- •Одеса Наука і техніка 2006
- •Розділ 1. Теорія множин і алгебраїчних систем
- •1.1. Основні поняття і завдання множин
- •1.2. Операції над множинами. Формули. Тотожності
- •1.3. Доведення тотожностей. Булева алгебра множин
- •1.4. Узагальнення операцій. Подвійність
- •Спісок літератури: Основна
- •2.1. Рівняння
- •2.2. Покриття і розбивки
- •2.3. Потужність множин. Зчисленні і континуальні множини
- •Список літератури Основна
- •3.1. Упорядковані множини
- •3.2. Графіки
- •Список літератури Основна
- •4.1. Відповідності
- •4.2. Образи і прообрази
- •4.3. Відображення і діаграми
- •Список літератури Основна
- •5.1. Основні поняття відношень
- •5.2. Множинні операції відношень
- •Список літератури Основна
- •6.1. Перестановка, ототожнення, приписування фіктивної координати
- •6.2. Згортка де Моргана, суперпозиція
- •Список літератури Основна
- •7.1. Успадковані властивості відношень
- •7.2. Спеціальні властивості відношень
- •Список літератури Основна
- •8.1. Еквівалентність
- •8.2. Порядок
- •8.3. Толерантність
- •8.4. Квазіпорядок
- •Список літератури Основна
- •9.1. Замикання відношень
- •9.2. Спеціальні функції
- •9.2.1. Підстановки
- •9.2.2. Послідовності
- •9.2.3. Функціонали
- •9.2.4. Функції, що зберігають алгебраїчні властивості
- •9.3. Операції
- •9.3.1. Загальні визначення операцій
- •9.3.2. Властивості операцій
- •Список літератури Основна
- •10.1 Композиція об'єктів
- •10.2. Внутрішній закон композиції
- •11.1 Алгебраїчні системи (моделі)
- •11.2. Групи підстановок і кільце множин
- •Розділ II. Комбінаторика
- •12.1. Вибірка елементів
- •12.2. Правило суми і добутку
- •12.3. Перестановки
- •12.4. Сполучення
- •12.5. Рекурентні співвідношення
- •12.6. Біном Ньютона
- •Список літератури Основна
- •13.1. Поліноміальні твірні функції
- •13.2. Експонентні твірні функції
- •13.3. Принцип включення і виключення
- •13.4. Розбивки
- •Список літератури Основна
- •Розділ III. Графи
- •14.1. Основні визначення
- •14.2. Способи представлення графів
- •Список літератури Основна
- •15.1. Основні визначення (продовження)
- •15.2. Зважені (відзначені) графи
- •Список літератури Основна
- •16.1. Операції над графуми
- •16.2. Властивості базових операцій над графами
- •Список літератури Основна
- •17.1. Чисельні характеристики графів
- •17.1.1. Ступінь вершин
- •17.1.2. Цикломатичне число
- •17.1.3. Хроматичне число
- •17.1.4. Множина внутрішньої стійкості
- •17.1.5. Множина зовнішньої стійкості
- •17.2. Представлення графів у пам'яті еом
- •Список літератури Основна
- •Розділ IV. Скінченні автомати
- •18.1. Абстрактний автомат
- •18.2. Способи завдання автоматів
- •18.2.1. Табличний спосіб
- •18.2.2. Графічний спосіб
- •18.3. Розширення функцій і
- •Список літератури Основна
- •19.1. Синхронні й асинхронні автомати
- •19.2. Асинхронні автомати, що тактуються
- •19.3. Перетворення автоматів Мілі і Мура
- •19.3.1. Перетворення автомата Мура в автомат Мілі
- •19.3.2. Перетворення автомата Мілі в автомат Мура
- •19.4. Сполучена модель автоматів – с-автомат
- •Список літератури Основна
- •20.1. Композиція автоматів
- •20.1.1. Рівнобіжне з'єднання
- •20.1.2. Послідовне з'єднання двох автоматів
- •20.1.3. З'єднання зі зворотним зв'язком
- •20.2. З'єднання автоматів з вихідною функцією
- •Список літератури Основна
- •21.1. Мережі автоматів
- •21.2. Еквівалентні автомати мережі
- •Список літератури Основна
- •Розділ V. Булева алгебра
- •22.1. Логічні функції
- •22.2. Булеві функції
- •22.3. Логічні формули
- •Список літератури Основна
- •23.1. Способи завдання булевих функцій
- •23.1.1. Табличний спосіб
- •23.1.2. Аналітичний спосіб Нормальні форми
- •23.1.3. Геометричний спосіб
- •23.1.4. Чисельний спосіб
- •23.2. Приведення формул булевої алгебри до досконалої форми
- •Список літератури Основна
