7. Пример тензорного представления сбалансированного взаимодействия предприятий

Математически эта задача имеет вид системы уравнений, описывающих баланс потоков. Есть n предприятий (или отраслей) с валовым выпуском X^α (где а = 1,...,n), обеспеченным спросом y_α и осуществляющих поставки x_αβ при потреблении ресурсов, что записывается:

X^α = x^αβ + y^α (20)

Поставки заданы коэффициентами прямых затрат a^αβ, численно равными количеству продукта предприятия α для производства одной единицы продукта предприятия β. Это выражается уравнениями:

x^αβ = a^αβ X_β. (21)

Потребление ресурсов определяется аналогичными коэффициентами b^αβ, численно равными количеству ресурса γ для производства одной единицы продукта предприятия β, что выражается уравнениями:

r^γβ = b^γβ X_β (22)

Подставляя (21) в (20) и преобразуя, получим систему уравнений

y^α = (δ^αβ − a^αβ)X_β (23)

где (d^ab − a^ab)= (I − А) — так называемая экономическая матрица, обращение которой дает решение исходной задачи:

X_α = (δ^αβ − a^αβ)⁻¹y^β. (24)

Обращение экономической матрицы выполняется вычислением суммы степенного ряда:

(I − A)⁻¹ = I + A + A² + A³ + … (25)

поскольку коэффициенты а^αβ меньше, и даже много меньше единицы и норма матрицы (δ^αβ − a^αβ) меньше единицы. Для построения сетевой модели необходимо найти все соотношения между потоками в системе. При этом уравнения системы приводятся к тензорному виду.

Пример схемы сети потоков представлен на рис. 3. Эта схема отражает естественную структуру процессов производства во взаимно связанных предприятиях экономической системы.

Жирные линии — это потоки производства продуктов. Потоки в них направлены вниз, от входов к выходам. Сверху к ним подходят ресурсы (энергетические и материальные). Тонкие линии от выходов одних отраслей к входам других — это направления поставок. Стрелки внизу показывают спрос на продукцию. Сама структура потоков продуктов задана технологиями.

Связь потоков продуктов в этой сети записана в (20) как закон сохранения потоков в узлах выхода отраслей. Как видно из рис., существует связь между потоками в узлах входов, что можно записать в виде системы уравнений:

X^α = Σ x^αβ + Σ r^γβ = Σ a^αβ X_β + Σ b^αβ X_β = (Σ a^αβ + Σ b^αβ) X_β. (26)

Потребление ресурсов r^γβ и поставок x^αβ определяется, следовательно, величиной валового выпуска X_α. В (26) слева и справа стоит численно один и тот же вектор

Х_α = d^αβ X_β, (27)

поэтому можно записать:

Σa^αβ + Σb^αβ = 1. (28)

Физически это означает: для выпуска единицы данного продукта необходимо обеспечить все поставки и ресурсы — условие очевидное, а потому обычно не используемое. Однако это условие обеспечивает полноту описания потоков в сети для приведения уравнений к тензорному виду.

Рис. 3. Структура сети потоков ресурсов и продуктов

8. Тензорная форма уравнений баланса потоков

Покажем, что при этом условии уравнения данной задачи приводятся к тензорному виду. Положим, что каждая ветвь на рис.3 — это объект пространства потоков. Размерность этого пространства равна числу предприятий. Поставки и ресурсы от них линейно зависят, как следует из (20) и (21). Таким образом, пространство определяет набор предприятий, а способы их соединения поставками и ресурсами задают системы координат.

Рассмотрим изменение уравнений и величин в (20 — 22) при таком изменении координат, когда ветви-поставки переключаются от одних потребителей или производителей к другим. Заданным вектором является спроса y^α, который, как показано, определяет через матрицу (I — А) выпуск, поставки и необходимые ресурсы. Рассмотрим преобразование от одной схемы соединения предприятий к другой, которое оставляет этот вектор y^α инвариантом. Пусть есть два соединения а¹ и а² одних и тех же n предприятий. Запишем для них.

y₁^α = (δ^αβ − a₁^αβ) X_1β,

(29)

y₂^α = (δ^αβ − a₂^αβ) X_2β.

Поскольку y₁^α = y₂^α то можно приравнять правые части и выразить векторы валовых выпусков друг через друга:

y₁^α = (δ₁^αβ − a₁^αβ)X_1β = (δ^αβ − a₂^αβ)X_2β, (30)

или, обозначая произведение скобок как матрицу преобразования C₁² получим, что валовой выпуск преобразуется как ковариантная величина:

, или . (31)

Такие матрицы по своей роли аналогичны матрицам преобразования.

