- •Одеса Наука і техніка 2006
- •Розділ 1. Теорія множин і алгебраїчних систем
- •1.1. Основні поняття і завдання множин
- •1.2. Операції над множинами. Формули. Тотожності
- •1.3. Доведення тотожностей. Булева алгебра множин
- •1.4. Узагальнення операцій. Подвійність
- •Спісок літератури: Основна
- •2.1. Рівняння
- •2.2. Покриття і розбивки
- •2.3. Потужність множин. Зчисленні і континуальні множини
- •Список літератури Основна
- •3.1. Упорядковані множини
- •3.2. Графіки
- •Список літератури Основна
- •4.1. Відповідності
- •4.2. Образи і прообрази
- •4.3. Відображення і діаграми
- •Список літератури Основна
- •5.1. Основні поняття відношень
- •5.2. Множинні операції відношень
- •Список літератури Основна
- •6.1. Перестановка, ототожнення, приписування фіктивної координати
- •6.2. Згортка де Моргана, суперпозиція
- •Список літератури Основна
- •7.1. Успадковані властивості відношень
- •7.2. Спеціальні властивості відношень
- •Список літератури Основна
- •8.1. Еквівалентність
- •8.2. Порядок
- •8.3. Толерантність
- •8.4. Квазіпорядок
- •Список літератури Основна
- •9.1. Замикання відношень
- •9.2. Спеціальні функції
- •9.2.1. Підстановки
- •9.2.2. Послідовності
- •9.2.3. Функціонали
- •9.2.4. Функції, що зберігають алгебраїчні властивості
- •9.3. Операції
- •9.3.1. Загальні визначення операцій
- •9.3.2. Властивості операцій
- •Список літератури Основна
- •10.1 Композиція об'єктів
- •10.2. Внутрішній закон композиції
- •11.1 Алгебраїчні системи (моделі)
- •11.2. Групи підстановок і кільце множин
- •Розділ II. Комбінаторика
- •12.1. Вибірка елементів
- •12.2. Правило суми і добутку
- •12.3. Перестановки
- •12.4. Сполучення
- •12.5. Рекурентні співвідношення
- •12.6. Біном Ньютона
- •Список літератури Основна
- •13.1. Поліноміальні твірні функції
- •13.2. Експонентні твірні функції
- •13.3. Принцип включення і виключення
- •13.4. Розбивки
- •Список літератури Основна
- •Розділ III. Графи
- •14.1. Основні визначення
- •14.2. Способи представлення графів
- •Список літератури Основна
- •15.1. Основні визначення (продовження)
- •15.2. Зважені (відзначені) графи
- •Список літератури Основна
- •16.1. Операції над графуми
- •16.2. Властивості базових операцій над графами
- •Список літератури Основна
- •17.1. Чисельні характеристики графів
- •17.1.1. Ступінь вершин
- •17.1.2. Цикломатичне число
- •17.1.3. Хроматичне число
- •17.1.4. Множина внутрішньої стійкості
- •17.1.5. Множина зовнішньої стійкості
- •17.2. Представлення графів у пам'яті еом
- •Список літератури Основна
- •Розділ IV. Скінченні автомати
- •18.1. Абстрактний автомат
- •18.2. Способи завдання автоматів
- •18.2.1. Табличний спосіб
- •18.2.2. Графічний спосіб
- •18.3. Розширення функцій і
- •Список літератури Основна
- •19.1. Синхронні й асинхронні автомати
- •19.2. Асинхронні автомати, що тактуються
- •19.3. Перетворення автоматів Мілі і Мура
- •19.3.1. Перетворення автомата Мура в автомат Мілі
- •19.3.2. Перетворення автомата Мілі в автомат Мура
- •19.4. Сполучена модель автоматів – с-автомат
- •Список літератури Основна
- •20.1. Композиція автоматів
- •20.1.1. Рівнобіжне з'єднання
- •20.1.2. Послідовне з'єднання двох автоматів
- •20.1.3. З'єднання зі зворотним зв'язком
- •20.2. З'єднання автоматів з вихідною функцією
- •Список літератури Основна
- •21.1. Мережі автоматів
- •21.2. Еквівалентні автомати мережі