- •24.1. Булева алгебра
- •24.2. Спрощення запису формул
- •24.3. Подвійність формул булевої алгебри
- •24.4. Булева алгебра множин
- •Список літератури Основна
- •25.1. Алгебра Жегалкіна
- •25.2. Типи булевих функцій
- •25.3. Функціональна повнота
- •25.4. Логічні (перемикальні) схеми
- •25.5. Канонічна задача синтезу логічних схем
- •Список літератури Основна
- •26.1. Графічний метод мінімізації булевих функцій
- •26.2. Табличний метод мінімізації
- •Список літератури Основна
- •27.1. Аналітичні методи мінімізації
- •27.1.1. Комплекс кубів
- •27.1.2. Постановка задачі
- •27.2. Метод Квайна
- •27.3. Алгебраїчний метод одержання мінімального покриття (алгоритм Петрика)
- •Список літератури Основна
- •28.1. Метод Квайна-МакКласкі
- •28.2. Мінімізація частково визначених функцій
- •Список літератури Основна
- •29.1 Основні визначення
- •29.2 Інтервальне представлення в матричній формі
- •29.3. Спрощення днф за матричною формою Закревського
- •30.1. Формулювання алгоритму побудови максимальних інтервалів для точки
- •30.2. Алгоритм для днф
- •30.3. Метод Блейка
- •31.1. Основні визначення
- •32.2. Використання системи булевих функцій для синтезу кс
- •31.3 Точний метод мінімізації систем булевих функцій Барті-Полянського
- •31.4. Інтуїтивний метод спрощення системи днф за матричною формою
- •32.1. Інтервальне представлення в еом
- •32.2. Основні операції над інтервальним представленням
- •33.1. Використання операцій інтервального представлення
- •33.2. Метричні властивості диз'юнктивної нормальної форми
- •34.1 Булеві рівняння
- •34.2. Булеві нерівності
- •34.3. Спільні системи нерівностей і рівнянь
- •35.1. Властивості булевой різниці
- •35.2. Методи знаходження булевой різниці
- •35.3. Подвійна булева різниця
- •35.4. Булеві похідні й диференціали
- •36.1. Висловлення предикатів
- •36.2. Логіка предикатів
- •36.3. Правила застосування кванторів
- •Список літератури Основна
- •Список літератури
- •Вступ 3
- •1. Теорія множин і алгебраїчних систем 4
- •2. Комбінаторика 65 Лекція 12. Комбінаторика. Базові методи 65
- •3. Графи 78
- •4. Скінченні автомати 101
- •5. Булева алгебра 123 Лекція 22. Булеві функції 123
33.1. Використання операцій інтервального представлення
33.1.1. Покриття інтервалу об'єднанням інтервалів операцієй віднімання
Для використання операції «#» здійснюється віднімання з вихідного інтервалу елементів об'єднання інтервалів. Якщо після всіх віднімань є порожня множина, вихідний інтервал покривається об'єднанням інтервалів.
Приклад
Вихідний інтервал Задане об'єднання інтервалів
1 ~ 1 ~ 1 0 ~ 0
~ 1 1 0
1 1 ~ 1
~ 0 1 1
Послідовна процедура перевірки поглинання дає
1~1~ # 10~0 = 111~
1011
Таблиця 33.1
|
|
|
|
X2 |
x2 |
|
|
|
x1 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3| |
|
|
|
|
x4| |
x3| |
|
|
|
|
x4| |
|
|
|
|
|
111~ # ~110 = 1111 1011 1011
Таблиця 33.2
|
|
|
|
x2 |
x2 |
|
|
|
x1 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3| |
|
|
|
|
x4| |
x3| |
|
|
|
|
x4| |
|
|
|
|
|
1111 # 11~1 = 1011
1011
Таблиця 33.3
|
|
|
|
x2 |
x2 |
|
|
|
x1 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3| |
|
|
|
|
x4| |
x3| |
|
|
|
|
x4| |
|
|
|
|
|
1011 # ~011 =
Таблиця 33.4
|
|
|
|
x2 |
x2 |
|
|
|
x1 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3| |
|
|
|
|
x4| |
x3| |
|
|
|
|
x4| |
|
|
|
|
|
Інтервал 1~1~ поглинається заданим об'єднанням інтервалів.
33.1.2. Розширення інтервалу в заданому об'єднанні інтервалів до максимального
Ця процедура в загальному випадку неоднозначна й залежить від обраної послідовності розгляду зовнішніх змінних інтервалу:
Вибирається чергова зовнішня змінна розширюваного інтервалу.
Проводиться симетрування розширюваного інтервалу по обраної зовнішній змінній і перевірка поглинання симетрованого інтервалу заданим об'єднанням інтервалів.
