11.1 Алгебраїчні системи (моделі)

11.1.1. Основні визначення

Визначаючи на деякій множині S один або два закони композиції й наділяючи їхніми певними властивостями, а також задаючи структуру множини щодо законів композиції (наявність нейтрального елемента й можливість множини симетруватися), можна одержати різні алгебраїчні системи (структури або моделі). Найбільше зручні з них наведені в табл. 11.1, де зірочка (*) указує на те, що даний закон має відзначені властивості і множина містить щодо цього закону відповідні елементи.

Визначення. Група - це наділена асоціативним законом множина, що містить нейтральний елемент і симетрується щодо цього закону. Якщо, крім того, закон композиції комутативний, то групу називають абелевою (комутативною).

У всякій групі відношення (рівняння) a T x = b й y T a = b допускають єдине розв’язання х = а T b (частка праворуч) і у = b Т а (частка ліворуч). Має місце також відношення (а T b) = b Т а або -(а + b) = -b -а (в адитивному запису) і (а • b)^-1 = b^-1 • а^-1 (у мультиплікативному запису).

Визначення. Кільце - це множина, наділена двома законами композиції: щодо першого (адитивного) воно утворює абелеву групу, а другий закон (мультиплікативний) є асоціативним, а також дистрибутивним щодо першого закону.

Визначення. Тілом називають кільце з одиницею, в якому кожен відмінний від нуля елемент володіє симетричним щодо другого (мультиплікативного) закону.

Визначення. Поле - це комутативне тіло.

Алгебраїчні системи дозволяють виявити властивості операцій на множинах об'єктів різної природи, використовувані при розв’язанні технічних задач. З наведених систем найбільш широкими поняттями є моноід і група, а найбільш вузькими - тіло й поле.

Алгебраїчні системи (моделі) Таблиця 11.1

Назва алгебраїчних систем	Перший закон (адитивний)				Другий закон (мультиплікативний)
	Властиво-сті		Елементи		Властиво-сті		Елементи
	Асоціа-тивність	Комута-тивність	Нейтраль-ний	Симет-ричний	Асоціа-тивність	Комутати-вність	Нейтраль-ний	Симет-ричний
Півгрупа (моноїд)	*
Абелева (комутативна) півгрупа	*	*
Півгрупа з нулем (одиницею)	*		*
Абелева півгрупа з нулем (одиницею)	*	*	*
Група	*		*	*
Абелева (комутативна) група	*	*	*	*
Асоціативне кільце	*	*	*	*	*
Абелево (комутативне) кільце	*	*	*	*	*	*
Кільце з одиницею (унітарне кільце)	*	*	*	*	*		*
Абелево кільце з одиницею	*	*	*	*	*	*	*
Тіло	*	*	*	*	*		*	*
Поле (комутативне тіло)	*	*	*	*	*	*	*	*

Примітки.

1. Другий закон композиції, якщо він визначений, є дистрибутивним ліворуч і праворуч щодо першого закону.

2. Симетричні елементи щодо другого закону визначені для всіх елементів, крім нейтрального елемента щодо першого закону (нуля).

11.1.2. Підсистеми

Визначення. Усяку частину системи, що знову є системою щодо тих же законів, називають підсистемою.

Зокрема, усяка підгрупа повинна містити нейтральний елемент групи. Підкільце утворить підгрупу адитивної групи кільця й замкнуто щодо мультиплікативного закону.

Визначення. Підкільце I абелева кільця К називається ідеалом (у цьому кільці), якщо I є адитивна підгрупа кільця. Композиції будь-яких елементів а й b з I щодо першого закону також належать I, тобто а+b  I й а-b  I. В результаті застосування до елемента з I і будь-якого елемента з К другого закону виходить елемент із I, тобто для будь-яких а  I і х  K має місце а • х  I).

Приклад. Множина парних чисел є ідеал у кільці цілих чисел, розглянутому як адитивна група, а другим законом є операція множення (добуток парного числа на будь-яке ціле число дає парне число).

11.1.3. Дільники нуля

Якщо деякій парі елементів а й b з кільця, які відмінні від нейтрального елемента першого закону, другий закон ставить у відповідність цей нейтральний елемент, то говорять, що елементи а й b є дільниками нуля (а • b = 0 при а  0 й b  0).

Приклад. 3 • 2 = 0 (mod 6), тобто числа 3 й 2 - дільники нуля в кільці відрахувань за модулом 6. У кільці квадратних матриць другого порядку дільника нуля – це ненульові матриці, добутки яких дорівнюють нульовій матриці.

2 6 3 -9 = 0 0

1 3 -1 3 = 0 0

Визначення. Кільце без дільників нуля називається кільцем цілісності.

У кільцях цілісності справедливий закон скорочення: з а • х = а • в або х • а = в • а треба х = в. Область цілісності - це комутативне кільце, що має нейтральний елемент (одиницю) щодо другого закону і не має дільників нуля, наприклад, область цілісності - цілі числа й багаточлени.