1.6.3. Координатная интегральная ВншАлгтмМ линейной ос

В соот­ветствии с (1.41) произвольную ОС называют линейной (ЛОС), если ее поведение описывается линейным оператором P_ЛОС , который линейную комбинацию входных оптических сигналов переводит в линейную комбинацию выходных оптических сигналов. Так как ОС является пространственно линейной системой, а оптические сигналы, по крайней мере, двумерны, то выходной сигнал в любой точке плоскости наблюдения в зависимости от степени когерентности излучения (п. 2.1) равен линейной комбинации амплитуд, взаимных интенсивностей или интенсивностей от всех источников в плоскости объекта.

Двумерный оптический сигнал, поступающий на вход ЛОС, удобно представить в виде непрерывной суммы точечных источников. Тогда, применяя определение линейности к непрерывной линейной комбинации базисных входных типовых δ-сигналов (1.43), получим общее выражение для линейного оператора поведения P_ЛОС в виде интеграла суперпозиции, рассматриваемого в произ­вольной плоскости наблюдения (рис. 1.6):

(1.44)

Обозначим отклик ЛОС на базисный входной типовой δ-сигнал

(1.45)

Он представляет собой дифракционно-аберрационное изображение точечного источника , локализованного в точке предметной плоскости . Так как его вид показывает, как рассеивается (размывается) изображение точки, то функцию называют функцией рассеяния точечного источника в произвольной плоскости наблюдения.

Если функция рассеяния рассматривается в плоскости геометрооптического изображения линейной оптической изображающей системы (ЛОИзС), имеющей линейное увеличение , то она обозначается

(1.46)

Для спектральных оптических систем вводится отклик, характеризующий размытие монохроматического источника , который называют аппаратной функцией

Таким образом, с учетом (1.45) и (1.46) интеграл суперпозиции (1.44) описывает поведение как произвольной ЛОС, так и ЛОИзС в виде

(1.47)

(1.48)

Тогда ВншЛМП (1.42) при наличии интегральных алгоритмов поведения (1.47) и (1.48) называют пространственно-координатной интегральной внешней линейной алгоритмической модели (ВншЛАлгртмМ) соответствующей ОС. Так как выходной сигнал представляет собой непрерывную сумму функций рассеяния, порожденных точечными источниками, которые расположены в точках ( ) предметной плоскости, то естественно переменные интегрирования в (1.44) обозначать теперь через .

Построенные ВншЛАлгртмМ показывают, что сигнал на выходе любой ЛОС полностью характеризуется набором функций рассеяния, которые фактически представляют собой базисные преобразованные типовые сигналы. Иначе говоря, в случае ЛОС поведение оптических ПЭ может быть полностью описано, если определены возможно комплексные, дифракционно-аберрационные изо­бражения всех точек объекта.

1.6.4. Координатная SvM пространственно-инвариантной оИзС

В случае произвольной ЛОС для описания выходного сигнала с по­мощью (1.47) и (1.48) в рамках интегральной ВншЛАлгртмМ необходимо знать функции рассеяния для базисных входных типовых δ-сигналов, расположенных в произвольных точках плоскости объекта. При этом вид функции рассеяния , вообще говоря, зависит от координат точки приложения δ-сигнала. В этом смысле интеграл суперпозиции (1.48) носит чисто формальный характер, так как при переходе от точки к точке может меняться вид функции .

Интегральная ВншЛАлгртмМ ОИзС приобретает более глубокий оптико-физический смысл, если линейная система обладает симметрией сдвига, которую в случае ОИзС обычно называют пространственной инвариантностью. Строго говоря, ЛОИзС считается пространственно-инвариантной (изопланарной) оптической изображающей системой (ПИОИзС), если ее функция рассеяния (распределение амплитуды поля или интенсивности) в плоскости геометрооптического изображения зависит только от разности координат , , т. е. имеет пространственно-инвариантный вид . Так как разность координат рассматривается в плоскости х', у' (рис. 1.6), то линейное увеличение осуществляет согласование масштабов в пространствах предметов и изображений. ПИОИзС образуют очень важный для практических приложений подкласс ЛОИзС, для которых все базисные преобразованные типовые сигналы , так же как δ-сигналы, имеют одинаковый вид, ибо их вид не зависит от точки приложения входного воздействия. Тогда интеграл суперпозиции (1.48), задающий поведение ПИОИзС, имеет вид взаимной свертки пространственных сигналов

(1.49)

где - свёрточный оператор поведения ПИОИзС в коорди­натной области. Соответствующую ВншЛМП (1.42) в случае сверточного алгоритма поведения (1.49) называют пространственно-координатной сверточной моделью (SvM) ПИОИзС. Она имеет вид

(1.50)

Таким образом, SvM является частным случаем ВншЛАлгртмМ и описывает симметрию ПИОИзС относительно сдвига (смещения) точечного источника в плоскости объекта, так как его дифракционное изображение не меняет свою функциональную форму, а изменяет лишь положение в плоскости геометрооптического изображения. Выходное изображение в этом случае является непрерывной двумерной суммой смещенных дифракционных изображений точечных источников с амплитудой s(х,у) и описывается взаимной сверткой (прил. 4). В результате замены оператор поведения (1.49) принимает вид:

(1.51)

Откуда следует, что с точностью до множителя , характеризующего энергетику системы, изображение на выходе ПИОИзС в рамках SvM представляет собой взаимную свертку идеального геометрооптического изображения с пространственно инвариантной функцией рассеяния.