5.1.2. Задача измерения

Во втором варианте постановки задачи объект поиска обнаружен и необходимо получить определенную информацию о его состоянии, местоположении, параметрах движения и т.д. Эта информация может быть извлечена из поступающей на вход прибора смеси полезного сигнала с помехой за счет специальной обработки этой смеси, фильтрации полезного сигнала и измерения тех его параметров, которые содержат интересующую нас информацию. Поскольку любая реально осуществляемая фильтрация не позволяет полностью устранить помеху, то каждое измерение носит статистический характер и результат измерения представляет собой оценку в виде случайной величины значения измеряемого параметра, производимую с некоторой допустимой погрешностью. В результате второй вариант постановки задачи сводится к задаче измерения неизвестных параметров сигналов на фоне помех, т.е. к проектированию измерительных ОиЛзЭС.

5.1.3. Задача воспроизведения

Третье направление относится к ОиЛзЭС, формирующим оптическое изображение, например к системам тепловизионного типа или ЛзСВдн. Характерной особенностью работы этих систем является отсутствие фоновых помех. Полезный сигнал, имеющий в общем случае случайный характер, формируется за счет излучения всех элементов пространства предметов, находящихся в пределах углового поля ОиЛзЭС. Источником помехи являются только внутриприборные шумы. Задача ОиЛзЭС состоит в восстановлении и воспроизведении полезного сигнала в наиболее «чистом » виде.

5.1.4. Вывод

Для достижения качественных результатов решение трёх рассмотренных задач сопровождается обработкой поступающего на вход ОиЛзЭС оптического сигнала. Она, как правило, связана с определенным улучшением соотношения между полезным сигналом и помехой и поэтому во всех случаях носит название фильтрации полезного сигнала. В этом проявляется общность функционирования ОиЛзЭС различного назначения. И тем не менее различие конечных целей вносит существенные особенности в структуру используемых фильтров, вызывает необходимость применения разных критериев оценки получаемых результатов.

5.2. Вероятностные характеристики обнаружения

5.2.1. Априорные и апостериорные вероятности обнаружения

Задачей любой ОиЛзЭС в режиме обнаружения является выдача решений о наличии или отсутствии объекта поиска в поле зрения системы. Источником информации, используемой для принятия решения, служит яркостное поле в пространстве предметов. В общем случае поле имеет полихроматический спектр излучения и случайное пространственное распределение яркости , зависящее от времени.

За счёт сканирования (в сканирующих ОиЛзЭС) или с помощью МАИ (в следящих ОиЛзЭС) излучение элементов предметного пространства, находящихся в поле зрения (поле обзора) системы, преобразуется в одномерную реализацию случайного процесса. Пусть s(t) – реализация случайного сигнала  = c(t) + П^сл(t)= {s(t) = c(t) + П(t)}. Такая реализация s(t), изображенная на рис. 5.1, представляет собой в простейшем случае некоторую сумму полезного сигнала c(t) и реализации П(t) фоновой помехи, так что

s(t) = c(t) + П(t). (5.1)

В общем случае реализация s(t) представляет собой некоторую комбинацию полезного сигнала с фоновой помехой (если объект поиска находится в пределах поля зрения ОиЛзЭС), либо является результатом действия одной фоновой помехи (если объекта в поле зрения нет). В обоих случаях она служит единственным «сырьем» для принятия требуемого решения и поэтому представляет исключительный интерес.

В дальнейшем обозначим вероятность наличия полезного сигнала c(t) в реализации s(t) через , а вероятность его отсутствия . Эти вероятности называют апостериорными условными вероятностями наличия и отсутствия полезного сигнала в реализации. Апостериорными вероятности называют потому, что их можно определить только после опыта, т.е. после получения и анализа реализации s(t). Условными, вероятности называют потому, что они соответствуют условию получения конкретной реализации s(t). Если вид реализации изменится, то изменятся и значения и . С нахождения этих апостериорных вероятностей обнаружения и начинается решение задачи обнаружения.

