Список літератури Основна

1. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб.: Питер, 2001. - С.33-38.

2. Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. – М.: Наука, 1990. - С.43-46.

3. Глушков В.М., Цейтлин Г.Е., Ющенко Е.Л. Алгебра, языки, программирование. – К.:Наукова думка, 1989. - С.35-44.

4. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. – К.: Техника, 1975. - С.97-115.

5. Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. – М.: Энергоатом-издат, 1987. - С.62, 63.

Додаткова

6. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. – М.: Высш.шк., 1986. - С.13-20.

7. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир, 1976. - С.42-46.

Для практичних занять

8. Методичні вказівки і завдання до контрольних робіт з дисципліни «Основи дискретної математики» для студентів очної та заочної форм навчання фахів 6.0804, 6.0915 / О.М. Мартинюк. – Одеса: ОНПУ, 2001. – С.14-16.

Лекція 7. Основні властивості відношень

Вступ

Лекція має за мету висвітлити поняття основних властивостей для n-арних відношень. Розглянуто властивості, що є успадкованими від відповідностей, а також власні властивості відношень. Звернено повагу на особливості успадкування, а також на чотири групи властивостей n-арних відношень – рефлексивність, симетричність, транзитивність, зв’язність, деякі з котрих визначені через бінарні відношення.

У лекції присутні два підрозділи:

1. Успадковані властивості відношень

2. Спеціальні властивості відношень

7.1. Успадковані властивості відношень

Нехай ⁿ - відношення на множинах А₁, А₂, ..., А_n із графіком

ⁿ_{A1, ..., An}= a₁ⁱ¹, a₂ⁱ¹, ... a_nⁱ¹

a₁ⁱ² a₂ⁱ², ... a_nⁱ²

.................................

a₁^ir a₂^ir, ... a_n^ir

Визначення. Проекцією відношення ⁿ на множину А_j (при будь-якому j=1, 2, ..., n), називається множина рr_j(ⁿ)={a_jⁱ¹, a_jⁱ², a_j^ir}A_j всіх елементів j-го стовпця матриці ⁿ_{1, An}, тобто проекція відношення ⁿ на множину А_j – це сукупність j-х компонент усіх векторів відношення ⁿ.

Визначення. Перерізом (січенням) S^(j)a₁^і…,a_j-1ⁱ,a_j+1ⁱ,…,a_nⁱ відношення ⁿ по елементах a₁^і…,a_j-1ⁱ,a_j+1ⁱ,…,a_nⁱ називається множина всіх елементів a_j^irA_j, для яких виконується ⁿ(a₁^і…,a_j-1ⁱ,a_jⁱ,a_j+1ⁱ,…,a_nⁱ), тобто S^(j)a₁^і…,a_j-1ⁱ,a_j+1ⁱ,…,a_nⁱ(ⁿ)={a_j^ir| ⁿ(a₁ⁱ,…,a_j-1ⁱ,a_j+1ⁱ,…,a_nⁱ)}, де j=1, 2,…,n.

Нехай A_j/ⁿ={S^(j)а₁^і…,a_j-1ⁱ,a_j+1ⁱ,…,a_nⁱ(ⁿ)}–множина Перерізів відношення ⁿ по всяких сукупностях (а₁^і…,a_j-1ⁱ,a_j+1ⁱ,…,a_nⁱ) А₁А₂…А_j-1A_j+1…A_n. Множина A_j/ⁿ називається фактор-множиною A_j по відношенню ⁿ. Замість однієї послідовності (а₁^і…,a_j-1ⁱ,a_j+1ⁱ,…,a_nⁱ) можна розглядати їхню сукупність Х={(а₁^ir…,a_j-1^ir,a_j+1^ir,…,a_n^ir)r=1,2,…,k}... Переріз S^(j)_X(ⁿ) відношення по сукупності Х є об'єднанням перерізів відношення ⁿ по всіх послідовностях, що входять у Х: S^(j)_X(ⁿ)=_r=1^k (S^(j)а₁^ir…,a_j-1^ir,a_j+1^ir,…,a_n^ir(ⁿ)).

