2. Задача расчета сети

Задача расчета сети состоит в определении значений откликов на приложенные воздействия при изменении связей ветвей. Воздействия — это источники мощности.

Отклики — это величины, которые меняются в зависимости от значения метрического параметра сети.

Источник задают в свободных ветвях, предполагая, что эти значения остаются постоянны в любой структуре. Отклики меняются в зависимости от метрических параметров и от структуры. Квадрат величины потока энергии, определяемый произведениями воздействий и откликов по каждой ветви или по совокупности независимых путей, представляет собой мощность.

Рассмотрим задачу расчета сети как задачу о нахождении компонент наложенного вектора в путях и ветвях связанной сети по заданным его компонентам в свободных ветвях. Такая постановка и решение этой задачи позволяет затем применять полученные результаты к любым сложным системам, в которых потоки одних величин распространяются под действием других величин через среду с сопротивлением.

Исходными данными являются компоненты в замкнутых или в разомкнутых свободных ветвях.

Надо определить значения компонент вектора в системе координат независимых замкнутых или разомкнутых путях связанной сети, а также в отдельных ветвях этой сети.

Эти значения являются решением задачи сети (или откликами на приложенные воздействия).

Другая постановка задачи расчета сети; найти для одной данной структуры такую одну матрицу, умножение которой на компоненты любого вектора в путях свободных ветвей даст его компоненты в путях связанных ветвей.

Итак, задача сети — это расчет изменений компонент заданного вектора в сети любой структуры, или расчет изменения компонент любого вектора при заданных структуре и ветвях.

Вторая задача решается построением матрицы преобразования старых базисных векторов в новые.

Результирующие матрицы — это матрицы решения. Если рассматривать сеть с точки зрения замкнутых путей, то матрица решения обозначается как Y_c, а если разомкнутых — то как Z_c.

Таким образом, возможны два типа расчета сети:

поиск изменения компонент вектора при связывании ветвей;

вычисление матриц решения.

3. Расчеты сетей из свободных ветвей

Матрица решения сети из свободных ветвей, как и сети, в которой есть только замкнутые или только разомкнутые пути, Y_c0 или Z_c0, выглядит просто, поскольку при любом выборе путей их число постоянно, число узлов не меняется и любой наложенный вектор остается целиком в данной сети, а не распределяется между двумя двойственными сетями.

Если не задано взаимодействие ветвей — измерений, то есть Z = Y = I, то можно задать либо ковариантные компоненты вектора в замкнутых свободных ветвях, а контравариантные по ним получить :

^md₀^α = Y_c0 ^md⁰_α = ^md⁰_α, (1)

либо задать контравариантные компоненты вектора в свободных разомкнутых ветвях, а ковариантные по ним получить:

^jd⁰_α = Z_c0 ^jd⁰_α = ^jd⁰_α. (2)

Все виды компонент здесь численно равны друг другу. Через Y_c0 и Z_c0 обозначены матрицы решения для такой простейшей сети, в этом случае они просто единичные.

Примеры таких сетей представлены на рис. 1: а) — для ветвей — контуров и б) — для ветвей — разомкнутых путей. Такие сети двойственны друг к другу. Стрелки вдоль ветвей обозначают, как обычно, выбранные пути.

На рис. 1. кружки на ветвях показывают, что заданы ковариантные компоненты вектора, которым численно равны контравариантные компоненты, например ^md¹ = ^md₁, поскольку метрический параметр единичный. На рис. 1 для примера заданная компонента ^jd³ показана стрелками, входящими в ветвь b₃ и выходящими из нее.