2.4.1. Координатная ВнтрСм офпс с транспарантным входом

Пусть транспарант, расположенный на входе ОФПС (рис. 2.6), освещается плоской нормально падающей волной А₀, т. е. освещающий точечный источник располагается в бесконечно удаленной точке. Тогда дифракционное фурье-изображение формируется в задней фокальной плоскости ФПО. ВнтрСМ ОФПС с транспарантным входом в виде (1.7) (рис. 2.7) является развитием ВнтрСМ ООС (рис. 2.1) и задает структурную связность четырех ПЭ отношением , арности четыре, путем последовательного перечисления элементов в порядке их функционирования, так что

{(Тр, координатный СП, ФПО, частотный СП)}. (2.65)

В отличие от (2.1) множество B из четырех ПЭ содержит объект-транспарант (Тр), который рассматривается как дополнительный ПЭ.

Переход от ВншСМ ОФПС к ВнтрСМ собственно ОФПС заключается в идентификации ее поведения с помощью композиции трех формально заданных преобразующих операторов, так что по аналогии с (2.3) получим

. (2.66)

Тогда ВнтрСМ обобщенный ОФПС, включающей в себя объект-транспарант, описывается формально заданным оператором

(2.67)

В то же время поведенческая связность между сигналами определяется явным видом преобразующих операторов и задается МП ПЭ, которые применяются при анализе ОФПС. В частности, входной сигнал s (x, y) вычисляется в рамках (2.55), так что с учетом (2.54)

(2.68)

Транспарант располагается перед СП входных сигналов, поведение которого характеризуется пространственно-координатной SvM френелевского СП в виде (2.30). SvM описывает формирование промежуточного френелевского дифракционного изображения в СП толщины ˝-а˝ в координатном представлении. Поэтому такой френелевский СП в рамках ВнтрСМ ОФПС называют френелевским координатным СП (КСП); его преобразующее поведение описывается выражением

(2.69)

Поведение ФПО рассматривается в рамках (2.56), так что с учетом (2.62) преобразованный сигнал имеет вид

(2.70)

Френелевский СП преобразованных сигналов толщиной ƒ' формирует результирующее дифракционное фурье-изображение . При этом распределение комплексной амплитуды поля оказывается удобным рассматривать в зависимости от пространственных частот линейно связанных с пространственными координатами в задней фокальной плоскости ФПО. Поэтому такой СП в рамках ВнтрСМ ОФПС называют френелевским частотным СП (ЧСП); его поведение описывается пространственно-координатной сверткой

(2.71)

2.4.2. F-МП ОФПС с транспарантным входом

Подставляя (2.68) - (2.71) в (2.67), получим выражение, описывающее координатное поведение ОФПС при освещении транспаранта плоской волной:

(2.72)

Используя (2.70), раскроем вторую свертку с учетом (2.31) и (2.32), в которых координаты ху заменим на ξη, координаты х'у' на х'_F у'_F, а z на ƒ'. При этом влияние квадратичной фазовой модуляции ФПО устраняется квадратичным фазовым множетелем френелевского ЧСП:

Отождествляя заднюю фокальную плоскость с частотной плоскостью получим

где

Учитывая связь фурье-образов произведения и свёртки (см. П.4.5 и П.4.6) имеем

(2.73)

Если можно пренебречь влиянием конечных размеров объектива, т.е. P_зр(ξ,η) ≡ 1 и , то (2.73) с учётом (2.29) и (2.35) примет вид

(2.74)

где

Таким образом, построена ВншЛМП (1.42) в виде частотной ЛАлгртмМ (см. п. 1.6) ОФПС с транспарантным входом

(2.75)

в котором оператор поведения (2.73) или (2.74) включает в себя фурье-оператор . Частный случай (2.75) частотной ЛАлгртмМ называют F-МП ОФПС с транспарантным входом. Он отображает два способа получения выходного сигнала A_F , содержащего ПЧС транспаранта.

В первом выражении (2.73), описывающем формирование дифракционного фурье-изображения транспаранта, используют в виде (2.62), учитывающем функцию зрачка. При этом оператор собственно ОФПС с точностью до амплитудно-фазового множителя определяется сверткой ПЧС , преобразованного КСП как френелевским ПЧФ, с фурье-образом функции зрачка.

Bo-втором, упрощенном выражении (2.74) в виде (2.63), так что оператор поведения с точностью до множителя уже совпадает с фурье-оператором. Соответствующая F-МП (2.75) в явном виде описывает дифракционную реализацию оптического фурье-преобразования. Иначе говоря, распределение комплексной амплитуды поля в задней фокальной плоскости ФПО, рассматриваемой как частотная плоскость, пропорционально ПЧС . Каждой пространственной частоте соответствует определенное направление дифракции на объекте-транспаранте (направляющие косинусы с осями и равны соответственно . В результате ОФПС осуществляет преобразование координатного пространства дифракционных направлений в пространстве частотных координат (Прил. 3).

Множитель в (2.74), характеризующий фазовое отличие преобразованного сигнала А_F от ПЧС, обусловливает фазовую модуляцию, которая эквивалентна фазовому преобразованию, осуществляемому положительным ( |а| > ƒ', т.е. ( а + ƒ' ) < 0) или отрицательным ( |а| < ƒ', т.е. ( а + ƒ' ) > 0) объективом. Для устранения этого фазового искривления в плоскости может быть установлен корригирующий отрицательный (ƒ'_крг < 0 ) или положительный (ƒ'_крг > 0 ) объектив с фокусным расстоянием .

Однако влияние фазовой модуляции автоматически устраняется при анализе распределения интенсивности

Иначе говоря, глаз или другой ПИ регистрирует с точностью до постоянного амплитудного множителя квадрат модуля ПЧС.

На практике для уменьшения габаритов ОФПС транспарант располагается вплотную к ФПО (-а = 0 на рис. 2.6). Тогда функция Френеля КСП нулевой толщины, описывающая поведение точечного источника на транспаранте, совпадает с δ-функцией, так что . В результате (2.73) и (2.74) для F-МП (2.75) принимают более простой вид

(2.76)

(2.77)

Выражение (2.76) показывает, что при расположении транспаранта вплотную к ФПО , оператор с точностью до множителя С₁ совпадает с фурье-оператором F, который действует на эффективный амплитудный коэффициент пропускания части транспаранта, определяемой в геометрооптическом приближении проекцией на Тр входного зрачка. Иначе говоря, дифракционное фурье-изображение пропорционально двумерному ПЧС , равному свертке ПЧС транспаранта с фурье-образом функции зрачка. Если максимальный размер транспаранта меньше диаметра входного зрачка, то , так что (2.76) трансформируется к виду (2.77), где .

В особом частном случае при из (2.74) получим выражение, описывающее оператор поведения идеальной ОФПС:

(2.78)

где

Следовательно, при расположении транспаранта в передней фокальной плоскости ФПО фазовое искривление в задней фокальной плоскости отсутствует. Таким образом, если по-прежнему не учитывать влияние конечных размеров ФПО, то оператор теперь уже отличается от фурье-оператора F только постоянным амплитудно-фазовым множителем С₄ и в явном виде описывает дифракционную реализацию преобразования Фурье. В итоге F-МП (2.75) при G = {-f, f '} с учетом (2.78) представляет собой частотную ЛАлгртмМ идеальной ОФПС, которую широко используют в теоретическом фурье-анализе оптических сигналов (рис. П.2).