Формулы для определения вероятностей и можно найти, если воспользоваться известным выражением для вероятности совместного появления двух событий А и В

, (5.2)

где и – вероятности появления одного события А или В; и – условные вероятности появления события В или А при условии, что второе событие (А или В) уже имело место. Если в нашем случае считать, что событие заключается в получении реализации , а событие в наличии полезного сигнала c(t), то

, (5.2)

откуда . (5.3)

Аналогично при (если считать, что событие заключается в отсутствии сигнала c(t)) имеем , (5.2)

так что . (5.4)

Величины и определяют полные априорные вероятности наличия и отсутствия полезного сигнала, т.е. априорные вероятности наличия или отсутствия объекта в поле зрения ОиЛзЭС, а величина – полную априорную вероятность получения реализации s.

В свою очередь и задают апостериорные условные вероятности появления конкретной реализации s при условии наличия и отсутствия сигнала и идентифицируют два значения функции правдоподобия (см. рис. 5.1_1). Иначе говоря, они показывают насколько правдоподобна реализация s.

Так как в задаче обнаружения оба события « » и « » являются противоположными (т.е. несовместимыми и образующими полную группу событий), то справедливы следующие равенства

,

. (5.5)

Разделив (5.3) на (5.4) с учетом (5.5) получим

. (5.6)

Величину называют абсолютным, или обобщённым, отношением правдоподобия. Она важна в теории обнаружения, которая базируется на теории статистических решений обнаружения. Поскольку из (5.6) следует

, (5.7)

то можно сделать вывод, что абсолютное отношение правдоподобия полностью определяет вероятность наличия (а следовательно и отсутствия) сигнала в реализации s(t). И если бы, например, анализ реализации показал, что >1, то на основании (5.7) >0,5, так что с учетом (5.5)

. (5.7´)

Таким образом, было бы установлено, что , т.е. вероятность присутствия полезного сигнала в реализации больше, чем вероятность его отсутствия, и тем более обоснованным было бы принятие решения «Да» (объект поиска находится в поле зрения ОиЛзЭС), чем альтернативное решение «Нет». К сожалению, та же формула (5.6) показывает, что для определения необходимо не только извлечь из анализа полученной реализации отношение

, (5.8).

т.е. найти вероятности и , но и знать априорные значения и , что на практике не всегда возможно.

Величину  из формулы (5.8), равную отношению ординат функции правдоподобия (см. рис. 5.1_1), называют отношением правдоподобия. Она играет основную роль в теории обнаружения и, что самое главное, при определенных условиях может быть найдена на основании анализа полученной реализации s в рамках определенного метода обнаружения. Для этого достаточно располагать определенными сведениями о полезном сигнале c(t) и помехе П(t).

5.2.2. Апостериорные условные вероятности правильных и ошибочных решений

Эти вероятности оценивают качество конкретного метода обнаружения с помощью рабочих характеристик.

Решение о наличии сигнала может быть правильным или ошибочным. Это осуществляется с помощью соответствующих вероятностей, приведённых в Таблице 1. Из неё следует, что принятие любого решения всегда сопровождается ошибками. Иначе говоря, работа ОиЛзЭС в неопределенной ситуации (объект может находиться в поле зрения, а может и не находиться) при воздействии случайных помех сопровождается ошибками, имеющими вероятностный характер и в той или иной степени характеризующими качество работы системы в режиме обнаружения.

В режиме обнаружения в рамках определенного метода возможны ошибки двух типов. Первая, называемая ложной тревогой, возникает тогда, когда при отсутствии объекта в поле зрения прибор выдает решение «Да». Вторая – соответствует случаю, когда при наличии объекта в поле зрения прибор выдает решение «Нет». Такая ошибка называется пропуском объекта (сигнала).