Якщо симетрований інтервал поглинається, то в розширюваному інтервалі обрана змінна переводиться із зовнішніх у внутрішні, інакше не переводиться. Якщо ще не всі зовнішні змінні розглянуті, то перетворення виконується спочатку, інакше побудований розширюваний інтервал - максимальний.
Приклад
Вихідний інтервал Вихідне об'єднання інтервалів
1 0 1 ~ 1 0 1 ~
1 1 ~ 0
1 1 ~ 1
~ 1 ~ 1
Перевірка можливості розширення по змінній х1:
001~ # 11~0 = 001~
001~ # ~1~1 = 001~
Таблиця 33.5
|
|
|
|
x2 |
x2 |
|
|
|
x1 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3| |
|
|
|
|
x4| |
x3| |
|
|
|
|
x4| |
|
|
|
|
|
Перевірка можливості розширення по змінній х2:
111~ # 11~0 = 1111
1111 # ~1~1 =
Таблиця 33.6
|
|
|
|
x2 |
x2 |
|
|
|
x1 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3| |
|
|
|
|
x4| |
x3| |
|
|
|
|
x4| |
|
|
|
|
|
Вихідний інтервал розширюється 1~1~.
Перевірка можливості розширення по змінній х3:
1~0~ # 11~0 = 100~
1101
100~ # ~1~1 = 100~
Таблиця 33.7
|
|
|
|
x2 |
x2 |
|
|
|
x1 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3| |
|
|
|
|
x4| |
x3| |
|
|
|
|
x4| |
|
|
|
|
|
Побудовано максимальний інтервал 1~1~.
Можлива неоднозначність розширення вихідного інтервалу до максимального.
Приклад. Вихідний інтервал Задане об'єднання інтервалів
1 0 0 1 ~ 1 0 0 1 0
1 ~ 0 0 0
0 0 0 ~ 0
~ 0 1 ~ 0
1 0 1 ~ 1
1 ~ 0 1 1
Таблиця 33.8
|
|
|
|
|
|
x3 |
x3 |
x3 |
x3 |
|
|
|
|
x2 |
x2 |
x2 |
x2 |
|
|
|
|
|
x1 |
x1 |
|
|
x1 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4| |
|
|
|
|
|
|
|
|
x5| |
x4| |
|
|
|
|
|
|
|
|
x5| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перша послідовність розгляду змінних х1х2х3х4х5, друга – х5х4х3х2х1. Нижче показані тільки ті перетворення, які приводять до розширень:
по х1: 00010 # 000~0 = , розширення ~0010;
по х3: ~0110 # ~01~0 = , розширення ~0~10;
по х4: ~0~00 # 1~000 = 00~00
10100;
00~00 # 000~0 = 10100;
10100
10100 # ~01~0 = , розширення ~0~~0.
Заміна інтервалу 10010 в об'єднанні інтервалів на розширений максимальний інтервал скорочує об'єднання інтервалів, забираючи поглинені інтервали.
Скорочене об'єднання інтервалів
~ 0 ~ ~ 0
1 ~ 0 0 0
1 0 1 ~ 1
1 ~ 0 1 1
Таблиця 33.9
|
|
|
|
|
|
x3 |
x3 |
x3 |
x3 |
|
|
|
|
x2 |
x2 |
x2 |
x2 |
|
|
|
|
|
x1 |
x1 |
|
|
x1 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4| |
|
|
|
|
|
|
|
|
x5| |
x4| |
|
|
|
|
|
|
|
|
x5| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для іншого варіанта розширення:
по х5: 1001~ # 1~011 = , розширення 1001~;
по х3: 1011~ # ~01~0 = 10111
10111 # 101~1 = , розширення 10~1~.
Заміна інтервалу 10010 в об'єднанні інтервалів на розширений максимальний інтервал 10~1~ до скорочення не приводить.
1 0 ~ 1 ~
1 ~ 0 0 0
0 0 0 ~ 0
~ 0 0 ~ 0
1 0 1 ~ 1
1 ~ 0 1 1
Таблиця 33.10
|
|
|
|
|
|
x3 |
x3 |
x3 |
х3 |
|
|
|
|
x2 |
x2 |
x2 |
x2 |
|
|
|
|
|
x1 |
x1 |
|
|
x1 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4| |
|
|
|
|
|
|
|
|
x5| |
x4| |
|
|
|
|
|
|
|
|
x5| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33.1.3. Перевірка інтервалу на ядерність
Пошук ядерних інтервалів (екстремалей) дозволяє одержати більше компактне об'єднання інтервалів для булевої функції й навіть скоротити сам процес спрощення об'єднання інтервалів (спрощення ДНФ). При пошуку ядерного інтервалу за матричною формою використана така властивість: ядерний інтервал повинен містити хоча б один набір, всі сусіди якого перебувають теж у цьому інтервалі. За матричною формою, користуючись симетрією, досить перевірити сусідів точки, що розглядається.
