные вероятностные характеристики обнаружения.

5.4.5.1. Рабочие характеристики ОиЛзЭс обнаружения на основе Кр4º (Неймана-Пирсона)

Используя зависимости (5.27), (5.30) и (5.31), можно ответить на вопрос (п. 5.2) о нахождении порогового отношения правдоподобия, соответствующего критерию Неймана-Пирсона. Поскольку этот критерий базируется на вероятностях и (или ), которые для энергетического расчета должны быть заданы, то (5.27) и (5.31) или (5.27) и (5.30) следует рассматривать как систему уравнений с двумя неизвестными и . Исключая, например из уравнений (5.27) и (5.31) величину , получим формулу для вычисления :

, (5.34)

где – обратная функция Лапласа, т.е. аргумент функции Лапласа при значении самой функции, равном .

Полученная формула подтверждает высказанное ранее положение о том, что пороговое отношение правдоподобия по критерию Неймана-Пирсона не зависит от априорных вероятностей и коэффициентов потерь и определяется только значениями условных вероятностей ложной тревоги и правильного обнаружения.

Если из (5.27) и (5.31) исключить , то можно получить

. (5.35)

Зависимости при (рис. 5.5), построенные на основе (5.35), называют рабочими характеристиками ОиЛзЭС обнаружения, работающей на основе критерия Неймана–Пирсона. Их анализ показывает, что при любом постоянном значении вероятность правильного обнаружения тем больше, чем значительней . И наоборот, при любом постоянном вероятность ложной тревоги с увеличением уменьшается. Иными словами, чем выше ОСП на входе ПУ, тем лучше вероятностные характеристики обнаружения.

5.4.5.2. Рабочие характеристики ОиЛзЭс обнаружения на основе Кр1º (Котельникова или максимума апостериорной вероятности) и Кр2º (Байеса или минимума среднего риска)

Рабочие характеристики ОиЛзЭС, работающей на основе критерия Котельникова или критерия Байеса, имеют вид или . Они рассчитаны по формулам (5.32) при и (5.33) при (рис. 5.6 и 5.7). При этом видно, что с ростом значения и уменьшаются.

Таким образом, при использовании любого из рассмотренных критериев увеличение ОСП, реализуемого на входе ПУ, дает положительный эффект. Это подтверждает не только исключительную важность параметра и необходимость принятия мер к увеличению реализуемого ОСП при решении задачи обнаружения, но и целесообразность установления уровня срабатывания ПУ по максимальному значению полезного сигнала, что и сделано при выводе формулы (5.25).

Рабочие характеристики обнаружения позволяют при заданных техническим заданием значениях , и найти требуемое значение ОСП . При использовании критерия Неймана-Пирсона требуемое значение может быть найдено также непосредственно из (5.35), если считать вероятности и заданными, так что

. (5.36)

К сожалению, получить аналогичные формулы для критериев Котельникова и Байеса не удается, так как (5.32) и (5.33) нельзя разрешить относительно .

Из рис. 5.6 и 5.7 видно, что при заданных или наибольшее требуемое значение ОСП соответствует случаю, когда . Это подтверждает высказанное в п. 5.2 положение о том, что критерий максимума правдоподобия ( ), по существу, является минимаксмым критерием в рамках критерия Котельникова. А правило решения с порогом является минимаксным вариантом правила по критерию Байеса.

Расчет среднего числа ложных тревог в единицу времени. Основным недостатком критерия Неймана-Пирсона является применение условной вероятности ложной тревоги , которая не всегда может быть использована для оценки качества системы обнаружения. Для перехода к видоизмененному критерию Неймана-Пирсона необходимо установление связи между средним числом ложных тревог в единицу времени (или средним интервалом между ложными тревогами) и порогом обнаружения.

Ложная тревога возникает тогда, когда при отсутствии полезного сигнала выброс одномерной реализации s(t) превысит уровень срабатывания ПУ. Определим выброс как участок реализации, на котором кривая непрерывно идет выше уровня (рис. 5.8). Для такого выброса характерно наличие одного пересечения уровня с положительным наклоном кривой (в начале выброса) и одного – с отрицательным наклоном (в конце выброса).

В отсутствии полезного сигнала в реализации содержится только помеха, т.е. s(t) = П(t). Следовательно, для нахождения среднего числа ложных тревог в единицу времени необходимо определить математическое ожидание числа выбросов случайной помехи в единицу времени или, что то же самое, найти математическое ожидание числа пересечений в единицу времени реализацией s(t) = П(t) прямой при одном знаке (например, положительном) производной (t) = (t) в момент времени пересечения .

Возможность решить эту задачу даёт теория выбросов случайных процессов. Если помеха на входе ПУ представляет собой стационарный нормальный процесс с нулевым средним и дисперсией , то для определения среднего числа ложных тревог в единицу времени (средней частоты ложных тревог) можно воспользоваться формулой [42]

, (5.37)

где – вторая производная корреляционной функции помехи на входе ПУ, взятая при .

Совместное решение (5.37) и (5.29) позволяет получить связь между и :

. (5.38)

Анализ этого выражения позволяет сделать следующие выводы.

1. Отношение зависит от условий работы ОиЛзЭС и характеристик её ПЭ от входа до ПУ. Поэтому нахождение требуемого ОСП на входе ПУ заранее невозможно. Как следствие, отсюда вытекает некоторое отличие методики расчета ОЭС, использующих видоизмененный критерий Неймана–Пирсона.

2. Отношение можно выразить через энергетический ЧВС помехи. Поскольку корреляционная функция помехи

, то (5.39)

,

. (5.40)

Имея в виду, что , из (5.38) и (5.40) можно получить

. (5.41)

Таким образом, отношение имеет размерность частоты и характеризует собой среднеквадратическое значение частоты флуктуаций помехи.

3. В техническом задании вместо может быть дан средний интервал между ложными тревогами. Для этого случая из (5.38), (5.19) и (5.41) с учётом (5.9) имеем

. (5.42)