Обозначим событие, заключающееся в выдаче ОиЛзЭС решения «Да», через , а событие, заключающееся в выдаче решения «Нет», – через . Тогда вероятности появления ошибок первого и второго типов можно обозначить как и . Вероятность , т.е. вероятность принятия решения «Да» при условии отсутствия объекта обнаружения в поле зрения, называют условной апостериорной вероятностью ложной тревоги.

Вероятность , т.е. вероятность принятия решения «Нет» при условии присутствия объекта в поле зрения, называют условной апостериорной вероятностью пропуска объекта.

Учитывая, что принципиально возможны лишь два взаимоисключающих решения и , имеем

,

.

Откуда можно получить

, (5.9)

. (5.10)

Величину , т.е. вероятность принятия решения «Да» при условии, что объект находится в поле зрения ОиЛзЭС, называют условной апостериорной вероятностью правильного обнаружения. Величину , т.е. вероятность принятия решения «Нет» при условии, что объект в поле зрения отсутствует, называют условной апостериорной вероятности правильного необнаружения.

Чем меньше значения (т.е. чем большие значения и ), которые характеризуют работу системы обнаружения, тем выше ее качество. В математической статистике величину называют уровнем значимости, а величину – мощностью решения.

Используя понятие условных вероятностей и априорных вероятностей и , можно получить:

безусловные (абсолютные) вероятности правильных и ошибочных решений

1) ,

2) , (5.10)

3) ,

4) ,

а также безусловную вероятность появления любой ошибки вне зависимости от её характера

. (5.11)

Безусловные вероятности характеризуют (в среднем) частоты появления соответствующих правильных и ошибочных решений в длинной последовательности принятия решений. Вероятность ошибки любого рода определяет (в среднем) суммарную частоту ошибочных решений, т.е. является более общей вероятностной характеристикой системы обнаружения.

Существует еще одна более универсальная характеристика системы обнаружения – так называемый средний риск . Найти его можно следующим образом. При отсутствии объекта в поле зрения ОиЛзЭС полезный сигнал с = 0. В результате возможны два решения и и соответственно два результата: ложная тревога (ЛТ) и правильное необнаружение (необн), характеризующиеся условными вероятностями и . Вполне закономерно считать, что за ошибку ложной тревоги придется «расплачиваться» и учесть это положительным коэффициентом («платой» за ошибку) . Положительные последствия правильного необнаружения (т.е. некоторый «выигрыш») можно оценить неположительным коэффициентом (неположительной «платой») , так как риск уменьшается. Величину

, (5.12)

в теории статистических решений называют условным средним риском, соответствующим отсутствию объекта в поле зрения.

Рассуждая аналогичным образом, можно получить условный средний риск, соответствующий наличию объекта в поле зрения

, (5.13)

где – положительный коэффициент, характеризующий «плату» за ошибку пропуска объекта; – неположительный коэффициент, характеризующий «выигрыш», полученный при правильном обнаружении.

Сумму условных рисков, взвешенных с априорными вероятностями и появления соответствующих событий, называют безусловным средним риском

. (5.14)

Подставляя в (5.14) и из (5.12) и (5.13) и учитывая (5.9) и (5.10), получим

. (5.15)

Очевидно, что из нескольких систем обнаружения лучше та, которая обеспечивает наименьший средний риск .

Нетрудно видеть, что при и , формула (5.15) переходит в (5.11), т.е. средний риск в этом случае равен безусловной вероятности появления ошибки любого рода.

Оценка системы обнаружения по среднему риску на практике сопряжена с определенными трудностями, связанными с необходимостью априорного знания величины или и всех коэффициентов , хотя некоторые общие соотношения очевидны. Ложная тревога как правило связана с лишними затратами времени, физической и нервной энергии, материальных средств. Пропуск объекта при использовании системы обнаружения, например в условиях боевых действий может повлечь за собой большие человеческие потери и значительный материальный ущерб. Однако как эти общие соображения трансформировать в систему оптимально взвешенных между собой коэффициентов? Эта задача может быть решена лишь применительно к конкретным условиям работы системы с использованием: накопленного опыта, интуиции и здравого смысла.