Для векторного інтервального представлення змінюють правило перевірки: повинен бути в інтервалі хоча б один набір, для якого немає сусідів поза даним інтервалом.
Алгоритм перевірки інтервалу на ядерність такий:
Вибирається черговий інтервал і розширюється до максимального I (по будь-якого послідовності змінних), якщо максимальний інтервал буде ядерним, то він буде єдиним (об'єднання інтервалів дорівнює I).
Інтервал I симетруеться по черговій зовнішньої змінній й отриманий Iс Перерізається з кожним інтервалом об'єднання. Якщо перетин не порожньо, то результат перетин Iсi = Iс Ii симетруеться по розглянутій змінній і віднімається із симетрованого інтервалу. Така процедура виконується для всіх Ii, що належать об'єднанню інтервалів по всіх зовнішніх змінних інтервалу I. Якщо після виконання всіх перетворень Iсi , то інтервал I – ядерний, у ньому найшлися набори, що належать симетрованому інтервалу, які не мають сусідів поза інтервалом I.
Приклад. Нехай I = ~01~0. I розширюється до максимального:
по х2 розширення неможна;
по х3: ~00~0 # 000~0 =100~0
100~0 # 1~000 =10010
10010 # 10~1~ =(, розширення ~0~~0;
по х5 розширення неможна.
I = ~0~~0 - це максимальний інтервал.
Скорочене об'єднання інтервалів
1 0 ~ 1 ~ I1
1 ~ 0 0 0 I2
~ 0 ~ ~ 0 I
1 0 1 ~ 1 I3
1 ~ 0 1 1 I4
Таблиця 33.11
|
|
|
|
|
|
x3 |
x3 |
x3 |
X3 |
|
|
|
|
x2 |
x2 |
x2 |
x2 |
|
|
|
|
|
x1 |
x1 |
|
|
x1 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4| |
|
|
|
|
|
|
|
|
x5| |
x4| |
|
|
|
|
|
|
|
|
x5| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зовнішні змінні інтервалу I = ~0~~0 – це х2 і х5.
Симетрований інтервал ~0~~0.
Вибирається змінна х2: Iс = ~1~~0
Iс I2 = ~ 1 ~ ~ 0
1 ~ 0 0 0
1 1 0 0 0
Симетрований інтервал дорівнює
~0~~0 # 10000 = 0 0 ~ ~ 0
1 0 1 ~ 0
1 0 0 1 0
З іншими інтервалами I1, I3, I4 перетини порожні.
Вибирається змінна х5: Iс = ~0~~1
Iс I1 = ~ 0 ~ ~ 1
1 0 ~ 1 ~
1 0 ~ 1 1
Симетрований інтервал дорівнює
~0~~0 # 10~10 = 0 0 ~ ~ 0
101~0 1 0 1 0 0
10010
Iс I3 = ~ 0 ~ ~ 1
1 0 1 ~ 1
1 0 1 ~ 0
Симетрований інтервал дорівнює:
00~~0 # 101~0 = 0 0 ~ ~ 0
10100
Iс I4 = ~ 0 ~ ~ 1
1 ~ 0 1 1
1 0 0 1 1
Симетрований інтервал дорівнює:
00~~0 # 10010 = 0 0 ~ ~ 0
Набори інтервалу 00~~0 не мають сусідів поза інтервалом I = ~0~~00, отже, інтервал I - ядерний.
33.1.4. Перевірка надмірності інтервалу в об'єднанні інтервалів
Якщо всі набори деякого інтервалу I, що входить в об'єднання інтервалів, покриваються сукупністю інших елементів об'єднання інтервалів, то інтервал I надлишковий і може бути вилучений. Перевірка надмірності зводиться до віднімання з I інших інтервалів й якщо різниця виявилася порожньою, то інтервал I - надлишковий.
Приклад. Нехай I =10~1~ в об'єднанні інтервалів надлишковий:
Для симетрованого інтервалу:
10~1~ # ~0~~0 = 1 0 ~ 1 1
10~11 # 101~1 = 1 0 0 1 1
10011 # 1~011 = ,
що доводить надмірність інтервалу I.
Скорочене об'єднання інтервалів
1 ~ 0 0 0
~ 0 ~ ~ 0
1 0 1 ~ 1
1 ~ 0 1 1
Таблиця 33.12
|
|
|
|
|
|
x3 |
x3 |
x3 |
X3 |
|
|
|
|
x2 |
x2 |
x2 |
x2 |
|
|
|
|
|
x1 |
x1 |
|
|
x1 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4| |
|
|
|
|
|
|
|
|
x5| |
x4| |
|
|
|
|
|
|
|
|
x5| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|