- •Список літератури Основна
- •Розділ V. Булева алгебра
- •22.1. Логічні функції
- •22.2. Булеві функції
- •22.3. Логічні формули
- •Список літератури Основна
- •23.1. Способи завдання булевих функцій
- •23.1.1. Табличний спосіб
- •23.1.2. Аналітичний спосіб Нормальні форми
- •23.1.3. Геометричний спосіб
- •23.1.4. Чисельний спосіб
- •23.2. Приведення формул булевої алгебри до досконалої форми
- •Список літератури Основна
- •24.1. Булева алгебра
- •24.2. Спрощення запису формул
- •24.3. Подвійність формул булевої алгебри
- •24.4. Булева алгебра множин
- •Список літератури Основна
- •25.1. Алгебра Жегалкіна
- •25.2. Типи булевих функцій
- •25.3. Функціональна повнота
- •25.4. Логічні (перемикальні) схеми
- •25.5. Канонічна задача синтезу логічних схем
- •Список літератури Основна
- •26.1. Графічний метод мінімізації булевих функцій
- •26.2. Табличний метод мінімізації
- •Список літератури Основна
- •27.1. Аналітичні методи мінімізації
- •27.1.1. Комплекс кубів
- •27.1.2. Постановка задачі
- •27.2. Метод Квайна
- •27.3. Алгебраїчний метод одержання мінімального покриття (алгоритм Петрика)
- •Список літератури Основна
- •28.1. Метод Квайна-МакКласкі
- •28.2. Мінімізація частково визначених функцій
- •Список літератури Основна
- •29.1 Основні визначення
- •29.2 Інтервальне представлення в матричній формі
- •29.3. Спрощення днф за матричною формою Закревського
- •30.1. Формулювання алгоритму побудови максимальних інтервалів для точки
- •30.2. Алгоритм для днф
- •30.3. Метод Блейка
- •31.1. Основні визначення
- •32.2. Використання системи булевих функцій для синтезу кс
- •31.3 Точний метод мінімізації систем булевих функцій Барті-Полянського
- •31.4. Інтуїтивний метод спрощення системи днф за матричною формою
- •32.1. Інтервальне представлення в еом
- •32.2. Основні операції над інтервальним представленням
- •33.1. Використання операцій інтервального представлення
- •33.2. Метричні властивості диз'юнктивної нормальної форми
- •34.1 Булеві рівняння
- •34.2. Булеві нерівності
- •34.3. Спільні системи нерівностей і рівнянь
- •35.1. Властивості булевой різниці
- •35.2. Методи знаходження булевой різниці
- •35.3. Подвійна булева різниця
- •35.4. Булеві похідні й диференціали
- •36.1. Висловлення предикатів
- •36.2. Логіка предикатів
- •36.3. Правила застосування кванторів
- •Список літератури Основна
- •Список літератури
- •Вступ 3
- •1. Теорія множин і алгебраїчних систем 4
- •2. Комбінаторика 65 Лекція 12. Комбінаторика. Базові методи 65
- •3. Графи 78
- •4. Скінченні автомати 101
- •5. Булева алгебра 123 Лекція 22. Булеві функції 123
33.2. Метричні властивості диз'юнктивної нормальної форми
Оцінки складності представлення форм булевих функцій можуть бути використані в таких напрямках:
оцінки складності алгоритмів перетворення форм булевих функцій;
оцінки складності дискретних пристроїв, складність схем яких пропорційна складності форм представлення булевих функцій;
алгоритми виконання обчислень можна виразити через перетворення булевих функцій, булев варіант алгоритму зберігає всі основні риси алгоритму розв’язання вихідної задачі, отже, побудови, що відповідають перетворенню, можуть служити оцінкою складності довільних алгоритмів.
Нижче наведені оцінки складності булевих функцій у ДНФ, що використовують найбільше.
33.2.1. Зроблена ДНФ
Максимальна складність – 2nn, типова складність - 2n-1n.