Валовой выпуск как поток продукта является продольной (контравариантной) величиной, а как воздействие, вызывающее поток поставки — поперечной (ковариантной). Валовой выпуск, таким образом, играет двоякую роль: на входе — это воздействие, а на выходе — это отклик, продукт, (результат слияния поставок и ресурсов). В первом случае он входит в уравнение (21), а во втором — в (20). Если отрасль не потребляет собственную продукцию, то a_αα = 1, а значит валовые выпуски на входе и выходе отрасли численно равны. Однако их связывает соотношение:

X^α = a^αα X_α = d^αα X_α, (32)

показывающее, что они по-разному преобразуются. Будем считать потоки продуктов (токи) контравариантными компонентами вектора, тогда валовой выпуск на выходе отрасли обозначим X^α — это отклик на воздействие спроса y^α. Валовой выпуск на входе обозначим X^α; он воздействует на X^β других отраслей, которые поставляют ему часть своей продукции пропорционально значениям коэффициентов прямых затрат, соответствующих метрическому тензору.

Когда X_β = X^α, то система отраслей работает в стационарном режиме, а метрический тензор является единичным, d^βα = 1, что в геометрии соответствует прямоугольным координатам. Когда система отраслей работает в переходном режиме, то X_β ≠ X^α. Тогда метрический тензор принимает более сложный вид, а системы координат в пространстве потоков продуктов становятся криволинейны. За счет искривления пространства система настраивается на стационарный режим. Например, при вычислении суммы ряда (25) на каждом этапе вычислений m имеем, что X_β^m ≠ X^α_m. Действительно, подставим (25) в (24), тогда получим, что:

Х_β = d_βα у^α + a_βα у^α + (a_βα у^α)² + (a_βα у^α)³ +... = Х^β₀ + Х^β₁ + Х^β₂ + Х^β₃ +... (33)

Это означает следующее. Если предприятие стоит, а затем дан старт производству, то оно начинает выпускать продукт в объеме спроса: X_α0 =d_ααy^α = y^α. Однако для этого нужны поставки продукции других отраслей в количестве x^βα₀ = a^βα Х_β0 = а^βα d_βα у^α. Тогда выпуск продукта возрастет и составит величину:

X^β₁ = y^α + a^βα d^βα y^α = (d^βα + a^βα) d_βα y^α (34)

где берем сумму по повторяющимся индексам.

В (32) получена формула преобразования ковариантных компонент вектора Х_α. Теперь получим такую же формулу для его контравариантных компонент X^α, т.е. определяющих поток продуктов, а не воздействие. Для этого рассмотрим стационарный случай, когда g^βα = δ^βα и подставим (33) в (34). Тогда получим при переходе к новой, обозначенной штрихами, системе координат, что:

X^α′ = g^α′β′ X_β′ = g^α′β′ A_β′^β X_β = g^α′β′ A_β′^β g_βα X^α. (35)

Учитывая свойство метрического тензора поднимать и опускать индексы, получим отсюда, что матрица преобразования X^α имеет вид:

g^α′β′ A_β′^β g_βα = A^α′β g_βα = A^α′_α, (36)

следовательно, формула преобразования Х^α принимает вид следующий:

X^α′ = A^α′_α X^α. (37)

Таким образом, Х^α преобразуется с помощью матрицы А^α′_α = (А_β′^β)⁻¹_t, т.е. обратной и транспонированной по отношению к матрице преобразования Х_β.

Это показывает, что валовой выпуск подчиняется тензорным законам преобразования координат.

Определить потоки продуктов в системе отраслей можно тремя способами:

• задать спрос y^α и, решая балансовую задачу (20 — 22), получить все валовые выпуски, поставки и ресурсы;

• задать валовые выпуски, тогда по формуле (21) найдем поставки, по (20) — какой этому соответствует спрос, а по формуле (22) ресурсы;

• задать одновременно поставки и ресурсы, тогда найдем X_α из (26).

Из третьего, способа задания потоков продуктов можно получить формулу преобразования совокупности поставок и ресурсов, с учетом (27):

∑ x^β′α′ + ∑ r^γ′α′ = ∑ ( a^β′α′ X_α′ ) + ∑( b^γ′α′ X_α′ ) = (∑ a^β′α′ + ∑ b^γ′α′) X_α′ =

= X_α′ = A_α′^α X_α = A_α′^α (∑ x^βα + ∑ r^γα), (38)

откуда ясно, что сумма поставок и ресурсов преобразуется тензорно, с помощью только матрицы А_α′^α. Таким образом, все потоки в сети взаимодействия предприятий приведены к тензорному виду.