Приклад. Нехай відношення ³ на множинах А={a₁, a₂}, BB={b₁, b₂, b₃} і C={0,1}, що е ³  АBC, визначено з допомогою матриці

³= a1, b1, 0

a1, b2, 0

a2, b1, 1

a2, b2, 1

a2, b2, 0,

тоді pr₁(³⁾=A, pr₂(³⁾={b₁, b₂}, pr₃(³⁾=C,

S⁽¹⁾_b2,0(³⁾={a₁,a₂}, S⁽²⁾_a1,0(³⁾={b₁,b₂},

C/³={S⁽³⁾a₁,b₁, S⁽³⁾a₂,b₁, S⁽³⁾a₁,b₂, S⁽³⁾a₂,b₂, S⁽³⁾a₁,b₃, S⁽³⁾a₂,b₃},

для множини X={(a₁, b₁),(a₂, b₁)} S⁽³⁾_X(³⁾=S⁽³⁾a₁,b₁ S⁽³⁾a₂,b₁=C.

Визначення. Відношення ⁿ на множинах А₁, А₂,…,А_n називається функціональним при відображенні його в бінарне відношення ² на множинах (А₁ А₂…А_n) і А_n, якщо для кожної послідовності елементів (а₁^і…,a₂ⁱ,…,a_n-1ⁱ)А₁А₂…А_n-1 переріз S⁽ⁿ⁾a₁^і, a₂ⁱ,…,a_n-1ⁱ(ⁿ) містить не більше одного елемента a_nⁱ)А_n.

Визначення. Якщо для будь-якої послідовності (а₁^і, a₂ⁱ,…,a_n-1ⁱ)  А₁А₂…A_n-1 переріз S⁽ⁿ⁾а₁^і, a₂ⁱ,…,a_n-1ⁱ(ⁿ)-непорожній, то ⁿ є скрізь визначеним відношенням при відображенні його в бінарне відношення ² на множинах (А₁ А₂…A_n-1) і А_n.

Визначення. Якщо переріз S⁽ⁿ⁾_X(ⁿ) по сукупності Х=А₁А₂…А_n-1 дорівнює множині А_n, то ⁿ є сюр’єктивним відношенням при відображенні його в бінарне відношення ² на множинах

(А₁ А₂…А_n-1) і А_n.

Визначення. Якщо для будь-яких двох послідовностей елементів (а₁^і, a₂ⁱ,…,a_n-1ⁱ),(а₁^j, a₂^j,…,a_n-1^j)А₁А₂…А_n-1 пересічення перерізів S⁽ⁿ⁾а₁^і, a₂ⁱ,…,a_n-1ⁱ(ⁿ)S⁽ⁿ⁾а₁^j, a₂^j,…,a_n-1^j(ⁿ)=, то ⁿ є ін’єктивним відношенням при відображенні його в бінарне відношення ² на множинах (А₁ А₂…А_n-1) і А_n.

Відношення ⁿ є бієктивним при відображенні його в бінарне відношення ² на множинах (А₁ А₂…А_n-1) і А_n, якщо ⁿ скрізь визначене, функціональне, ін’єктивне і сюр’єктивне при відображенні його в бінарне відношення ² на множинах (А₁А₂…А_n-1) і А_n.

Приклад. Нехай існують множини А = {a, b}, B = {1, 2}, C = {I, II, III}. Тернарне відношення R³_A,B,C = {(a, 1, II), (b, 2, I), (a, 2, III), (b, 1, I ))} відображається у бінарне відношення R_(A,B),C = {((a, 1), II), ((b, 2), I), ((a, 2), III), ((b, 1), I)}, що є скрізь визначеним, сюр’єктивним, функціональним, неін’єктивним, і, отже, не бієктивним.

