4. Расчеты сетей из связанных ветвей

Рассмотрим расчеты сетей более общего вида, где часть путей замкнутые, а часть — разомкнутые.

Рис. 1. Сети из свободных ветвей и сети с путями одного типа:

а) сети из замкнутых путей; б) сети из разомкнутых путей

Компоненты вектора в связанной сети ^md_c^α вычисляются по компонентам ^md⁰_β в свободных замкнутых ветвях так:

^md_c^α = ^mC_α′^α_t (^mC_α′^α Z_αβ ^mC^β_β′t)^{−1 m}C_β′^{β m}d⁰_β = Y_c ^md⁰_β, (3)

где через обозначена прямоугольная матрица преобразования, а через Y_c — матрица решения в случае произвольного вектора, заданного в замкнутых путях:

Y_c = ^mC_α′^α_t (^mC_α′^α Z_αβ ^mC^β_β′t)^{−1 m}C_β′^β. (4)

Матрица решения в случае произвольного вектора z_c,заданного в разомкнутых путях:

Z_c = ^jA_α^α′_t (^jA_α^α′ Y^{αβ j}A_β^β′_t)^{−1 j}A_β^β′. (5)

Матрицы решения связывают ко- и контра- компоненты в сетях с разной структурой, здесь — свободных и связанных ветвях, поэтому их можно рассматривать как метрические матрицы преобразования структуры сетей. При этом матрицы решения включают в себя только параметры самой сети. По матрице решения z_c, можно получить матрицу решения другого типа — Y_с, не выполняя заново всех вычислений.

Z_c = Z_c0 −Z Y_c Z = Z − Z Y_c Z. (6)

Поскольку матрицы Y_c0 или Z_c0 вычисляются легко, то такие соотношения позволяют вычислять только одну матрицу решения Y_c или Z_c, а вторая матрица получается автоматически. Отсюда получим формулы, связывающие матрицы решения в двойственной сети, что обеспечивает простой расчет любой матрицы решения, если найдена хотя бы одна из матриц решения сети с данной структурой. Матрицы решения замкнутых путей двойственной сети:

Y_c = Y_c0 − Y Z_c Y = Z − Y_c Z = Z_c, (7)

а для матрицы решения разомкнутых путей двойственной сети:

Z_c = Z_c0 − Z Y_c Z = Y − Y Z_c Y = Y_c, (8)

которые связывают матрицы решения в двойственных сетях.

5. Алгоритмы расчета сетей по частям

На рис. 2 даны этапы расчета сети по частям с использованием параллельных процессоров. Эти этапы состоят из нескольких блоков.

Блоки следующие: выделение и получение исходных данных, разделение сети на подсети, расчет подсетей и сети связей, формирование и расчет двойственной матрицы изменения решений с помощью матрицы изменения путей, изменения решений подсетей в решение полной сети.

Алгоритм последовательности расчета сети по частям в соответствии со схемой включает в себя:

1. Задание исходных параметров сети: метрических параметров ветвей — матрицей Z (или Y) свободных ветвей, структурных параметров соединенной сети — матрицей преобразования С (или А), а также компонентами наложенного вектора ^md (или ^jd), в свободных ветвях — ^md⁰_α или ^jd₀^α.

2. Разделение соединенной сети на подсети, путем выделения отдельных, несвязанных друг с другом блоков в матрице преобразования ^mC¹, ... , ^mC^s, ^mC^s+1=r (иди матрицы инциденций, или наглядным разделением графа сети на компоненты, или иным методом декомпозиции графа на несвязанные компоненты). Размер подсетей и способ разделения — выделение сети соединений подсетей или разделение подсетей в узлах — определяются условиями задачи.

3. Выделение подматрицы изменений в матрице преобразования ∆C^s, ∆C^r — т.е. строк тех путей, которые замыкаются при соединении подсетей (и, соответственно, размыкались при разделении сети на подсети).

