1.6.2. Базисные типовые сигналы

На практике большинство оптических систем обладает осевой симметрией, обусловленной осевой симметрией зеркально-линзовых оптических ПЭ и изотропностью СП. Элементарным объектом излучения с осевой симметрией является точечный источник, -МП которого имеет следующий вид

где – распределения яркости L (x, у) или комплексной амплитуды А (х, у); – δ-образная аппроксимирующая последовательность [см. (П.5.4)]; – тернарное -отношение, задаваемое формулой (П.5.1); P_δ(1) : [см. (П. 5.2)]; P_δ( ) : [см. (П.5.10)] ­– операторы поведения δ-функции; P_lim(s₂) : [см. (П.5.4)] – аппроксимация δ-функции; P_sv (s₁) : [см. (П.5.12)] – фильтрующее свойство δ-функции. Поэтому одним из основных типовых сигналов является δ-функция, осевая сим­метрия которой согласована с осевой симметрией произвольной ОС. Используя фильтрующее свойство δ-МП, входной сигнал можно представить в виде непрерывной линейной комбинации смещенных точечных источников, так что

(1.43)

где - переменные интегрирования в предметной плоскости х у; множитель служит амплитудным коэффициентом, с которым суммируются δ-функции. С оптико-физической точки зрения (1.43) можно рассматривать как непрерывную двумерную сумму точечных источников с амплитудой , локализованных в фиксированных точках предметной плоскости (рис. П.З). Так как выражение (1.43) справедливо для любого сигнала, то континуальный набор смещенных δ-функций образует базис в пространствах входных S и выходных Σ сигналов, а сами δ-функции называют базисными типовыми δ-сигналами в координатном представлении. Таким образом (1.43) задает связность в виде непрерывной линейной δ-связности в классах входных и выходных сигналов путем упорядочения подмножества точечных источников и лежит в основе координатного (пространственно-координатного и координатно-временного) подхода к описанию ППС в ОиЛзЭС.

Каждый точечный источник предметной плоскости формирует сферическую расходящуюся волну, и, наоборот, каждая точка идеального геометрооптического изображения получается с помощью сходящейся сферической волны (рис. 1.6). Поэтому в СП базисные типовые сигналы принимают вид сферических волн (1.36) и (1.37). Разложение комплексной амплитуды поля по этим волнам задается линейным оператором СП (2.13) в виде двумерной непрерывной суммы расходящихся сферических волн (2.14).

Высококорригированные оптические изображающие системы (ОИзС) с малым угловым полем формируют изображение одинакового качества в пределах всего линейного поля. Иначе говоря, они обладают симметрией сдвига, когда смещение объекта излучения приводит к соответствующему смещению изображения без изменения его качества. При этом симметрия сдвига ОИзС обусловлена не только высокой степенью коррекции объектива, но и однородностью СП. Симметрия сдвига присуща всем периодическим излучающим объектам и идентифицируется с разложением таких сигналов в тригонометрический ряд Фурье (П.2.1) или (П.2.2). Поэтому элементарным объектом излучения, обладающим симметрией сдвига, является гармоническая пространственно-частотная решетка (транспарант). Для представления непериодических сигналов в виде непрерывной линейной комбинации гармоник используется вещественный интеграл Фурье (П.3.1) с учетом (П.3.2) и (П.З.З). Тогда одним из основных типовых сигналов являются также косинусоидальная или синусоидальная гармоники, задающие поведение элементарного оптического периодического объекта, симметрия сдвига которого на пространственный период соответствует симметрии сдвига оптической изображающей и фурье-преобразующей системы.

В силу практической универсальности разложения сигнала в дискретную или непрерывную сумму гармоник с определенной амплитудой и фазой соответствующий набор гармоник образует базис в пространстве сигналов. Поэтому сами косинусоидальные и синусоидальные гармоники называют базисными типовыми сигналами в частотном представлении (базисными пространственно-частотными или частотно-временными гармониками).

При этом в основе разложения сигнала по базисным частотным гармоникам лежит гармонический анализ сигналов (прил. 2 и 3). Таким образом, представление сигнала рядом или интегралом Фурье задает гармоническую линейную связность в классах входных и выходных сигналов путем выделения упорядоченного подмножества гармоник и лежит в основе частотного подхода к пространственно-временному описанию ППС в ОиЛзЭС.

При освещении каждой двумерной гармонической решетки плоской нормально падающей волной на ее выходе формируются две плоские волны, дифрагирующие симметрично относительно оптической оси. Верно и обратное, каждые две плоские волны, симметрично падающие на плоскость наблюдения, образуют косинусоидальное или синусоидальное распределение амплитуды [см. (П.2.8) и (П.2.9)]. Таким образом, в СП пространственно-частотные базисные сигналы принимают вид плоских волн. При этом разложение комплексной амплитуды поля по плоским волнам задается в виде комплексного ряда Фурье (П.2.10) и (П.2.12) или обратного преобразования Фурье (П.3.12) и (П.3.15).