1.2. Законы сохранения вещества, количества движения и энергии

Законы сохранения вещества, количества движения и энергии, или аксиоматические принципы, лежат в основе построения дифференциальных уравнений неразрывности, движения и энергии пищевой среды и ничем не отличаются от законов, лежащих в основе гидродинамики различных жидкостей. Отличия реодинамики от гидродинамики будут проявляться только в реологических уравнениях или в уравнениях состояния, связывающих компоненты тензора напряжений с компонентами тензора скоростей деформаций, плотность, температуру, давление и какие-нибудь другие свойства пищевой среды. Например, у многих пищевых дисперсных сред плотность существенно зависит от давления, реологические свойства пищевых сред из-за микробиологических и химических процессов могут меняться во времени при неизменности параметров внешней среды.

Закон сохранения вещества математически можно сформулировать следующим образом:

, (1.5)

где V – объем выделенного элемента пищевой среды;  – единичный вектор внешней нормали к поверхности S в данной точке;  – скорость течения пищевой среды в данной точке;  – вектор количества движения, отнесенного к единице объема любой частицы пищевой среды, если считать ее однородной.

При составлении уравнения (1.5) предполагали, что масса вещества накапливается внутри фиксированной в пространстве замкнутой контрольной поверхности S произвольной формы и размеров и содержит элемент пищевой среды объемом V. Левая часть уравнения определяет скорость накапливания массы внутри контрольной поверхности, а правая часть представляет собой результирующий перенос вещества вовнутрь объема через контрольную поверхность.

Закон количества движения формулируем аналогично, рассматривая пищевую среду внутри замкнутой поверхности, которая движется вместе со средой. Хотя элемент пищевой среды может изменять свою форму произвольным образом, поскольку скорости частиц пищевой среды являются функциями времени и координат точки пространства, однако объем внутри контрольной поверхности содержит постоянную массу пищевой среды. Тогда, поскольку по второму закону Ньютона скорость (производная по времени) изменения количества движения элемента равняется сумме сил, действующих на этот элемент, можно записать

, (1.6)

где  – главный вектор поверхностных сил, действующих только на частицы, лежащие на внешней поверхности рассматриваемого объема жидкости, например сил гидростатического давления, действующих нормально к поверхности, а также касательных сил трения об окружающий объем жидкости или сил трения о стенки канала аппарата;  – главный вектор массовых или объемных сил, действующих на все частицы рассматриваемого объема жидкости, например силы тяжести, электростатических или магнитных сил.

Объемные и поверхностные силы тоже можно представить в виде интегралов:

; (1.7)

, (1.8)

где  – вектор внешней силы, зависящий от пространственных координат;  – поверхностная сила, отнесенная к единице площади;  – тензор напряжений в рассматриваемой точке.

Следовательно, второй закон Ньютона в интегрально-диффе-ренциальной форме теоремы об изменении количества движения (см. курс теоретической механики) для рассматриваемого элемента жидкости можно записать в виде

(1.9)

При выводе уравнения энергии рассматривается тот же элемент жидкости внутри произвольной замкнутой поверхности, которая движется вместе с жидкостью и представляет собой термодинамически замкнутую систему. Следовательно, скорость изменения общей энергии элемента жидкости должна быть равна сумме количества тепла, передаваемого элементу в единицу времени, и работе, совершаемой над элементом в единицу времени. Этот энергетический баланс по аналогии с законами сохранения вещества и количества движения можно записать в следующей форме:

= , (1.10)

где U – внутренняя (потенциальная) энергия;  – вектор теплового потока, направленный по внешней нормали к поверхности.

В левой части уравнения записаны соответственно скорости изменения потенциальной и кинетической энергии элемента жидкости, отнесенные к единице массы жидкости. В правой части уравнения первый интеграл представляет собой скорость притока тепла через полную поверхность выделенного элемента жидкости (знак минус обусловлен направлением вектора теплового потока по внешней нормали к поверхности); второй интеграл – работу в единицу времени массовых сил, отнесенных к единице объема, действующих на все частицы, заключенные внутри контрольной поверхности; третий интеграл – работу в единицу времени поверхностных сил, приходящихся на единицу площади в любой точке поверхности. Поскольку все названные работы отнесены к единице времени, то уравнение (1.10) можно назвать уравнением баланса мощностей.