33.2.2. Скорочена ДНФ
Максимальна складність – 3n/n, таким чином, якщо в методі Квайна-МакКласки будувати таблицю покриттів, то вона може мати 3n/n рядків й 2n-1 стовпців.
Типова складність – 2n nlog log n, таким чином, довжина скороченої ДНФ звичайно перевищує довжину зробленої ДНФ.
33.2.3. Найкоротша ДНФ
Максимальна складність – 2n-1.
Типова складність – 2n-1/log n log log n.
33.2.4. Зіставлення оцінок
Відношення складності мінімальної ДНФ і найкоротшої ДНФ майже для всіх функцій дорівнює одиниці. Пошук найкоротшої ДНФ - простіша задача.
Типове відношення Vn складності довільної безнадлишкової ДНФ і найкоротшої ДНФ визначається формулою:
Vn log n,
тобто довільна безнадлишкова ДНФ може бути в кілька разів гірше, ніж найкоротша. Число tn без надлишкових ДНФ для майже всіх булевих функцій оцінюється формулою
tn = (22n-1)log n log log n,
тобто перебір без надлишкових ДНФ при більших n - безперспективний.
Число qn найкоротших ДНФ можна оцініти формулою
qn (22n-1)Cnn,
дійсно, скорочення таблиці покриттів при пошуку всіх безнадлишкових ДНФ не відрізняється від відповідного її скорочення при пошуку всіх без надлишкових ДНФ.
Наведені формули дозволяють оцінити об'єм пам'яті й час реалізації для алгоритмів перетворення форм булевих функцій у диз’юнктивну нормальну форму.
Контрольні запитання
Як виконується перевірка покриття інтервалу об'єднанням інтервалів на основі операції віднімання?
У чому посягає процедура розширення інтервалу в заданому об'єднанні інтервалів до максимального?
Які кроки містить процедура розширення інтервалу в заданому об'єднанні інтервалів до максимального?
Що такє ядерність інтервалу?
У чому полягає перевірка інтервалу на ядерність?
Які кроки містить алгоритм перевірки інтервалу на ядерність?
Як повинна виконувитися перевірка надмірності інтервалу в об'єднанні інтервалів?
Як використовуються розглянуті оцінки складності представлення форм булевих функцій?
Як визначаються розглянуті максимальна й типова складність зробленої ДНФ?
Як визначаються розглянуті максимальна й типова складність скороченої ДНФ?
Як визначаються розглянути максимальна й типова складність найкоротшої ДНФ?
Яка формула відносини складності довільної безнадлишкової ДНФ і найкоротшої ДНФ?
Якою формулою оцінюється число безнадлишкових ДНФ для майже всіх булевих функцій?
Як оцінюється число найкоротших ДНФ?
Список літератури
Основна
Новоселов В.Г., Скатков А.В. Прикладная математика для инженеров-системотехников. Дискретная математика в задачах и примерах. – К.: Учебно-методический кабинет высшего образования, 1992. - С.190-196.
Додаткова
Горбатов В.А. Основы дискретной математики. – М.: Высшая школа, 1986. – С.25-31.
Для практичних занять
Методичні вказівки і завдання до контрольних робіт з дисципліни «Основи дискретної математики» для студентів очної та заочної форм навчання фахів 6.0804, 6.0915 / О.М. Мартинюк. – Одеса: ОНПУ, 2004. - ч.2. – С.75-76.
Лекція 34. Булеві рівняння й нерівності
Вступ
Лекція має за мету дати базові методи розв’язання систем булевих рівнянь і нерівностей. Розглянуто основні визначення, зокрема, нове поняття булевих рівняннь й нерівностей, представлена можливість одержання еквівалентних рівнянь у диз'юнктивній і кон'юнктивній формах, показані розв’язання рівнянь і нерівностей. Звернено увагу також і на спільне розв’язання систем рівнянь і нерівностей.
У лекції присутні три підрозділи:
Булеві рівняння
Булеві нерівності
Спільні системи нерівностей і рівнянь