Рис. 2. Общая схема расчета сети по частям с

использованием параллельных процессоров

4. Расчет s подсетей и (s + 1) сети соединения подсетей, который имеет вид Y¹_cs = ^mC^s_t(^mC^s Z_s^mC^s_t)^{−1 m}C^s, и может выполняться на последовательной машине, на ЭВМ с параллельной архитектурой, сети ЭВМ, сети транспьютеров и т.д.

5. Расчет блоков взаимодействия подсетей с сетью изменений: ∆C^s (I − Y¹_csZ), которые трижды повторяются в формулах расчета сети при изменениях структуры — как в одной сети, так и при разделении сети на подсети. Для контурной матрицы Y¹_c это означает, что двойственная матрица решения подсетей и сети соединений преобразуется к изменяемым путям, поскольку (I − Y¹_csZ) = Y Z¹_cs. Этот этап можно выполнять параллельно.

6. Построение матрицы решений для двойственной (s + 2)-сети изменений (пересечений), составленной только из разделяемых при декомпозиции контуров и потому ее порядок сравним с порядком подсистем. Эта матрица обеспечивает двойственное изменение метрики при сохранении инварианта двойственных сетей:

∆Z_s+2 = ∆C^s_t Z (I − Y¹_csZ) ∆C^s = ∆C^s_t ∆Z¹_cs ∆C^s. (9)

7. Построение матрицы изменения метрики ∆Z_s+2 можно выполнить параллельно суммированием для всех подсетей в виде:

∆Z_s+2 = ∆C¹_t Z_c1 ∆C¹ + … + ∆C^s_t ∆Z¹_cs ∆C^s + ∆C^s+1_t ∆Z¹_cs+1 ∆C^s+1. (10)

Обращение этой матрицы ∆Y_s+2 = (∆Z_s+2)⁻¹ выполняется на одной машине, если ее порядок сопоставим с порядком подсистем и сетью соединений. Если (s + 2)-сеть слишком велика, можно и ее рассчитать по частям — двойственным алгоритмом.

8. Матрица решения для измененных путей (замыкаемых контуров) имеет вид ∆Y^s+2_c = ∆C^s_t(∆Z_s+2)⁻¹ ∆C^s, воздействует на двойственные матрицы решения подсетей и дает блоки матрицы изменения решения ∆Y_c^γδ = (I − Y¹_cγZ_γ) ∆C^γ_t ∆Y^s+2_c ∆C^δ (I − Y¹_cδZ_δ), где γ, δ изменяются от 1 до (s+1), изменяя значения их метрических параметров в те, которые они должны иметь в соединенной сети. Эти расчеты выполняются параллельно.

При реализации алгоритма удобнее вычислять блок матриц из пункта 5 , а именно ∆C^γ (I − Y¹_cγZ_γ), (а не ∆Y^s+2_c = ∆C^s_t(∆Z_s+2)⁻¹ ∆С^s для (s+2)-сети, что означает приведение матриц решения подсетей к изменяемым путям.

9. Таким образом, получаем матрицу изменения решения ∆Y_c. Она суммируется с матрицей решения Y¹_c в матрицу решения соединенной сети Y²_c = Y¹_c + ∆Y_c — если число переменных при соединении подсетей растет; и вычитается, если число переменных при соединении уменьшается: Z²_c = Z¹_c − Z ∆Y_c Z. Этот этап можно выполнять параллельно. Он дает матрицу решения соединенной сети.

10. Если задан наложенный вектор ^md⁰_α, то умножая на него матрицу решения (параллельно) получим искомые компоненты в соединенной сети ^md_c^α = Y²_c ^md⁰_α.

Если задан двойственный вектор ^jd разомкнутых путей компонентами ^jd₀^α, или надо найти матрицу решения для разомкнутых путей Z²_с, то эти 10 этапов алгоритма расчета сети по частям повторяются с надлежащими двойственными изменениями.