Список літератури Основна

1. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб.: Питер, 2001. - С.42-47.

2. Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. – М.: Наука, 1990. - С.46-64.

3. Глушков В.М., Цейтлин Г.Е., Ющенко Е.Л. Алгебра, языки, программирование. – К.:Наукова думка, 1989. -С.50-56.

4. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. – К.: Техника, 1975. - С.115-137.

5. Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. – М.: Энергоатом-издат, 1987. - С.63- 66.

Додаткова

6. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. – М.: Высш.шк., 1986. -С.13-20.

7. Лапа В.Г. Математические основы кибернетики. – К.: Вища шк., 1974. - С.26-30.

8. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир, 1976. - С.46-54.

Для практичних занять

9. Методичні вказівки і завдання до контрольних робіт з дисципліни «Основи дискретної математики» для студентів очної та заочної форм навчання фахів 6.0804, 6.0915 / О.М. Мартинюк. – Одеса: ОНПУ, 2001. – С.17-18.

Лекція 9. Замикання. Спеціальні функції. Операції

Вступ

Лекція має за мету навести поняття замикань, спеціальних функцій і операцій. Розглянути транзитивне і рефлексивне замикання відношень і отримання замикань за допомогою методу Варшалла. Також розглянути спеціальні функції: підстановки, послідовності, функціонали та функції, що зберігають алгебраїчні властивості і структури. Звернено повагу до операцій, у тому разі і до інфіксної, префіксної та постфіксної форм запису операцій, а також до властивостей операцій.

Лекція містить три підрозділи:

1. Замикання відношень

2. Спеціальні функції

3. Операції

9.1. Замикання відношень

Визначення. Транзитивним замиканням R⁺ відношення R називається Перетин всіх транзитивних відношень, що містять R як підмножину.

Визначення. Рефлексивним (і транзитивним) замиканням R* відношення R називається Перетин всіх рефлексивних і одночасне транзитивних відношень, що містять R як підмножину.

Справедливі рівності:

1. R*=E_R^

2. R^=(х, у)²|в графі відношення R існує шлях з х в у.

Слід зазначити, що перетин R^ є транзитивним відношенням, а R* - рефлексивним і транзитивним. Якщо множина А кінцева, то рефлексивне і транзитивне замикання відношення R може бути отримане за допомогою методу Варшалла:

рефлексивне замикання: R*=R_R(RR)RRR),

транзитивне замикання: R^=R(RR)(RRR)

де R_=E_, =n, в останній операції композиції присутні n членів-відношень R.

Визначення. Нехай А - множина, n і ⁿ, A, G) - відповідність. Підмножина А множини А називається замкнутою щодо відповідності , якщо ((А)ⁿ).

Лема. Для кожної підмножини А множини А існує єдина підмножина А множини А, що є найменшою надмножиною відносно А і що замкнута до відповідності , така надмножина А зветься -замиканням А чи замиканням А відносно .

Лема. Справедлива рівність А=^|А^ і множина А^ - замкнута відносно відповідності , тому що, якщо А^ і А^ - замкнута відносно , то А^.

Однозначність -замикань використовується при індуктивних визначеннях, щоб задати деяку множину А, елементи якої задовольняють дані умови, цілком описують деяку підмножину А цієї множини і визначають усю множину А як замикання А щодо деяких операцій.

Приклад. М=Р(А) і =(М², М, G) - така відповідність, що кожним двом підмножинам А і  множини А зіставляє три множини А А і А\А. Сім’я множин, що містить  і всі скінченні підмножини множини А замкнути відносно .

Приклад. А=В² і =(А², А, ((х, у), (у, z)), (х , z)) | х, у, z . Для будь-якого відношення  на В у цьому випадку ^ - замикання  відносно .