Визначення. Нехай ⁿ – функціональне відношення на множинах А₁,…,А_n при відображенні його в бінарне відношення ² на множинах (А₁А₂…А_n-1) і А_n. Функція F_n(x₁,…,x_n-1) називається зв'язаною з відношенням ⁿ, якщо кожна її змінна х_і приймає значення з множини А_і, де і=1, 2,…, n-1, а також F_n(а₁, a₂,…, a_n-1)=S⁽ⁿ⁾а₁, a₂,…, a_n-1(ⁿ) для будь-якого набору (а₁, a₂,…, a_n-1)А₁A₂…А_n-1.

Приклад. Нехай тернарне відношення ³_A,B,C = {(a, 2, II), (b, 1, I), (c, 1, III)} на множинах A = {a, b, c}, B = {1, 2}, C = {I, II, III} відображається у бінарне відношення ²_(A,B),C = {((a, 2), II), ((b, 1), I), ((c, 1), III)} на множинах AB = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} і C = {I, II, II}. Тоді з відношенням ³ зв’язана функція F_3(x₁, x₂), у якої x₁A, x₂B, x₃C, F_3(a,2)= S⁽³⁾a,2(³)= II, F_3(b,1)= S⁽³⁾b,1(³)= I, F_3(c,1)= S⁽³⁾c,1(³)= III. Для інших наборів з AB функція F_3(x₁, x₂) дає .

Якщо відношення ₁^m, ₂^m,…, _n-1^m, ⁿ – функціональні і з ними зв'язані функції F_1^m, F_2^m,…,F_n-1^m,F_ⁿ відповідно, то суперпозиція ⁿ(₁^m, ₂^m,…,_n-1^m) також є функціональним відношенням. З суперпозицією ⁿ(₁^m, ₂^m,…,_n-1^m) зв'язана суперпозиція функцій F_ⁿ(F_1^m, F_2^m,…,F_n-1^m).

Лема. Суперпозиція скрізь визначених функціональних відношень також є скрізь визначеним функціональним відношенням.

Нехай  - бінарне відношення на множинах А, В.

Визначення. Відношення  називається відображенням множини А у В, якщо - функціонально й скрізь визначено, тобто для будь-якого аА Переріз S_a() – не порожній і містить один елемент s_a()=bB.

Елемент b=(a) (або b=(a)) називається образом елемента а в множині B при відображенні , елемент а – прообразом елемента b.

Визначення. Сукупність всіх аА таких, що (а)=b, називається повним прообразом елемента b в А при відображенні .

Визначення. Відображення  множини А в В називається відображенням А на В, якщо воно володіє також і властивістю сюр’єктивності.

Приклад. Нехай є множини A = {a, b, c}, B = {1, 2}, і відношення  задається графіком _A,B = {(a, 2), (b, 1), (c, 2)}. Тоді  є відображенням A на B, образ елемента b є 1, тобто (a)=1, прообраз елемента 2 є множиною {a, c}, тобто ^-1(2)={a, c}.

Лема. Відображення  множини А на множину В – взаємно однозначне (бієктивне), якщо воно також ін’єктивне.

Зокрема, взаємно однозначним відображенням А на А є діагональне відношення _А, що часто називають тотожним відображенням А в себе.

Теорема. Відображення  множини А на множину В взаємо-однозначне (у цьому випадку множини А і В – еквівалентні) тоді і тільки тоді, коли ^_,  ^-  _, де _, _ - тотожні відображення множин А и В відповідно.

Наслідок. Якщо А=В, то відношення  - взаємно однозначне відображення множини А на себе тоді і тільки тоді, коли ^ ^-=_.

Приклад. Відображення  множини A = {a, b, c} на множину B = {1, 2, 3} з графіком _A,B ={(a, 3), (b, 1), (c, 2)} є взаємно однозначне, ^ _ ={a, b, c},  ^-  _ ={1, 2, 3}.