1.7. Дискретно-выборочное представление сигналов с финитным спектром

При анализе ППС в ОиЛзЭС часто встречаются сигналы s (х, у), ПЧС которых отличен от нуля в ограниченной (финитной) области. Такой сигнал, называемый сигналом с финитным спектром, можно точно восстановить по некоторым его выборочным значениям, взятым в дискретной совокупности точек плоскости ху. Геометрически это означает, что если задать внутри финитной области вполне определенное число точек, аппликаты которых изображают дискретные значения сигнала с финитным спектром, то непрерывная поверхность, представляющая собой график функции s (х, у), может быть проведена единственным образом [7, 11, 22, 23]. В основе дискретного представления сигналов лежит теорема Котельникова, которая устанавливает дискретно-выборочную линейную и связность сигналов с финитным спектром.

1.7.1. Теорема Котельникова (Уиттекера-Шеннона)

Теорема Котельникова утверждает, что оптический сигнал s (х, у) с финитным ПЧС можно восстановить без потери информации. Доказательство теоремы проведем для частного случая, когда ПЧС отличен от нуля в прямоугольной области . В этом случае сигнал можно с любой степенью точности представить в виде дискретной суммы значений (отсчетов), взятых через конечные промежутки , . Эту теорему называют также теоремой о дискретном представлении, или теоремой отсчетов, или теоремой выборки.

Пусть задан финитный ПЧС (рис. 1.7а)

Далее введем в рассмотрение выборочную функцию

(1.61)

фурье-образ которой равен двумерной бесконечной периодической сумме (рис. 1.7б) дискретно смещенных финитных спектров исходного сигнала , так что

. (1.62)

Тогда исходный финитный ПЧС на рис. 1.7а можно представить в виде произведения фурье-образа выборочной функции (1.62) и двумерного прямоугольного импульса

. (1.63)

В результате обратного преобразования Фурье из (1.63) с учетом (1.62) найдем

F ^-1 F ^-1

F ^-1

Откуда после несложных преобразований (прил. 3) имеем

Переставляя местами двойной интеграл и двойную сумму, с уче­том фильтрующего свойства -функции (прил. 5) получим окончательное выражение для ряда Котельникова

(1.64)

где .

Выражение (1.64) представляет сигнал с финитным ПЧС в виде бесконечной двойной суммы sinc-образных базисных типовых сигналов дискретно-выборочной линейной связности. Иначе говоря, для восстановления сигнала s (x, у) необходимо вычислить бесконечную двойную сумму в виде линейной комбинации сигналов с амплитудой из совокупности выборочных значений. Дискретно-выборочная связность сигналов осуществляется в результате последовательного сдвига функций в точки . Базисный типовой сигнал в теории информации называют интерполяционной функцией, или функцией отсчетов. График ряда Котельникова для одномерного сигнала s (x, 0) приведен на рис. 1.8.

Для одномерного временного сигнала s (t) с финитным спектром, отличным от нуля на интервале , ряд Котельникова имеет вид

.

При этом для восстановления сигнала s (t) в каждой точке выборки строится интерполяционная функция с амплитудой .

Строго говоря, сигналов с финитным спектром не существует. Однако для большинства реальных сигналов спектральная плотность на высоких частотах ничтожно мала. Поэтому большая часть энергии сигнала локализована в ограниченной частотной области, а сам сигнал хорошо аппроксимируется функцией с финитным спектром. Погрешность, возникающая при отбрасывании высших частотных гармоник, пренебрежимо мала.