2.4.3. Координатная ВнтрСм офпс с линзовым входом

Пусть транспарант расположен после однолинзового ФПО на расстоянии d от задней фокальной плоскости (рис. 2.8). Если ФПО освещается нормально падающей плоской волной , то говорят об ОФПС с линзовым входом, в которой транспарант освещается сходящейся сферической волной , формируемой объективом. Отличие ВнтрСМ ОФПС с линзовым входом (рис. 2.9), состоящей из таких же четырех ПЭ (ФПО, два СП и транспарант), что и ОФПС с транспарантным входом, заключается в изменении структурной связности между ПЭ и переходе к геометрооптической модели поведения (ГмоМ) КСП с помощью формально заданного преобразующего оператора . При этом структурная связность по аналогии с (2.65) также определяется отношением , арности четыре, но с измененным порядком ПЭ в упорядоченной четверке элементов:

= {ФПО, геометрооптический КСП, Тр, частотный СП}.

Идентификация поведения в рамках ВнтрСМ ОФПС с линзовым входом осуществляется с помощью четырех формально заданных операторов

(2.79)

Для ФПО, объекта-транспаранта и френелевского ЧСП описание функционально преобразующей связности между сигналами проводится в рамках введенных выше МП. В частности, из (2.70) для распределения комплексной амплитуды сходящейся сферической волны после ФПО имеем

(2.80)

Поведение КСП между ФПО и транспарантом рассматривается в параксиальном приближении при условии, что он формирует геометрооптическое теневое изображение выходного зрачка, заданного в области D_зр, при освещении Тр сходящейся сферической волной (2.80). Тогда на основании рис. 2.8 преобразующие свойства геометрооптического КСП идентифицируются соотношениями

(2.81)

(2.82)

где -безразмерный относительный радиус кривизны сходящейся сферической волны, освещающей Тр. Выражение (2.81) показывает, что, во-первых, в соответствии с ГмоМ СП (2.48), как и при освещении плоской волной, распределение комплексной амплитуды A(d) в плоскости ху приобретает дополнительный фазовый набег в КСП толщиной ƒ'-d, а, во-вторых, модуль a ( d ) = а₀ /z( d ) с учетом (1.38) возрастает обратно пропорционально относительному радиусу кривизны z ( d ) = d / ƒ' сферической волны, приведенному к фокусному расстоянию. Но из (2.82) следует, что конечный размер освещенной области D_тр на транспаранте и координаты х,у этой области уменьшаются прямо пропорционально относительному радиусу кривизны (расстоянию d от фокальной плоскости до транспаранта).

2.4.4. F-МП ОФПС с линзовым входом

Переходя в (2.80) к плоскости xy (рис.2.8) с учётом (2.81) и (2.82), получим

(2.83)

где -эффективная функция зрачка, приведенная к плоскости транспаранта и задающая конечные размеры освещенной области D_тp. Геометрооптический оператор поведения является обобщением (2.47) при переходе от освещения геометрооптического СП плоской волной к освещению сходящейся сферической волной. Как следует из (2.83), совместное поведение объектива P_обв и координатного СП толщиной f '-d идентифицируется с помощью (см. (2.55)), которая описывает поведение композиционного фокусирующего СП, состоящего из этих двух ПЭ, с помощью комплексного коэффициента передачи

Модуль коэффициента передачи f '/d, больший единицы, задает поверхностную плотность комплексной амплитуды на сфере радиуса z (d ) и выражает закон сохранения энергии в рамках ГмоМ КСП при фокусировке сферической волны [см. (1.35)]:

Далее, с учетом (2.79), применяя к выражению (2.83) сначала (2.68) для описания поведения объекта-транспаранта, а затем (2.71) для задания преобразующих свойств ЧСП толщиной d, получим выражение для преобразованного сигнала в задней фокальной плоскости ОФПС с линзовым входом

Свертку раскроем по аналогии с (2.72), используя (2.31) и (2.32). В результате влияние квадратичной модуляции композиционного СП устраняется квадратичным фазовым сдвигом френелевского ЧСП:

Переходя к пространственным частотам , имеем аналог (2.73)

(2.84)

Где -обобщение в (2.73).

Таким образом,

(2.85)

Явный вид оператора поведения (2.84) и (2.85), содержащего F-оператор, завершает построение ЛАлгртмМ в виде F-МП ОФПС с линзовым входом:

(2.86)

которая описывает формирование дифракционного фурье-изобра-жения транспаранта с учетом влияния эффективной функции зрачка. Специфика задания сигнала на входе транспаранта в виде (2.83) приводит к тому, что после преобразования выходного сигнала в ЧСП результирующий оператор описывает поведение собственно ОФПС. Из (2.84) следует, что с точностью до амплитудно-фазового множителя совпадает с фурье-оператором F, который применяется к эффективному амплитудному коэффициенту пропускания части транспаранта, определяемой в геометрооптическом приближении проекцией выходного зрачка. Это означает [см. (2.85)], что на частотном языке с точностью до множителя определяется сверткой ПЧС транспаранта с фурье-образом эффективной функции зрачка.

Если максимальный размер транспаранта меньше диаметра освещаемой области, то , так что из (2.84) и (2.85)

(2.87)

Таким образом, в F-МП ОФПС о линзовым входом (2.86) при условии (2.87), не учитывающем влияние конечных размеров ФПО, с точностью до множителя совпадает о фурье-оператором F, который применяется непосредственно к комплексному амплитудному коэффициенту пропускания транспаранта.

При d = f`' коэффициенты С₅ и С₁ совпадают, так что выражения (2.84) и (2.87) переходят соответственно в (2.76) и (2.77), которые получены для транспаранта, расположенного вплотную к ФПО и освещаемого плоской волной. Это находится в полном соответствии с приближением ТрМ, в рамках которой операторы коммутируют между собой, в силу коммутативности произведения . В то же время произвольное расположение транспаранта за ФПО (рис. 2.8) позволяет изменять масштаб ПЧС, что часто бывает удобно на практике. При возрастании d линейные размеры ПЧС , формируемого в плоскости , увеличиваются до тех пор, пока транспарант не окажется вплотную к ФПО. При уменьшении d размеры ПЧС уменьшаются. Это возможно, до тех пор, пока толщина ЧСП , т. е. не меньше минимальной толщины френелевского СП [см. (2.36)], определяемой в рамках SvM (2.30).

В заключение следует сказать об ОФПС с транспарантным входом при освещении расходящейся сферической волной, ВнтрСМ которой совпадает с ВнтрСМ ОФПС при освещении плоской волной. В F-МП такой ОФПС входной сигнал представляет собой комплексную амплитуду расходящейся сферической волны, а толщина ЧСП становится равной , так что дифракционное фурье-изображение формируется в плоскости геометрооптического изображения освещающего точечного источника. В случае плоской освещающей волны . В результате такой характер освещения приводит к дополнительным фазовым искажениям фурье-изображения и увеличению габаритов ОФПС, как с транспарантным так и с линзовым входом.